Eclats de vers : Matemat : Applications linéaires
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:lineaire}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions
2. Définition
Soit les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sur \(\corps\). Une application linéaire \(f\) est une fonction linéaire \(f : E \mapsto F\).
3. Norme des applications linéaires
La norme d'une application linéaire est définie comme étant l'extension maximale qu'elle produit :
\[\norme{f} = \sup \left\{ \frac{ \norme{f(x)} }{ \norme{x} } : x \in E, \ x \ne 0 \right\}\]
On a donc :
\[\norme{f(x)} \le \norme{f} \cdot \norme{x}\]
pour tout \(x \in E \setminus \{ 0 \}\).
3.1. Vérification
Nous allons vérifier qu'il s'agit bien d'une norme. On a \(\norme{f} \ge 0\) par positivité de la norme sur \(E\) et \(F\). La condition \(\norme{f} = 0\) implique \(\norme{f(x)} = 0\) et donc \(f(x) = 0\) pour tout \(x \ne 0\). Comme \(f\) est linéaire, on a aussi \(f(0) = 0\) et \(f = 0\).
Si \(f,g\) sont linéaires, on a :
\[\norme{f(x) + g(x)} \le \norme{f(x)} + \norme{g(x)} \le \norme{f} \cdot \norme{x} + \norme{g} \cdot \norme{x} = (\norme{f} + \norme{g}) \cdot \norme{x}\]
pour tout \(x \ne 0\). En divisant par \(\norme{x}\) et en passant au supremum, on obtient :
\[\norme{f + g} \le \norme{f} + \norme{g}\]
Enfin, si \(\alpha \in \corps\), on a :
\[\frac{ \norme{\alpha \cdot f(x)} }{ \norme{x} } = \abs{\alpha} \cdot \frac{ \norme{f(x)} }{ \norme{x} }\]
En passant au supremum, on obtient :
\[\norme{\alpha \cdot f} = \abs{\alpha} \cdot \norme{f}\]
3.2. Notation
Lorsqu'il est nécessaire de différentier la norme au sens des applications linéaires d'autres types de normes utilisées, on note :
\[\norme{f}_\lineaire = \sup \left\{ \frac{ \norme{f(x)} }{ \norme{x} } : x \in E, \ x \ne 0 \right\}\]
3.3. Définition alternative
Soit \(N \in \corps\), avec \(N \strictsuperieur 0\) et :
\[B = \{ u \in E : \norme{u} = N \}\]
Soit \(x \in E\) avec \(x \ne 0\) et :
\[\lambda = \frac{ \norme{x} }{N}\]
Définissons :
\[u = \frac{x}{\lambda}\]
On voit que :
\[\norme{u} = \norme{\unsur{\lambda} \cdot x} = \unsur{\lambda} \cdot \norme{x} = \frac{N}{ \norme{x} } \cdot \norme{x} = N\]
On a donc \(u \in B\). Le rapport des normes s'écrit :
\[\frac{ \norme{f(x)} }{ \norme{x} } = \frac{ \norme{f(x)} }{ N \cdot \lambda } = \unsur{N} \norme{ \frac{f(x)}{ \lambda } } = \unsur{ \norme{u} } \cdot \norme{ f\left( \frac{x}{ \lambda } \right) } = \frac{ \norme{f(u)} }{ \norme{u} }\]
On en conclut que :
\[\frac{ \norme{f(x)} }{ \norme{x} } = \frac{ \norme{f(u)} }{ \norme{u} } \le \sup \Big\{ \frac{ \norme{f(v)} }{ \norme{v} } : v \in B \Big\}\]
Comme ce doit être valable quelque soit \(x \ne 0\), on obtient :
\[\norme{f} \le \sup \Big\{ \frac{ \norme{f(v)} }{ \norme{v} } : v \in B \Big\}\]
en passant au supremum sur \(x\).
Choisissons à présent \(u \in B\). On a alors :
\[\frac{ \norme{f(u)} }{ \norme{u} } \le \norme{f}\]
En passant au supremum sur \(u\), on obtient :
\[\sup \Big\{ \frac{ \norme{f(v)} }{ \norme{v} } : v \in B \Big\} \le \norme{f}\]
On en conclut que les deux supremums sont égaux :
\[\sup \left\{ \frac{ \norme{f(v)} }{ \norme{v} } : v \in B \right\} = \norme{f}\]
3.4. Norme unitaire
Une conséquence importante du résultat ci-dessus est le cas particulier \(N = 1\). On a alors :
\[\norme{f} = \sup \left\{ \norme{f(v)} : v \in E, \ \norme{v} = 1 \right\}\]
4. Norme d'une composée
Soit \(f : E \mapsto F\) et \(g : F \mapsto G\) deux applications linéaires de normes finies. Si \(x \in E\) avec \(x \ne 0\) on a \(f(x) \in F\) et :
\[\norme{g \circ f(x)} \le \norme{g} \cdot \norme{f(x)} \le \norme{g} \cdot \norme{f} \cdot \norme{x}\]
En divisant par \(\norme{x} \ne 0\) :
\[\frac{ \norme{g \circ f(x)} }{ \norme{x} } \le \norme{g} \cdot \norme{f}\]
et en passant au supremum sur \(x \ne 0\), on en conclut que :
\[\norme{g \circ f} \le \norme{g} \cdot \norme{f}\]
5. Norme d'une puissance
On a clairement :
\[\norme{f^n} = \norme{f \circ ... \circ f} \le \norme{f}^n\]
6. Continuité
Nous allons montrer que, pour tout \(f \in \lineaire(A,B)\), on a l'équivalence entre l'hypothèse d'une norme de \(f\) finie et l'hypothèse de \(f\) continue.
Si la norme est finie, on a :
\[\norme{f(x) - f(a)} = \norme{f(x - a)} \le \norme{f} \cdot \norme{x-a}\]
qui tend bien vers \(0\) lorsque \(x\) tend vers \(a\). Inversément, si \(f\) est continue, on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :
\[\norme{f(x) - f(0)} \le 1\]
pour tout \(x\) vérifiant \(\distance(x,0) = \norme{x} \le \delta\). Posons \(B = \{ x \in A : \norme{x} = \delta \}\). On a alors :
\[\sup_{x \in B} \frac{\norme{f(x)}}{\norme{x}} = \unsur{\delta} \sup_{x \in B} \norme{f(x) - f(0)} \le \unsur{\delta}\]
La norme est donc finie :
\[\norme{f} = \sup_{x \in B} \frac{\norme{f(x)}}{\norme{x}} \le \unsur{\delta} \strictinferieur +\infty\]
7. n-linéarité
On dit que la fonction \(f : E_1 \times ... \times E_n \mapsto F\) est n-linéaire si elle est linéaire par rapport à chacune des composantes de son argument, les autres composantes restant inchangées :
\[f(...,\alpha x + \beta y,...) = \alpha \cdot f(...,x,...) + \beta \cdot f(...,y,...)\]
pour tout \(\alpha,\beta \in \corps\) et \(x,y \in E\). On note \(\lineaire_n(E_1,...,E_n,F)\) l'ensemble des fonctions n-linéaires de \(E_1 \times ... \times E_n\) vers \(F\).
7.1. Norme
La norme est définie dans ce cas par :
\[\norme{f} = \sup \left\{ \frac{ \norme{f(x_1,...,x_n)} }{ \prod_{i = 1}^n \norme{x_i} } : (x_1,...,x_n) \in E_1 \times ... \times E_n \right\}\]
Si cette norme est finie, on a :
\[\norme{f(x_1,...,x_n)} \le \norme{f} \cdot \prod_{i = 1}^n \norme{x_i}\]
pour tout \((x_1,...,x_n) \in E_1 \times ... \times E_n\).
7.2. Bilinéarité
On dit aussi des fonctions $2$-linéaires qu'elles sont bilinéaires. La norme d'une fonction \(f : E_1 \times E_2 \mapsto F\) bilinéaire est définie par :
\[\norme{f} = \sup \left\{ \frac{ \norme{f(u,v)} }{ \norme{u} \cdot \norme{v} } : (u,v) \in E_1 \times E_2 \right\}\]
Si cette norme est finie, on a :
\[\norme{f(u,v)} \le \norme{f} \cdot \norme{u} \cdot \norme{v}\]
pour tout \((u,v) \in E_1 \times E_2\).
8. Représentation matricielle
8.1. Norme
La norme d'une matrice est la norme de l'application linéaire associée, c'est-à-dire :
\[\norme{A}_2 = \sup \left\{ \frac{ \norme{A \cdot x} }{ \norme{x} } : x \in \corps^n, \ x \ne 0 \right\}\]
Soit :
\[M = \max_{i,j} \abs{\composante_{ij} A}\]
On a alors :
\[\norme{A \cdot x} \le M \cdot m \cdot n \cdot \max_i x_i \le M \cdot m \cdot n \cdot \norme{x}\]
ce qui montre que :
\[\norme{A} \le M \cdot m \cdot n \strictinferieur \infty\]
La norme d'une matrice finie (\(m,n \strictinferieur \infty\)) existe toujours.
8.2. Image
L'image d'une matrice est l'image de l'application linéaire associée, c'est-à-dire :
\[\image A = \{ A \cdot x : x \in \corps^n \}\]
Si \(c_i = \colonne_i A\), on a :
\[A = [ c_1 \ c_2 \ ... \ c_n ]\]
On voit que :
\[A \cdot x = \sum_i c_i \cdot x_i\]
autrement dit l'image de \(A\) est l'espace vectoriel engendré par ses colonnes :
\[\image A = \combilin{c_1,c_2,...,c_n}\]
8.3. Noyau
Le noyau d'une matrice est le noyau de l'application linéaire associée, c'est-à-dire :
\[\noyau A = \{ x \in \corps^n : A \cdot x = 0 \}\]