Eclats de vers : Matemat : Analyse de Fourier
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:fourier}
1. Séries de Fourier
ARRANGER LE CHAPITRE
Constatons tout d'abord que :
\[ \int_0^{2\pi} \exp(\img k x) dx = \begin{cases} 2 \pi & \mbox{si } k = 0 \\ 0 & \mbox{si } k \ne 0 \end{cases} \]
pour tout \(k\in\setZ\). En effet, si \(k=0\), l'intégrale devient :
\[\int_0^{2\pi} \exp(0) dx = \int_0^{2\pi} 1 dx = 2 \pi\]
Par contre, si \(k\ne 0\), le changement de variable :
\( s = \img k x \)
\( ds = \img k dx \)
nous mène à :
\[\int_0^{2\pi} \exp(\img k x) dx = \unsur{\img k} \int_0^{2\pi\img k} \exp(s) ds\]
le théorème fondamental nous donne alors :
\[\int_0^{2\pi} \exp(\img k x) dx = \unsur{\img k} [\exp(2\pi\img k)-\exp(0)] = 0\]
pour tout \(k\in\setZ\), par périodicité des exponentielles imaginaires. On généralise ce résultat en utilisant le changement de variable :
\[t = a + \frac{T}{2\pi} x\]
ce qui nous donne :
\[ \int_a^{a+T} \exp\left(\frac{2\pi\img k x}{T}\right) dx = \begin{cases} T & \mbox{si } k = 0 \\ 0 & \mbox{si } k \ne 0 \end{cases} \]
Définissons à présent le produit scalaire :
\[\scalaire{u}{v} = \int\limits_{-T/2}^{T/2} \bar{u}(x) v(x) dx\]
Soient les fonctions \(e_k\) :
\[e_k : x \mapsto \exp\left(\frac{2\pi\img k x}{T}\right)\]
où \(k\in\setZ\). Notons que :
La suite des \(e_k\) est donc orthogonale :
\[\scalaire{e_m}{e_n} = \int\limits_{-T/2}^{T/2} \exp\left(\frac{2\pi\img (n-m) x}{T}\right)dx = T \delta_{mn}\]
Soit à présent \(u\in\combilin{e_k : k\in\setZ}\) :
\[u(x) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{u}_k e_k = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{u}_k \exp\left(\frac{2\pi\img k x}{T}\right)\]
Nous avons vu au chapitre \ref{chap:vector} que les composantes d'un vecteur (ici la fonction \(u\)) par rapport à une base orthogonale s'écrivent :
\[\hat{u}_k = \frac{\scalaire{e_k}{u}}{\scalaire{e_k}{e_k}} = \unsur{T} \int\limits_{-T/2}^{T/2} u(x) \exp\left(-\frac{2\pi\img k x}{T}\right)dx\]
Soit à présent \(v\) :
\[v(x) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{v}_k e_k\]
Utilisant à nouveau les propriétés des bases orthonormées, on a :
\[\scalaire{u}{v} = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \conjugue(\hat{u}_k) \hat{v}_k\]
2. Progression géométrique d’exponentielle complexe
2.1. En partant de zéro
Dans le cas où :
l'équation de la progression géométrique du chapitre \ref{chap:real} :
\[\sum_{i=0}^{n} a^i = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}\]
valide quand \(a \ne 1\), devient :
\[\sum_{k=0}^{n} \exp(\img k x) = \frac{1-\exp\left[\img (n+1) x\right]}{1-\exp(\img x)}\]
Si \((n+1) x\) est un multiple entier de \(2\pi\), on a :
\[\exp[\img (n+1) x] = 1\]
et la somme s'annule :
\[\sum_{k=0}^{n} \exp(\img k x) = \frac{1-1}{1-\exp(\img x)} = 0\]
Lorsque \(x\) est aussi un multiple entier de \(2\pi\), soit \(x = 2\pi l\), on a :
\( a^k = \exp\left( \img k x \right) = \exp\left( 2 \pi \img k l \right) = 1 \)
et en particulier \(a = 1\). On ne peut pas appliquer la formule ci-dessus de la progression géométrique, mais la somme se simplifie :
\[\sum_{k=0}^{n} \exp(\img k x) = \sum_{k=0}^{n} 1 = n + 1 \]
Posant \(N = n + 1\) et \(x = 2\pi l/N\), on obtient :
\[ (n + 1) x = N \frac{2 \pi l}{N} = 2 \pi l \]
et :
\[ \sum_{k=0}^{N-1} \exp\left(\frac{2 \pi \img k l}{N}\right) = \begin{cases} N & \mbox{si } l/N \in\setZ \\ 0 & \mbox{si } l/N \notin\setZ \end{cases} \]
pour tout \(k,l,N \in \setZ\).
2.2. Approximativement symétrique autour de zéro
Choisissons à présent un \(N\) pair. Dans le cas où \(l\) est un multiple de \(N\), on a :
\[\sum_{k=-N/2}^{N/2 - 1} \exp\left(\frac{2 \pi \img k l}{N}\right) = \sum_{k=-N/2}^{N/2 - 1} 1 = N\]
Dans les autres cas :
On a donc aussi :
\[ \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \exp\left(\frac{2 \pi \img k l}{N}\right) = \begin{cases} N & \mbox{si } l/N \in\setZ \\ 0 & \mbox{si } l/N \notin\setZ \end{cases} \]
3. Transformeée de Fourier
3.1. Heuristique
Soit :
et les fonctions \(u,v \in X \subset \fonction(\setR,\setR)\). On pose :
Soit :
où \(k = -N/2 , ... ,N/2 - 1\). Avec la condition :
\[\Delta x \Delta y = \frac{1}{N}\]
l’expression précédente devient :
\[ u(x_k) = \sum_{n=-N/2}^{N/2-1} U(y_n) \exp\left( \frac{2 \pi \img k n}{N} \right) \Delta y \]
Dans l’idée d’approximer une intégrale par une somme similaire à une série de Fourier, on évalue :
\[ \sum_{k=0}^{N-1} u(x_k) \exp( - 2\pi\img k m ) \Delta x = \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \sum_{n=-N/2}^{N/2-1} U(y_n) \exp\left( \frac{2 \pi \img k (n - m)}{N} \right) \Delta x \Delta y \]
On peut réorganiser cette double somme sous la forme :
\[ \sum_{k=0}^{N-1} u(x_k) \exp( - 2\pi\img k m ) \Delta x = \sum_{n=-N/2}^{N/2-1} U(y_n) \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \exp\left( \frac{2 \pi \img k (n - m)}{N} \right) \Delta x \Delta y \]
Mais la somme sur \(k\) du membre de droite s'annule sauf lorsque \(n-m\) est multiple entier de \(N\). Comme \(m,n\) sont dans \(\{-N/2,...,N/2-1\}\), la seule possibilité est celle où \(m = n\). Le somme sur \(k\) vaut alors \(N\) et :
\[ \sum_{k=0}^{N-1} u(x_k) \exp( - 2\pi\img k m ) \Delta x = U(y_m) N \Delta x \Delta y \\ = U(y_m) \]
On aboutit donc à la relation inverse :
\[U(y_n) = \sum_{k = -N/2}^{N/2-1} u(x_k) \exp(-2 \pi \img x_k y_n) \Delta x\]
Choisissons :
\[\Delta x = \Delta y = \frac{1}{\sqrt{N}}\]
On voit que \(\Delta x\) et \(\Delta y\) tendent alors vers \(0\) lorsque \(N\) tend vers l'infini. Les sommes ci-dessus se rapprochent donc de plus en plus d'intégrales sur l'intervalle \([-\sqrt{N}/2,\sqrt{N}/2]\), qui tend lui-même vers \((-\infty,+\infty) = \setR\). On arrive donc aux relations :
\[ u(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} U(y) \exp(2\pi\img x y) dy \]
\[ U(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(x) \exp(-2\pi\img x y) dx \]
On définit alors la transformeée de Fourier \(\mathcal{F} : X \mapsto X\) et son inverse par :
\[ U(y) = \mathcal{F}(u)(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(x) \exp(-2\pi\img x y) dx \]
\[ u(x) = \mathcal{F}^{-1}(U)(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} U(y) \exp(2\pi\img x y) dy \]
3.2. Delta de Dirac
On déduit des relations ci dessus que :
\[ u(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(2\pi\img x y) dy \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(z) \exp(-2\pi\img z y) dz \]
\[ u(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(z) dz \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(2\pi\img (x-z) y) dy \]
On en déduit la relation fondamentale :
\[\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(2\pi\img (x-z) y) dy = \delta(x-z)\]
qui est l'extension de l'orthonormalité des bases discrètes. Ce n'est donc pas une intégrale au sens classique du terme, mais une distribution.
Cette relation nous montre aussi, lorsque \(z=0\), que :
\[\mathcal{F}(1)(x) = \delta(x)\]
Inversément, on a :
\[\mathcal{F}(\delta)(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \exp(-2\pi\img x y) dx = \exp(0) = 1\]
3.3. Produit scalaire
Considérons à présent le produit scalaire :
\[\scalaire{u}{v} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \bar{u}(x) v(x) dx\]
et examinons \(\scalaire{\mathcal{F}(u)}{\mathcal{F}(v)}\). En utilisant la propriété d'orthonormalité, on arrive à :
\[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \conjugue\left[\mathcal{F}(u)(y)\right] \mathcal{F}(v)(y) dy = \int_{\setR^2} \bar{u}(x) v(z) \exp\left(2\pi\img (x-z) y\right) dx dz \]
\[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \conjugue\left[\mathcal{F}(u)(y)\right] \mathcal{F}(v)(y) dy = \int_{\setR^2} \bar{u}(x) v(z) \delta(x-z) dx dz \]
et donc :
\( \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \conjugue\left[\mathcal{F}(u)(y)\right] \mathcal{F}(v)(y) dy = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \bar{u}(x) v(x) dx \)
La transformeée de Fourier possède donc la propriété de conserver le produit scalaire :
\[\scalaire{\mathcal{F}(u)}{\mathcal{F}(v)} = \scalaire{u}{v}\]
3.4. Convolution
La transformeèe d'un produit de convolution s'écrit :
\( \mathcal{F}(u \star v)(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(-2\pi\img x y) dx \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(x-z) v(z) dz \)
Considérons le changement de variable :
\( \xi = x - z \)
\( \eta = z \)
On a alors \(x = \xi + \eta\) et :
\( \mathcal{F}(u \star v)(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(\xi) \exp(-2\pi\img \xi y) d\xi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} v(\eta) \exp(-2\pi\img \eta y) d\eta \)
c'est-à-dire :
\[\mathcal{F}(u \star v) = \mathcal{F}(u)\mathcal{F}(v)\]
3.5. Dérivées
Soit \(u\) une fonction qui s'annule à l'infini. La transformeée de Fourier de sa dérivée s'écrit :
\[ \mathcal{F}\left(\OD{u}{x}\right)(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \OD{u}{x}(x)\exp(-2\pi\img x y) dx \]
En intégrant par partie, et en tenant compte du fait que les limites à l'infini sont nulles, il vient :
\[ \mathcal{F}\left(\OD{u}{x}\right)(y) = - (-2\pi\img y) \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(x)\exp(-2\pi\img x y) dx \]
et finalement :
\[\mathcal{F}\left(\OD{u}{x}\right)(y) = 2 \pi \img y \mathcal{F}(y)\]
3.6. Déphasage
Considérons l'opérateur de translation :
\[t_a(u)(x) = u(x-a)\]
La transformeée de Fourier d'une translatée de la fonction \(u\) s'écrit :
\[ \mathcal{F}\left[t_a(u)\right](y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(x-a) \exp(-2\pi\img x y) dx \]
\[ \mathcal{F}\left[t_a(u)\right](y) = \exp(-2\pi\img a y) \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(x-a) \exp(-2\pi\img (x-a) y) dx \]
Mais comme \(dx = d(x-a)\), on en déduit que :
\[\mathcal{F}\left[t_a(u)\right](y) = \exp(-2\pi\img a y)\mathcal{F}(u)(y)\]
3.7. Dilatation
Soit \(d_a\) l'opérateur de dilatation :
\[d_a(u)(x) = u(a x)\]
où \(a > 0\) est un réel strictement positif.
La transformeée de Fourier de la fonction dilaté \(d_a(u)\) s'écrit :
\[ \mathcal{F}\left[d_a(u)\right](y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(a x) \exp(-2\pi\img x y) dx \]
Considérons le changement de variable \(z = a x\). On a alors :
\[ \mathcal{F}\left[d_a(u)\right](y) = \unsur{a}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(z) \exp\left(-2\pi\img z \frac{y}{a}\right) dz \]
\[ \mathcal{F}\left[d_a(u)\right](y) = \unsur{a}\mathcal{F}(u)(y/a) \]
c'est-à-dire :
\[\mathcal{F}\left[d_a(u)\right] = \unsur{a}\mathcal{F}\left[d_{1/a}(u)\right]\]
3.8. Gaussienne
Définissons la gaussienne \(G\) :
\[G(x) = \exp(-\pi x^2)\]
Sa transformeée s'écrit :
\[\mathcal{F}(G)(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(-\pi x^2 - 2\pi\img x y) dx\]
Il est clair que :
\[ \exp\left[ -\pi (x+\img y)^2 \right] = \exp(-\pi x^2 - 2 \pi\img x y)\exp(\pi y^2) \]
Il vient donc, en effectuant le changement de variable \(\xi = x + \img y\) :
\[\mathcal{F}(G)(y) = \exp(-\pi y^2) \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(-\pi \xi^2) d\xi\]
Mais nous avons vu au chapitre \ref{chap:integ} que cette dernière intégrale vaut \(1\). Donc :
\[\mathcal{F}(G) = G\]
La transformeée de Fourier laisse \(G\) inchangée.
4. Auto-adjoint
La transformeée de Fourier (voir chapitre \ref{chap:fourier}) est définie par :
\[\mathcal{F}(u)(y) = \int_{\setR} u(x) \exp(2\pi \img x y) dx\]
où \(\img = \sqrt{-1}\). On a :
\[ \int_{\setR} \mathcal{F}(u)(y) v(y) dy = \int_{\setR} u(x) v(y) \exp(2\pi \img x y) dx dy \]
\[ \int_{\setR} \mathcal{F}(u)(y) v(y) dy = \int_{\setR} u(x) \mathcal{F}(v)(x) dx \]
et donc :
\[\forme{\mathcal{F}(u)}{v} = \forme{u}{\mathcal{F}(v)}\]