Eclats de vers : Matemat : Aire dans le plan

Un carré unitaire est un carré dont la longueur du coté vaut 1.

L’aire d’une figure géométrique \(F\) est le nombre de carrés unitaires qu’elle peut contenir. On la note :

\[ \aire(F) \]

TODO : preuve

Un rectangle possède deux grands et deux petits côtés. On nomme :

• longueur du rectangle la longueur de chacun des grands côtés
• largeur du rectangle la longueur de chacun des petits côtés

Un rectangle de longueur \(m \in \setN\) et de largeur \(n \in \setN\) peut contenir un tableau de carrés unitaire comprenant \(m\) lignes et \(n\) colonnes. Son aire vaut donc :

\[ m \cdot n \]

par définition de la multiplication dans les nombres naturels.

TODO : détailler

Dans le cas où les dimensions du rectangle sont rationnelles, on peut utiliser une unité secondaire, définie comme une fraction de l’unité principale. On montre alors que l’aire vaut là aussi le produit des dimensions du rectangle.

Il suffit ensuite de choisir des suites de rationnels et de passer à la limite vers une longueur \(L \in \setR\) et une largeur \(h \in \setR\) pour montrer que l’aire \(A\) du rectangle vaut :

\[ A = L \ h \]

Le schéma ci-dessous représente un rectangle découpé en deux triangles rectangles :

Que vaut l’aire \(T\) du triangle rectangle \(ABC\) ? On sait que l’aire \(R\) du rectangle \(ABCD\) vaut :

\[ R = a \ b \]

Or, ce rectangle contient deux triangles rectangles qui ont la même aire par symétrie : \(ABC\) et \(ACD\). On a donc :

\[ R = 2 \ T \]

Isolons l’aire du triangle :

\[ T = \frac{R}{2} \]

Remplaçons \(R\) par son expression :

\[ T = \frac{a \ b}{2} \]

L’aire d’un triangle rectangle vaut la moitié du produit de ses cathètes.

Soit le triangle acutangle \(ABC\) représenté ci-dessous :

Ce triangle peut se décomposer en deux triangles rectangles :

• \(ADC\) à gauche
• \(DBC\) à droite

L’aire \(A_G\) du triangle rectangle \(ADC\) vaut :

\[ A_G = \frac{u \ h}{2} \]

L’aire \(A_D\) du triangle rectangle \(DBC\) vaut :

\[ A_D = \frac{v \ h}{2} \]

L’aire totale \(A_T\) du triangle \(ABC\) est égale à la somme des aires des deux triangles rectangles :

\[ A_T = A_G + A_D = \frac{u \ h}{2} + \frac{v \ h}{2} \]

ce qui nous donne :

\[ A_T = \frac{u \ h + v \ h}{2} \]

Mettons la hauteur \(h\) en évidence :

\[ A_T = \frac{(u + v) \ h}{2} \]

Comme la base \(b\) vaut :

\[ b = u + v \]

On a montré que l’aire du triangle \(ABC\) vaut :

\[ A_T = \frac{b \ h}{2} \]

c’est-à-dire la moitié de la base multipliée par la hauteur.

Un triangle obtusangle possède deux hauteurs intérieures au triangle. Nous pouvons bien entendu utiliser l’une d’entre-elles pour calculer l’aire du triangle. Le procédé est le même que celui utilisé pour le triangle acutangle. Nous allons à présent examiner la relation entre la hauteur extérieure du triangle obtusangle et on aire.

Soit le triangle obtusangle \(ABC\) représenté ci-dessous :

Le rectangle \(ADCE\) est de longueur \(b + u\) et de largeur \(h\). Son aire vaut donc :

\[ R = (b + u) \ h \]

Pour obtenir l’aire du triangle \(ABC\), il nous faut enlever les aires des triangles rectangles \(BDC\) et \(ACE\).

L’aire \(A_D\) du triangle rectangle \(BDC\) vaut :

\[ A_D = \frac{u \ h}{2} \]

L’aire \(A_G\) du triangle rectangle \(ACE\) vaut :

\[ A_G = \frac{(b + u) \ h}{2} \]

L’aire \(A_T\) du triangle \(ABC\) est donc égale à :

\[ A_T = R - A_G - A_D = (b + u) \ h - \frac{u \ h}{2} - \frac{(b + u) \ h}{2} \]

Mettons les termes du membre de droite au même dénominateur :

\[ A_T = \frac{2 \ (b + u) \ h - u \ h - (b + u) \ h}{2} \]

Plaçons la hauteur \(h\) en évidence :

\[ A_T = \frac{(2 \ b + 2 \ u - u - b - u) \ h}{2} \]

On obtient finalement :

\[ A_T = \frac{b \ h}{2} \]

c’est-à-dire la moitié de la base multipliée par la hauteur.