Eclats de vers : Matemat : Constructions de triangles

Le schéma ci-dessous représente la construction d’un triangle \(ABC\) dont on connaît les longueurs des trois côtés :

On connaît les longueurs \(\abs{AB}\), \(\abs{BC}\) et \(\abs{CA}\).

Voici les étapes de la construction :

1. on trace le segment \([A,B]\) de longueur \(\abs{AB}\)
2. on trace l’arc de cercle \(\mathscr{C}_1\) de centre \(A\) et de rayon \(\abs{AC}\)
3. on trace l’arc de cercle \(\mathscr{C}_2\) de centre \(B\) et de rayon \(\abs{BC}\)

Le point \(C\) recherché se trouve à une distance \(\abs{AC}\) de \(A\) et à une distance \(\abs{BC}\) de \(B\). Il doit donc coïncider avec une des intersections de \(\mathscr{C}_1\) et de \(\mathscr{C}_2\). On a donc \(C = I\) ou \(C = J\). Une fois ce point \(C\) choisi, il ne reste plus qu’à tracer les segments \([A,C]\) et \([B,C]\).

Les triangles \(ABI\) ou \(ABJ\) vérifient donc tous deux les conditions de départ.

Le schéma ci-dessous représente la construction d’un triangle \(ABC\) dont on connaît l’amplitude d’un angle et les longueurs des deux côtés qui l’entourent :

On connaît les longueurs \(\abs{AB}\) et \(\abs{AC}\) ainsi que l’angle :

\[ \alpha = \abs{\anglecirc{BAC}} \]

Voici les étapes de la construction :

1. on trace le segment \([A,B]\) de longueur \(\abs{AB}\)
2. on trace la droite \(d\) passant par \(A\) et formant un angle d’amplitude \(\alpha\) avec \([A,B]\)
3. on reporte sur \(d\) la distance \(\abs{AC}\) en partant du point \(A\), obtenant ainsi le point \(C\)

Il ne reste alors plus qu’à tracer les segments \([A,C]\) et \([B,C]\).

Remarque : on aurait pu partir vers le bas pour tracer la droite \(d\), obtenant ainsi un triangle isométrique à celui présenté sur le schéma.

Le schéma ci-dessous représente la construction d’un triangle \(ABC\) dont on connaît la longueur d’un côté ainsi que l’amplitude des angles qui l’entourent :

On connaît la longueur \(\abs{AB}\) ainsi que les angles :

\[ \alpha = \abs{\anglecirc{BAC}} \]

\[ \beta = \abs{\anglecirc{CBA}} \]

Voici les étapes de la construction :

1. on trace le segment \([A,B]\) de longueur \(\abs{AB}\)
2. on trace la droite \(d\) passant par \(A\) et réalisant un angle d’amplitude \(\alpha\) avec \([A,B]\)
3. on trace la droite \(f\) passant par \(B\) et réalisant un angle d’amplitude \(\beta\) avec \([A,B]\)
4. le point \(C\) recherché est l’intersection de \(d\) et \(f\)

Il ne reste alors plus qu’à tracer les segments \([A,C]\) et \([B,C]\).

Remarque : on aurait pu partir vers le bas pour tracer les droites \(d\) et \(f\), obtenant ainsi un triangle isométrique à celui présenté sur le schéma.

Le schéma ci-dessous représente la construction d’un triangle rectangle \(ABC\) dont on connaît la longueur des cathètes :

On connaît les longueurs \(\abs{AB}\) et \(\abs{BC}\).

Voici les étapes de la construction :

1. on trace le segment \([A,B]\) de longueur \(\abs{AB}\)
2. on trace le segment \([B,C]\) de longueur \(\abs{BC}\) et perpendiculaire à \([A,B]\)
3. on trace \([A,C]\) le dernier côté du triangle

Remarque : on aurait pu partir vers le bas pour tracer \([A,C]\), obtenant ainsi un triangle isométrique à celui présenté sur le schéma.

Le schéma ci-dessous représente la construction d’un triangle rectangle \(ABC\) dont on connaît la longueur d’une cathète et l’amplitude d’un angle, en plus de l’angle droit :

On connaît la longueur \(\abs{AB}\) ainsi que l’angle :

\[ \alpha = \abs{\anglecirc{BAC}} \]

Voici les étapes de la construction :

1. on trace le segment \([A,B]\) de longueur \(\abs{AB}\)
2. on trace la droite \(d\) passant par \(B\) et perpendiculaire à \([A,B]\)
3. on trace la droite \(f\) passant par \(A\) et formant un angle d’amplitude \(\alpha\) avec \([A,B]\)
4. le point \(C\) est l’intersection de \(d\) et \(f\)

Il ne reste alors plus qu’à tracer les segments \([A,C]\) et \([B,C]\).

Remarque : on aurait pu partir vers le bas pour tracer les droites \(d\) et \(f\), obtenant ainsi un triangle isométrique à celui présenté sur le schéma.

Le schéma ci-dessous représente la construction d’un triangle rectangle \(ABC\) dont on connaît les longueurs d’une cathète et de l’hypothénuse :

On connaît les longueurs \(\abs{AB}\) et \(\abs{AC}\).

Voici les étapes de la construction :

1. on trace le segment \([A,B]\) de longueur \(\abs{AB}\)
2. on trace la droite \(d\) perpendiculaire à \([A,B]\)
3. on trace l’arc de cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(A\) et de rayon \(\abs{AC}\)
4. le point \(C\) recherché est l’intersection de \(d\) et de \(\mathscr{C}\)

Il ne reste alors plus qu’à tracer les segments \([A,C]\) et \([B,C]\).

Remarque : il existe une seconde intersection entre \(d\) et \(\mathscr{C}\), située en-dessous de \(B\). Choisir cette seconde intersection comme point \(C\) produit un triangle isométrique à celui présenté sur le schéma.

Le schéma ci-dessous représente la construction d’un triangle rectangle \(ABC\) dont on connaît la longueur de l’hypothénuse et l’amplitude d’un angle :

On connaît la longueur \(\abs{AC}\) et l’angle :

\[ \alpha = \abs{\anglecirc{BAC}} \]

Voici les étapes de la construction :

1. on trace la droite \(d\)
2. on choisit un point \(A\) sur \(d\)
3. on trace la droite \(f\) formant un angle d’amplitude \(\alpha\) avec \(d\) au point \(A\)
4. on reporte sur \(f\) la distance \(\abs{AC}\) en partant du point \(A\), obtenant ainsi le point \(C\)
5. on trace la droite \(g\), passant par \(C\) et perpendiculaire à \(d\)
6. le point \(B\) est l’intersection de \(d\) et \(g\)

Il ne reste alors plus qu’à tracer les côtés du triangle.

Remarque : on aurait pu partir vers le bas pour tracer la droite \(f\), obtenant ainsi un triangle isométrique à celui présenté sur le schéma.