Eclats de vers : Matemat : Angles

Un angle \(\alpha\) est défini par deux demi-droites \(d\) et \(f\) qui possèdent une même origine \(A\) :

On le note :

\[ \alpha = \angle(d,f) \]

L’origine commune \(A\) est appelée sommet de l’angle \(\angle(d,f)\).

Il existe une ambiguïté quant au chemin emprunté par l’angle pour aller de \(d\) à \(f\) : tourne-t-on dans le sens anti-horlogique ou horlogique ? Pour lever cette ambiguïté, on trace un arc de cercle orienté pour indiquer le sens de rotation du chemin parcouru. Dans notre schéma, l’angle tourne dans le sens anti-horlogique.

Alternativement, étant donné un point \(B \in d\) et un point \(C \in f\), le même angle peut être défini par trois points :

• le sommet \(A\)
• le point \(B\) qui détermine la demi-droite \(d = [AB)\)
• le point \(C\) qui détermine la demi-droite \(f = [AC)\)

Le schéma ci-dessous représente un angle \(\alpha\) de sommet \(A\) délimité par les demi-droites \(d = [AB)\) et \(f = [AC)\) :

On le note :

\[ \alpha = \angleflex{BAC} \]

Un angle \(\alpha^+\) est dit positif si il est associé à un arc de cercle positif :

Un angle \(\alpha^-\) est dit négatif si il est associé à un arc de cercle négatif :

Le schéma ci-dessous représente un angle dont l’orientation est indéterminée :

On assimile un angle indéterminé à un angle positif.

On associe à l’angle \(\angleflex{BAC}\) le secteur angulaire correspondant délimité par les demi-droites \([AB)\) et \([AC)\).

On note :

\[ \angle(d,f) = \sphericalangle(d,f) = \measuredangle(d,f) \]

Si :

\[ d = [AB) \qquad \qquad \qquad f = [AC) \]

on peut aussi noter cet angle par :

\[ \angleflex{BAC} = \angle BAC = \sphericalangle BAC = \measuredangle BAC = \angleflex{BAC} \]

ou encore :

\[ \angleflex{BAC} = \angle(d,f) = \angle([AB),[AC)) \]

Lorsque les côtés de l’angle sont évidents d’après le contexte, on le note simplement :

\[ \angleflex{A} = \angleflex{BAC} \]

L’amplitude d’un angle, exprimée en radians, se définit comme le la longueur d’un arc de cercle :

• dont le centre est le sommet de l’angle
• dont le rayon vaut \(1\)
• qui est délimité par les côtés de l’angle

Considérons un angle \(\alpha\) et traçons un arc de cercle \(\Gamma\) de centre \(A\), de rayon \(1\) et délimités par les côtés de \(\alpha\), comme dans le schéma ci-dessous :

L’amplitude \(\abs{\alpha}\) est alors définie comme la longueur de cet arc de cercle :

\[ \abs{\alpha} = \abs{\Gamma} \]

En pratique, on confond souvent un angle avec son amplitude :

\[ \alpha = \abs{\alpha} \]

L’amplitude d’un angle est :

• positive si l’angle est positif
• négative si l’angle est négatif

L’amplitude de l’angle \(\angle(d,f)\) se note :

\[ \abs{\angle(d,f)} = \abs{\sphericalangle(d,f)} = \abs{\measuredangle(d,f)} \]

L’amplitude de l’angle \(\angleflex{BAC}\) se note :

\[ \abs{\angleflex{BAC}} = \abs{\angle BAC} = \abs{\sphericalangle BAC} = \abs{\measuredangle BAC} \]

Lorsque les côtés de l’angle sont évidents d’après le contexte, on note simplement l’amplitude par :

\[ \abs{\angleflex{A}} = \abs{\angleflex{BAC}} \]

Lorsque l’angle parcourt un tour complet, la mesure de l’arc de cercle est égale au périmètre entier du cercle de rayon \(1\) :

\[ \mathcal{P}_1 = 2 \ \pi \]

et l’angle vaut :

\[ \tau = 2 \ \pi \]

Pour une fraction \(f\) du cercle unitaire, l’angle \(\alpha\) vaudra :

\[ \alpha = 2 \ \pi \ f \]

Le tableau ci-dessous recense quelques cas courants :

On utilise une corde graduée pour :

• mesurer un angle
• tracer un angle d’amplitude donnée

Pour ce faire, on choisit une corde dont la longueur \(\mathscr{L}\) est identique au périmètre d’un cercle de rayon \(1\) :

\[ \mathscr{L} = 2 \ \pi \]

On place ensuite des graduations sur la corde pour la subdiviser en \(N\) parties égales. Chaque partie de la corde correspond alors à un angle :

\[ \delta = \frac{2 \ \pi}{N} = \frac{360^\circ}{N} \]

Par exemple, si \(N = 12\), chaque partie correspond à un angle :

\[ \delta = \frac{\pi}{6} = 30^\circ \]

Si on souhaite une précision de \(1^\circ\), il faut diviser la corde en \(N = 360\) parties égales.

Pour mesurer ou tracer un angle de sommet \(A\), on procède comme suit :

• on trace un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(A\) et de rayon \(1\)
• on place la corde le long du cercle \(\mathscr{C}\)
• pour mesurer un angle
  • soit \(B\) l’intersection du premier côté de l’angle avec \(\mathscr{C}\)
  • soit \(C\) l’intersection du second côté de l’angle avec \(\mathscr{C}\)
  • on fait tourner la corde le long de \(\mathscr{C}\) pour positionner une graduation de la corde sur le point \(B\)
  • on compte le nombre de graduations inclus dans l’arc de cercle qui mène du point \(B\) au point \(C\)
• pour tracer un angle
  • on trace le premier côté
  • soit \(B\) l’intersection de ce premier côté avec \(\mathscr{C}\)
  • on fait tourner la corde le long de \(\mathscr{C}\) pour positionner une graduation de la corde sur le point \(B\)
  • on compte le nombre de graduations nécessaires pour obtenir l’amplitude souhaitée
  • on obtient ainsi une seconde graduation, qui nous donne un point \(C \in \mathscr{C}\)
  • on trace le second côté de l’angle \([AC)\)

Le tableau suivant donne les noms des angles les plus courants :

Certaines catégories d’angles sont définies par des intervalles :

Enfin, certaines paires d’angles sont caractérisées par leurs sommes :

Soit deux droites sécantes \(a\) et \(b\) qui se coupent en formant, du même côté de \(a\), des angles symétriques à leur points d’intersections.

Comme \(\alpha\) et \(\beta\) sont des angles opposés par le sommet, ils sont de même amplitude :

\[ \alpha = \beta \]

Idem pour \(\alpha\) et \(\gamma\) :

\[ \alpha = \gamma \]

Tous les angles situés autour de l’intersection de \(a\) et \(b\) sont donc identiques.

Comme les deux angles \(\alpha\) forment, avec \(\beta\) et \(\gamma\), un angle plein, on a :

\[ 2 \ \alpha + \beta + \gamma = 360^\circ \]

En tenant compte des résultats précédents, cette équation devient :

\[ 4 \ \alpha = 360^\circ \]

ce qui nous donne :

\[ \alpha = 90^\circ \]

Tous les angles formés par l’intersection des deux droites sont des angles droits. Ce constat nous amène à la définition des droites perpendiculaires.

On dit que deux droites \(a\) et \(b\) sont perpendiculaires si elles sont sécantes et se coupent en formant quatre angles droits à leur point d’intersection. On le note :

\[ a \perp b \]

Dans un diagramme, on le signale souvent par un petit carré situé dans un coin de l’angle, comme dans le schéma ci-dessous :

Deux segments \([A,B]\) et \([C,D]\) sont dits perpendiculaires si ils se coupent en formant des angles droits. On le note :

\[ [A,B] \perp [C,D] \]

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\). Un angle au centre de \(\mathscr{C}\) est un angle :

• dont le sommet est le centre \(O\) du cercle
• dont les côtés sont des rayons du cercle

Dans le schéma ci-dessous, l’angle \(\alpha = \angleflex{AOB}\) est un exemple d’angle au centre :

L’angle au centre \(\alpha\) définit un arc de cercle \(\Gamma = \arcdecercle{AB}\). On dit aussi que l’angle au centre \(\alpha\) intercepte l’arc de cercle \(\Gamma\).

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\). Un angle inscrit dans \(\mathscr{C}\) est un angle :

• dont le sommet est un point du cercle
• dont les côtés sont sécants au cercle

Dans le schéma ci-dessous, l’angle \(\alpha = \angleflex{APB}\) est un exemple d’angle inscrit :

L’angle inscrit \(\alpha\) définit un arc de cercle \(\Gamma = \arcdecercle{AB}\). On dit aussi que l’angle inscrit \(\alpha\) intercepte l’arc de cercle \(\Gamma\).

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\). Un angle tangent dans \(\mathscr{C}\) est un angle :

• dont le sommet est un point du cercle
• dont un côté est sécant au cercle
• dont l’autre côté est une demi-droite incluse dans une tangente au cercle

Dans le schéma ci-dessous, la droite \(t = (AC)\) est tangente à \(\mathscr{C}\) et l’angle \(\alpha = \angleflex{CAB}\) est un angle tangent :

L’angle tangent \(\alpha\) définit un arc de cercle \(\Gamma = \arcdecercle{AB}\). On dit aussi que l’angle tangent \(\alpha\) intercepte l’arc de cercle \(\Gamma\).