Eclats de vers : Matemat : Céviennes

Une médiane est un segment qui part d’un sommet du triangle jusqu’au milieu du côté opposé.

Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) et une médiane \(m\) qui part du sommet \(C\) pour rejoindre le milieu \(D\) du côté \([A,B]\) :

On a donc :

\[ \abs{AD} = \abs{DB} \]

Une hauteur est un segment qui part d’un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé.

Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) et une hauteur \(h\) qui part du sommet \(C\) pour rejoindre perpendiculairement le côté \([A,B]\) :

On remarque que :

• la droite \((CD)\) est l’unique droite qui passe par le sommet \(C\) et est perpendiculaire à la droite \((AB)\)
• \(D\) est la projection orthogonale de \(C\) sur \((AB)\)

Par chaque sommet d’un triangle, on peut construire une et une seule hauteur perpendiculaire au côté opposé. Un triangle compte en tout trois hauteurs.

Une médiatrice d’un triangle est tout simplement la médiatrice d’un des côtés.

Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) et une médiatrice \(m\) qui croise perpendiculairement le côté \([A,B]\) en son milieu :

Une bissectrice d’un triangle est une demi-droite dont l’origine est un des sommets et qui coupe l’angle lié à ce sommet en deux parties égales.

Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) et une bissectrice \(b\) dont l’origine est le sommet \(A\) et qui coupe l’angle \(\angleflex{BAC}\) en deux angles \(\alpha\) d’amplitudes égales :

Soit un triangle \(ABC\) isocèle en \(C\) et la hauteur \(h\) qui part du sommet principal \(C\) :

Comme \(ABC\) est isocèle en \(C\), on a :

\[ a = \abs{AC} = \abs{BC} \]

Les triangles rectangles \(ADC\) et \(BDC\) ont une cathète \(h\) et leur hypothénuse de mêmes longueurs. Ils sont donc isométriques et :

\[ \abs{AD} = \abs{BD} \]

La hauteur \(h\) est donc aussi une médiane du triangle \(ABC\). Au niveau des angles, on a :

\[ \alpha = \beta \]

Les angles adjacents à la base principale \([A,B]\) sont égaux. L’égalité du dernier angle :

\[ \lambda = \mu \]

signifie que la hauteur \(h\) est aussi la bissectrice de l’angle \(\angleflex{ACB}\).

On a donc finalement le schéma suivant :

En résumé :

• les deux angles adjacents à la base principale sont égaux
• la hauteur qui part du sommet principal est aussi une médiane
  • il s’agit donc d’une médiane perpendiculaire, c’est-à-dire d’une médiatrice
• la hauteur qui part du sommet principal est aussi la bissectrice de l’angle correspondant

Soit un triangle \(ABC\) isocèle en \(C\) et la médiane \(m\) qui part du sommet principal \(C\) :

Comme \(ABC\) est isocèle en \(C\), on a :

\[ a = \abs{AC} = \abs{BC} \]

Par définition de la médiane, on a :

\[ b = \abs{AD} = \abs{BD} \]

On voit que les triangles \(ADC\) et \(BDC\) ont leurs trois côtés de mêmes longueurs :

• la médiane \(m\), côté commun
• les côtés \([A,C]\) et \([B,C]\) de longueur \(a\)
• les côtés \([A,D]\) et \([B,D]\) de longueur \(b\)

Ils sont donc isométriques, ce qui implique que leurs angles sont de mêmes amplitudes :

\[ \alpha = \beta \qquad \qquad \qquad \gamma = \delta \qquad \qquad \qquad \lambda = \mu \]

Nous avions déjà obtenu \(\alpha = \beta\) dans la section sur la hauteur du triangle isocèle.

Comme les points \(A\), \(D\) et \(C\) sont alignés, \(\gamma\) et \(\delta\) forment ensemble un angle plat.

\[ \gamma + \delta = 180^\circ \]

En utilisant \(\gamma = \delta\), cette relation devient :

\[ 2 \ \gamma = 180^\circ \]

c’est-à-dire :

\[ \gamma = 90^\circ \]

La médiane \(m\) est donc aussi une hauteur du triangle \(ABC\).

La dernière relation \(\lambda = \mu\) signifie que la médiane \(m\) est aussi la bissectrice de l’angle \(\angleflex{ACB}\) qui part du sommet principal.

On a donc finalement le schéma suivant :

Soit un triangle \(ABC\) isocèle en \(C\) et la bissectrice \(b\) qui part du sommet principal \(C\) :

Comme \(ABC\) est isocèle en \(C\), on a :

\[ a = \abs{AC} = \abs{BC} \]

On voit que les triangles \(ADC\) et \(BDC\) ont un angle de même amplitude \(\lambda\) situé entre deux côtés de mêmes longueurs :

• la bissectrice \(b\), côté commun
• les côtés \([A,C]\) et \([B,C]\) de longueur \(a\)

Ils sont donc isométriques et :

\[ \abs{AD} = \abs{DB} \]

La bissectrice \(b\) est donc aussi une médiane du triangle \(ABC\). On a aussi :

\[ \alpha = \beta \]

\[ \gamma = \delta \]

Comme les points \(A\), \(D\) et \(B\) sont alignés, \(\gamma\) et \(\delta\) forment ensemble un angle plat, il vient :

\[ \gamma + \delta = 2 \ \gamma = 180^\circ \]

d’où :

\[ \gamma = 90^\circ \]

La bissectrice \(b\) est donc aussi une hauteur du triangle \(ABC\). Notre schéma devient :

Nous avons établi que :

• la médiane
• la hauteur
• la bissectrice

qui partent du sommet principal d’un triangle isocèle se confondent.

Comme la médiane est perpendiculaire à la base principale, elle est aussi sa médiatrice.

De plus, les angles adjacents à la base principale sont de même amplitude.

Soit un triangle \(ABC\) qui possède deux angles de même amplitude sur les sommets \(A\) et \(B\), et la hauteur \(h\) qui part du troisième sommet \(C\) :

Les triangles rectangles \(ADC\) et \(BDC\) ont une cathète \(h\) commune et un angle non adjacent d’amplitude égale. Ces deux triangles sont donc isométriques. On a en particulier :

\[ \abs{AC} = \abs{BC} \qquad \qquad \qquad \abs{AD} = \abs{BD} \qquad \qquad \qquad \lambda = \mu \]

Notre schéma devient :

On voit que :

• le triangle \(ABC\) est isocèle en \(C\)
• la hauteur \(h\) est aussi une médiane du triangle \(ABC\), et la bissectrice de l’angle \(\angleflex{ACB}\)

Un triangle équilatéral \(ABC\) est par définition isocèle en \(A\), en \(B\) et en \(C\). Les céviennes qui partent du même sommet :

• médiane
• hauteur
• bissectrice

sont donc confondues.

Une médiane d’un triangle équilatéral est donc aussi une médiatrice du triangle.

Le schéma ci-dessous représente un triangle équilatéral \(ABC\) avec ses trois angles :

Comme \(ABC\) est un cas particulier de triangle isocèle en \(A\) :

\[ \abs{AC} = \abs{AB} \]

Les angles adjacents à la base principale correspondante \([B,C]\) sont donc égaux :

\[ \beta = \gamma \]

Comme \(ABC\) est un cas particulier de triangle isocèle en \(B\) :

\[ \abs{BA} = \abs{BC} \]

Les angles adjacents à la base principale correspondante \([C,A]\) sont donc égaux :

\[ \alpha = \gamma \]

Les trois angles sont donc identiques :

\[ \alpha = \beta = \gamma \]

La somme des angles de ce triangle nous donne :

\[ \alpha + \beta + \gamma = 3 \ \alpha = 180^\circ \]

On a donc :

\[ \alpha = \beta = \gamma = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]

Les angles d’un triangle équilatéral ont tous une amplitude de \(60^\circ\).

Le schéma ci-dessous représente un triangle \(ABC\) qui possède trois angles égaux :

Comme les angles \(\angleflex{B}\) et \(\angleflex{C}\) sont égaux (ils valent tous deux \(\alpha\)), le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\) :

\[ \abs{AB} = \abs{AC} \]

Comme les angles \(\angleflex{A}\) et \(\angleflex{C}\) sont égaux, le triangle \(ABC\) est isocèle en \(B\) :

\[ \abs{BA} = \abs{BC} \]

Les trois côtés sont donc de longueur égale :

\[ \abs{AB} = \abs{BC} = \abs{CA} \]

Un triangle qui possède trois angles égaux est un triangle équilatéral.