Eclats de vers : Matemat : Calcul stochastique

Un processus stochastique est une fonction :

\[X : [0,+\infty) \times \Omega \mapsto \setR, \quad (t,\omega) \mapsto X(t,\omega)\]

On sous-entend souvent l'événement \(\omega\), et on note \(X(t)=X(t,\omega)\).

Il s'agit d'une intégrale utilisant un processus stochastique \(X\) comme mesure :

\[I(t) = \int_0^t f(s) \ dX(s) = \lim_{\delta \to 0} \sum_k f(t_k) (X(t_{k+1}) - X(t_k))\]

Soit \(\delta \strictsuperieur 0\) et les \(N\) temps \(t_k = k \cdot \delta\) où \(k = 0,...,\arrondisup{\frac{T}{\delta}}\). On définit la variation quadratique d'une fonction \(f\) :

\[\variation{f}(T) = \lim_{\delta \to 0} \sum_k (f(t_{k+1}) - f(t_k))^2\]

Si la dérivée de \(f\) existe, la variation quadratique s'annule car :

\[(f(t_{k+1}) - f(t_k))^2 \to \delta^2 \ \OD{f}{t}(t_k)^2\]

Comme \(\delta^2 \to \delta \ ds\), on a :

\[\variation{f}(T) = \lim_{\delta \to 0} \delta \int_0^T \left(\OD{f}{t}(s)\right)^2 ds = 0\]

Considérons maintenant deux processus stochastiques \(X,Y\). Nous définissons la variation conjointe \(\variation{X,Y}\) :

\[\variation{X,Y}(T) = \lim_{\delta \to 0} \sum_k (X(t_{k+1}) - X(t_k)) \ (Y(t_{k+1}) - Y(t_k))\]

Dans le cas où les dérivées de \(X\) et de \(Y\) existent, on a évidemment : \(\variation{X,Y} = 0\).

Pour une fonction \(f : \setR^2 \mapsto \setR\) quelconque, nous avons :

\[df(X,Y) = f(X + \ dX,Y + dY) - f(X,Y)\]

Dans le cas particulier où \(f(X,Y)=X \cdot Y\), cette expression se réduit à :

\begin{align} d(X \cdot Y) &= (X + \ dX) \cdot (Y + dY) - X \cdot Y \) \( &= \ dX \cdot Y + X \cdot dY + \ dX \cdot dY \end{align}

Mais comme :

\[\variation{X,Y}(t) = \int_0^t \ dX \cdot dY\]

on a en définitive :

\begin{align} X(t) Y(t) - X(0) Y(0) &= \int_0^t d(X Y)(s) \) \( &= \int_0^t X(s) \ dY(s) + \int_0^t Y(s) \ dX(s) + \variation{X,Y}(t) \end{align}

La définition nous donne directement :

\[\variation{X} = \variation{X,X}\]

On peut aussi vérifier que :

\[(X + Y)^2 - (X - Y)^2 = 4 \ X \ Y\]

d'où l'on déduit :

\[\variation{X,Y} = \unsur{4} ( \variation{X + Y} - \variation{X - Y} )\]

Soit \(\delta \strictsuperieur 0\) et les temps \(t_k = k \delta\) où \(k = 0,...,\arrondisup{\frac{T}{\delta}}\). On définit la variation d'ordre \(n\) d'une fonction \(f\) :

\[\variation{f}^n(T) = \lim_{\delta \to 0} \sum_k (f(t_{k+1}) - f(t_k))^n\]

Soit une fonction \(F : \setR^n \mapsto \setR\) et \(N\) processus stochastiques \(X_i\) dont les variations d'ordre \(n \ge 3\) s'annulent. Soit \(X=(X_1,...,X_N)\). On peut écrire le développement en série de Taylor d'ordre 2 :

\[F(X + \Delta) - F(X) \approx \deriveepartielle{F}{X}(X) \Delta + \unsur{2} \Delta^T \dblederiveepartielle{F}{X}(X) \Delta\]

En faisant tendre \(\Delta \to 0\), on obtient :

\[dF = \deriveepartielle{F}{X} \ dX + \unsur{2} \ dX^T \dblederiveepartielle{F}{X} \ dX\]

On a donc la formule de Ito pour une fonction $f : \setRⁿ \mapsto \setR $ :

\[dF = \sum_i \deriveepartielle{F}{X_i} \ dX_i + \unsur{2} \sum_{i,j} \dfdxdy{F}{X_i}{X_j} \ dX_i \ dX_j\]

Ce qui nous permet d'évaluer une variation de \(F\) :

Un mouvement brownien est un processus stochastique :

\[B : [0,+\infty) \times \Omega \mapsto \setR, \quad (t,\omega) \mapsto B(t,\omega)\]

continu par rapport à \(t\) :

\[B_\omega : t \mapsto B(t,\omega) \in \Cont([0,+\infty))\]

De plus, si on définit :

\[\mathcal{B}_t : \omega \mapsto B(t,\omega)\]

on a la propriété d'indépendance des variations temporelles :

\[\cov{\mathcal{B}_u - \mathcal{B}_t}{\mathcal{B}_t - \mathcal{B}_s} = 0\]

pour tout \(s \strictinferieur t \strictinferieur u\) positifs. On demande aussi qu'une variation \(\mathcal{B}_t - \mathcal{B}_s\) suive une loi normale d'espérance nulle et de variance \(t-s\) :