Eclats de vers : Matemat : Constructions de polygones
Table des matières
1. Carré
1.1. D’après cinq cercles
Pour construire un carré, on peut utiliser cinq cercles disposés comme dans une graine de vie :
Voici les étapes détaillées de cette méthode de construction :
- On dessine une triquetra formée par les cercles \(\mathscr{C}_1\), \(\mathscr{C}_2\) et \(\mathscr{C}_3\), tous trois de rayon \(r\)
- on note \(O_4\) le point d’intersection entre \(\mathscr{C}_1\) et \(\mathscr{C}_3\), distinct de \(O_2\)
- on note \(O_5\) le point d’intersection entre \(\mathscr{C}_2\) et \(\mathscr{C}_3\), distinct de \(O_1\)
- on trace le cercle \(\mathscr{C}_4\), de centre \(O_4\) et de rayon \(r\)
- on trace le cercle \(\mathscr{C}_5\), de centre \(O_5\) et de rayon \(r\)
- on trace le segment \([O_1,I]\)
- on trace le segment \([O_2,J]\)
- on note \(M\) le point d’intersection entre \(\mathscr{C}_1\) et \([O_1,I]\)
- on note \(N\) le point d’intersection entre \(\mathscr{C}_2\) et \([O_2,J]\)
Comme les sommets du quadrilatère \(O_1 O_2 N M\) appartiennent à des cercles de rayon \(r\) dont \(O_1\) et \(O_2\) sont les centres, on a :
\[ \abs{O_1 O_2} = \abs{O_1 M} = \abs{O_2 N} = r \]
On remarque également que les ensembles formés par :
- les cercles \(\mathscr{C}_1\), \(\mathscr{C}_3\) et \(\mathscr{C}_4\)
- les cercles \(\mathscr{C}_2\), \(\mathscr{C}_3\) et \(\mathscr{C}_5\)
sont tous deux des triquetras. Les propriétés de la triquetra nous garantissent donc les perpendiculatirés suivantes :
\[ (O_1 I) \perp (O_1 O_2) \perp (O_2 J) \]
Le quadrilatère \(O_1 O_2 N M\) possède deux côtés de même longueur, \([O_1,M]\) et \([O_2,N]\), formant deux angles droits avec le troisième côté \([O_1,O_2]\). C’est donc un rectangle, et ses côtés opposés sont égaux. Comme de plus :
\[ \abs{O_1 M} = \abs{O_1 O_2} \]
Le rectangle \(O_1 O_2 N M\) est aussi un carré.
2. Hexagone régulier
Pour construire un hexagone, on utilise l’égalité entre la longueur du côté et le rayon du cercle circonscrit :
Voici les étapes détaillées de cette méthode de construction :
- tracer le cercle circonscrit \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\)
- choisir un point \(P_1\) sur \(\mathscr{C}\), qui deviendra un des sommets de l’hexagone
- tracer la droite \(d = (O P_1)\)
- \(P_1\) est par construction un point d’intersection de \(d\) avec \(\mathscr{C}\)
- on note \(P_4\) le second point d’intersection de \(d\) avec \(\mathscr{C}\)
- tracer le cercle \(\mathscr{C}_1\), de centre \(P_1\) et de rayon \(r\)
- on note \(P_2\) et \(P_6\) les points d’intersections de \(\mathscr{C}_1\) avec \(\mathscr{C}\)
- tracer le cercle \(\mathscr{C}_2\), de centre \(P_4\) et de rayon \(r\)
- on note \(P_3\) et \(P_5\) les points d’intersections de \(\mathscr{C}_2\) avec \(\mathscr{C}\)
- tracer les côtés \([P_1,P_2]\), \([P_2,P_3]\), …, \([P_5,P_6]\), \([P_6,P_1]\)
En effet, comme \(P_1\) est un sommet de l’hexagone, le diamètre \([P_1,P_4]\) est une $2$-diagonale, ce qui implique que \(P_4\) est aussi un sommet.
Les points \(P_2\) et \(P_6\) sont aussi des sommets, car ils appartiennent au cercle circonscrit et sont à distance \(r\) du sommet \(P_1\).
Les points \(P_3\) et \(P_5\) sont aussi des sommets, car ils appartiennent au cercle circonscrit et sont à distance \(r\) du sommet \(P_4\).
Il suffit de relier ces six sommets :
\[ P_1, P_2, \ldots, P_6 \]
pour compléter l’hexagone régulier.
La construction ressemble à celle de la graine de vie. La structure des angles et des longueurs est la même dans les deux cas.
3. Pentagone régulier
3.1. Construction
3.2. Cercle circonscrit
pentagramme diamètres passant par les sommets et les intersections opposées
4. Octogone régulier
diamètre et perpendiculaire bissectrices
5. Dodécagone régulier
hexagone hexagramme diamètres intersections
6. Décagone régulier
pentagone pentagramme diamètres passant par les sommets et les intersections opposées