Eclats de vers : Matemat : Algorithmes de résolution d’EDO

Table des matières

1. Introduction

$ \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} $

\label{chap:algoedo}

1. Introduction

AFAIRE : ARRANGER LE CHAPITRE

Le but est de calculer une approximation de la solution $y$ de

$ \OD{y}{x}(x) = f(x,y(x)) $

$ y(0) = y_0 $

Pour cela, on choisit $n$ points $x_i$, et on tente de progresser en évaluant les approximations successives $y_{i+1} \approx y(x_{i+1})$ à partir de $y_i$, pour $i=0,1,2,…$. On pose :

\[h_i = x_{i+1} - x_i\]

1.1. Euler

On se sert de la formulation intégrale correspondant à l'équation différentielle que l'on veut résoudre :

\[y_{i+1} = y_i + \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x,y(x)) \ dx\]

Si $h_i$ est suffisamment petit, la fonction $y$ sera plus ou moins constante sur l'intervalle $[x_i,x_{i+1}]$ et on peut approximer la formulation intégrale par :

\[y_{i+1} = y_i + h_i \cdot f(x_i,y_i)\]

Cette méthode se nomme Euler explicite.

\label{page:euler_expl}

1.2. Predicteur - Correcteur

On part de nouveau de :

\[y_{i+1} = y_i + \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x,y(x)) \ dx\]

On commence par calculer une première estimation de $y(x_{i+1})$ en utilisant la méthode d'Euler explicite :

\[y_{i+1}^* = y_i + h_i \cdot f(x_i,y_i)\]

La valeur $y_{i+1}^*$ ainsi obtenue est nommé prédicteur.

Une fois cette première estimation évaluée, on construit une meilleure approximation de l'intégrale en supposant que, pour $t\in [0,1]$ :

\[f\left(x_i + t \cdot h_i,y(x_i + t h_i)\right) \approx f_i + t \cdot (f^*_{i+1} - f_i)\]

avec :

$ f_i = f(x_i,y_i) $

$ f^*_{i+1} = f(x_{i+1},y^*_{i+1}) $

On obtient :

\begin{align} \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x,y(x)) \ dx &\approx& h_i \int_0^1 \left[ f_i + t \cdot (f^*_{i+1} - f_i) \right] dt \) \( &\approx& \frac{h_i}{2} \cdot \left( f_i + f^*_{i+1} \right) \end{align}

L'étape correctrice s'écrit donc :

\[y_{i+1} = y_i + \frac{h_i}{2} \cdot [f(x_i,y_i) + f(x_{i+1},y_{i+1}^*)]\]

1.3. Taylor

Partant des dérivées de la fonction $y(x) = f(x,y(x))$ :

\begin{align} \OD{y}{x} &= f \) $ \frac{d^2 y}{dx^2} &= \deriveepartielle{f}{x}+\deriveepartielle{f}{y}\OD{y}{x} = \deriveepartielle{f}{x}+\deriveepartielle{f}{y} f $ \( \frac{d^3 y}{dx^3} &= ... \end{align}

on peut écrire le développement en série de Taylor de $y$ autour de $x_i$ :

\[y_{i+1} = y_i + f(x_i,h_i) \ h_i + \OD{f}{x}(x_i,y_i) \ \frac{h_i^2}{2} + ...\]