Eclats de vers : Matemat : Angles et cercles

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) et des points \(A, B, P \in \mathscr{C}\). Dans le schéma ci-dessous, l’angle au centre \(\alpha\) intercepte le même arc de cercle \(\Gamma = \arcdecercle{AB}\) que l’angle inscrit \(\beta\) :

Nous avons tenu compte dans le schéma des propriétés des angles des triangles isocèles.

La somme des angles dans le triangle \(POB\) nous donne :

\[ 2 \ \gamma + \delta = 180^\circ \]

Isolons \(\delta\) :

\[ \delta = 180^\circ - 2 \ \gamma \]

La somme des angles dans le triangle \(POA\) nous donne :

\[ 2 \ \lambda + \theta = 180^\circ \]

ou encore :

\[ \theta = 180^\circ - 2 \ \lambda \]

Comme les angles \(\alpha\), \(\delta\) et \(\theta\) forment ensemble un tour complet (un angle plein), on a :

\[ \alpha + \delta + \theta = 360^\circ \]

En tenant compte des résultats précédents, cette équation devient :

\[ \alpha + (180^\circ - 2 \ \gamma) + (180^\circ - 2 \ \lambda) = 360^\circ \]

Simplifions les \(180^\circ\) et \(360^\circ\) :

\[ \alpha - 2 \ \gamma - 2 \ \lambda = 0 \]

isolons \(\alpha\) :

\[ \alpha = 2 \ \gamma + 2 \ \lambda \]

et mettons les \(2\) en évidence :

\[ \alpha = 2 \ (\gamma + \lambda) \]

Comme :

\[ \beta = \gamma + \lambda \]

cette équation devient :

\[ \alpha = 2 \ \beta \]

L’amplitude de l’angle au centre vaut le double de l’amplitude de l’angle inscrit.

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) et des points \(A, B, P \in \mathscr{C}\). Dans le schéma ci-dessous, l’angle au centre \(\alpha\) intercepte le même arc de cercle \(\Gamma = \arcdecercle{AB}\) que l’angle inscrit \(\beta\) :

Nous avons tenu compte dans le schéma des propriétés des angles des triangles isocèles.

Le triangle \(PAO\) étant isocèle, on a aussi :

\[ \theta = \beta + \gamma \]

La somme des angles dans le triangle \(PAO\) nous donne :

\[ \beta + \gamma + \theta + \delta = 180^\circ \]

En tenant compte de la relation précédente, cette équation devient :

\[ \beta + \gamma + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ \]

ou encore :

\[ 2 \ \beta + 2 \ \gamma + \delta = 180^\circ \]

La somme des angles dans le triangle \(PBO\) nous donne :

\[ 2 \ \gamma + \alpha + \delta = 180^\circ \]

En soustrayant cette dernière équation de la précédente, on obtient :

\[ 2 \ \beta + 2 \ \gamma + \delta - 2 \ \gamma - \alpha - \delta = 0 \]

c’est-à-dire :

\[ 2 \ \beta - \alpha = 0 \]

Isolons \(\alpha\) :

\[ \alpha = 2 \ \beta \]

Ici aussi, l’amplitude de l’angle au centre vaut le double de l’amplitude de l’angle inscrit.

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) et des points \(A, B, P \in \mathscr{C}\). Dans le schéma ci-dessous, l’angle au centre \(\alpha\) intercepte le même arc de cercle \(\Gamma = \arcdecercle{AB}\) que l’angle inscrit \(\beta\) :

Nous avons tenu compte dans le schéma des propriétés des angles des triangles isocèles.

Les angles \(\alpha\) et \(\delta\) forment ensemble un angle plat :

\[ \alpha + \delta = 180^\circ \]

Isolons \(\delta\) :

\[ \delta = 180^\circ - \alpha \]

La somme des angles du triangle \(POB\) nous donne :

\[ 2 \ \beta + \delta = 180^\circ \]

En tenant compte des résultats précédents, cette équation devient :

\[ 2 \ \beta + 180^\circ - \alpha = 180^\circ \]

Simplifions les \(180^\circ\) :

\[ 2 \ \beta - \alpha = 0 \]

Isolons \(\alpha\) :

\[ \alpha = 2 \ \beta \]

Ici aussi, l’amplitude de l’angle au centre vaut le double de l’amplitude de l’angle inscrit.

Lorsqu’un angle au centre \(\alpha\) et un angle inscrit \(\beta\) interceptent le même arc de cercle \(\Gamma = \arcdecercle{AB}\), l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit :

\[ \alpha = 2 \ \beta \]

ce qui revient à dire que l’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre :

\[ \beta = \frac{\alpha}{2} \]

Soit deux angles inscrits \(\beta\) et \(\gamma\) qui interceptent le même arc de cercle \(\Gamma = \arcdecercle{AB}\). On peut choisir un angle au centre \(\alpha\) qui intercepte également \(\Gamma\). On a alors :

\[ \beta = \frac{\alpha}{2} = \gamma \]

Les deux angles inscrits sont donc de même amplitude.

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\), un point \(A \in \mathscr{C}\) et une droite \(t\) tangente au cercle \(\mathscr{C}\) au point \(A\). Dans le schéma ci-dessous, l’angle au centre \(\alpha\) intercepte le même arc de cercle \(\Gamma = \arcdecercle{AB}\) que l’angle tangent \(\beta\) :

Nous avons tenu compte dans le schéma des propriétés des angles des les triangles isocèles.

La somme des angles dans le triangle \(OAB\) nous donne :

\[ \alpha + 2 \ \gamma = 180^\circ \]

Isolons \(\alpha\) :

\[ \alpha = 180^\circ - 2 \ \gamma \]

Comme la tangente \(t\) est perpendiculaire au rayon \([O,A]\), on a :

\[ \beta + \gamma = 90^\circ \]

Isolons \(\gamma\) :

\[ \gamma = 90^\circ - \beta \]

Substituons cette expression de \(\gamma\) dans la relation impliquant \(\alpha\) :

\[ \alpha = 180^\circ - 2 \ (90^\circ - \beta) \]

Distribuons :

\[ \alpha = 180^\circ - 180^\circ + 2 \ \beta \]

En simplifiant, on obtient finalement :

\[ \alpha = 2 \ \beta \]

L’amplitude de l’angle au centre vaut le double de l’amplitude de l’angle tangent.

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\), un point \(A \in \mathscr{C}\) et une droite \(t\) tangente au cercle \(\mathscr{C}\) au point \(A\). Dans le schéma ci-dessous, l’angle au centre \(\alpha\) intercepte le même arc de cercle \(\Gamma = \arcdecercle{AB}\) que l’angle tangent \(\beta\) :

Attention : l’arc de cercle \(\Gamma\) est ici le plus grand des deux arcs de cercles qui relient les points \(A\) et \(B\).

La première disposition de l’angle tangent nous montre que :

\[ \lambda = 2 \ \mu \]

Comme \(\alpha\) et \(\lambda\) forment un tour complet, on a :

\[ \alpha = 360^\circ - \lambda \]

ou encore :

\[ \alpha = 360^\circ - 2 \ \mu \]

Les angles \(\beta\) et \(\mu\) forment ensemble un demi-tour :

\[ \mu = 180^\circ - \beta \]

Remplaçons \(\mu\) par son expression dans la relation impliquant \(\alpha\) :

\[ \alpha = 360^\circ - 2 \ (180^\circ - \beta) \]

Distribuons :

\[ \alpha = 360^\circ - 360^\circ + 2 \ \beta \]

En simplifiant, on obtient finalement :

\[ \alpha = 2 \ \beta \]

Ici aussi, l’amplitude de l’angle au centre vaut le double de l’amplitude de l’angle tangent.

Lorsqu’un angle au centre \(\alpha\) et un angle tangent \(\beta\) interceptent le même arc de cercle \(\Gamma\), l’angle au centre vaut le double de l’angle tangent.

On en conclut directement que l’angle tangent vaut la moitié de l’angle au centre.

Soit deux angles tangents \(\beta\) et \(\gamma\) qui interceptent le même arc de cercle \(\Gamma\). On peut choisir un angle au centre \(\alpha\) qui intercepte également \(\Gamma\). On a alors :

\[ \beta = \frac{\alpha}{2} = \gamma \]

Les deux angles tangents sont donc de même amplitude.

Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) dont le côté \([A,B]\) est un diamètre du cercle circonscrit \(\mathscr{C}\) :

L’angle inscrit \(\beta\) intercepte le même arc de cercle \(\Gamma = \arcdecercle{AB}\) que l’angle au centre \(\alpha = \angleflex{AOB}\). Comme les points \(A\), \(O\) et \(B\) sont alignés, l’amplitude de ce dernier vaut \(180^\circ\) et :

\[ \alpha = 180^\circ = 2 \ \beta \]

ou encore :

\[ \beta = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \]

Le triangle \(ABC\) est donc un triangle rectangle en \(C\). Comme :

\[ r = \abs{OA} = \abs{OB} \]

le centre \(O\) du cercle circonscrit \(\mathscr{C}\) est situé au milieu de l’hypothénuse \([A,B]\).

Nous venons de montrer que tout triangle :

• inscrit dans un cercle
• dont un des côtés est un diamètre du cercle

est un triangle rectangle. Pour construire un triangle rectangle, il suffit donc :

• de tracer un diamètre du cercle
• de choisir un troisième sommet du triangle sur le cercle
• de relier les extrémités du diamètre au troisième sommet choisi