Eclats de vers : Matemat : Constructions géométriques

Pour tracer la médiatrice d’un segment, on construit un losange où le segment est l’une des diagonales et où la médiatrice est le prolongement de l’autre diagonale.

Le schéma ci-dessous illustre la construction de la médiatrice \(m\) du segment \([A,B]\) :

On définit la longueur :

\[ \mathscr{L} = \abs{AB} \]

Voici les étapes de cette méthode de construction :

1. ouvrir le compas d’un rayon \(r\) à peu près compris entre \(2 \ \mathscr{L} / 3\) et \(\mathscr{L}\)
   • si le rayon est trop près de \(\mathscr{L}/2\), les points d’intersection vont être très proches, ce qui peut poser un problème de précision
2. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_1\) de centre \(A\) et de rayon \(r\)
3. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_2\) de centre \(B\) et de rayon \(r\)
4. on note \(D\) et \(E\) les deux points d’intersections de \(\mathscr{C}_1\) et \(\mathscr{C}_2\)
5. tracer la droite \(m = (DE)\)
6. on note \(I\) le point d’intersection entre \([A,B]\) et \(m\)

Par construction, on a :

\[ \abs{AD} = \abs{AE} = \abs{BD} = \abs{BE} \]

Le quadrilatère \(AEBD\) est donc un losange. Les segments \([A,B]\) et \([D,E]\) sont les diagonales du losange \(AEBD\) : ils sont donc perpendiculaires et se coupent en leur milieu. La droite \(m = (DE)\) est bien la médiatrice du segment \([A,B]\), et le point \(I\) est son milieu :

\[ \abs{AI} = \abs{IB} \]

Pour tracer la bissectrice d’un angle, on construit un cerf-volant où la bissectrice est le prolongent de la diagonale adéquate.

Le schéma ci-dessous illustre la construction de la bissectrice \(b\) de l’angle \(\angleflex{AOB}\) :

Voici les étapes de cette méthode de construction :

1. ouvrir le compas d’un rayon \(r_1\)
2. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_1\) de centre \(O\) et de rayon \(r_1\)
   • soit \(D\) l’intersection de la droite \((OA)\) avec \(\mathscr{C}_1\)
   • soit \(E\) l’intersection de la droite \((OB)\) avec \(\mathscr{C}_1\)
3. ouvrir le compas d’un rayon \(r_2\)
4. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_2\) de centre \(D\) et de rayon \(r_2\)
5. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_3\) de centre \(E\) et de rayon \(r_2\)
   • le rayon de \(\mathscr{C}_3\) est donc le même que celui de \(\mathscr{C}_2\)
6. soit \(I\) l’intersection de \(\mathscr{C}_2\) avec \(\mathscr{C}_3\)
7. tracer la droite \(b = (OI)\)

Par construction, on a :

\[ \abs{OD} = \abs{OE} \qquad \qquad \qquad \abs{DI} = \abs{EI} \]

Le quadrilatère \(ODIE\) est donc un cerf-volant. La diagonale \([O,I]\) traverse les deux triangles isocèles qui composent le cerf-volant, ce qui implique que \([O,I]\) est la bissectrice des angles situés à ses extrémités. La droite \(b = (OI)\) est bien la bissectrice de l’angle \(\angleflex{DOE} = \angleflex{AOB}\).

Pour tracer la perpendiculaire à une droite passant par un point, on construit un cerf-volant où le point est un des sommets, où la droite originale prolonge une des diagonales et où la droite perpendiculaire prolonge l’autre diagonale.

Soit un point \(A\) et une droite \(d\). Le schéma ci-dessous illustre la construction de la droite \(p\), perpendiculaire à \(d\) et passant par \(A\) :

Voici les étapes de cette méthode de construction :

1. ouvrir le compas d’un rayon \(R\) strictement supérieur à la distance entre le point \(A\) et la droite \(d\)
   • autrement dit, assez grand pour qu’un cercle centré sur \(A\) ait deux intersections avec \(d\)
2. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_1\) de centre \(A\) et de rayon \(R\)
3. on note \(I\) et \(J\) les deux points d’intersections de la droite \(d\) avec l’arc de cercle \(\mathscr{C}_1\)
4. on note \(\mathscr{L} = \abs{IJ}\)
5. ouvrir le compas d’un rayon \(r\) à peu près compris entre \(2 \ \mathscr{L} / 3\) et \(\mathscr{L}\)
   • si le rayon est trop près de \(\mathscr{L}/2\), les points d’intersection vont être très proches, ce qui peut poser un problème de précision
6. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_2\) de centre \(I\) et de rayon \(r\)
7. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_3\) de centre \(J\) et de rayon \(r\)
8. on note \(K\) et \(L\) les deux points d’intersections de \(\mathscr{C}_2\) et \(\mathscr{C}_3\)
9. tracer la droite \(p = (AL)\)
10. on note \(O\) le point d’intersection entre \(d\) et \(p\)

Par construction, on a :

\[ \abs{AI} = \abs{AJ} \]

\[ \abs{LI} = \abs{LJ} \]

Le quadrilatère \(AILJ\) est donc un cerf-volant. Les segments \([I,J]\) et \([A,L]\) sont les diagonales de ce cerf-volant : ils sont donc perpendiculaires. La droite \(p = (AL)\) est bien perpendiculaire à la droite \(d = (AB)\) et passe par \(A\) puisque :

\[ A \in (AL) = p \]

Le point \(O\) est par définition la projection orthogonale de \(A\).

Remarque : la diagonale \([A,L]\) traverse les deux triangles isocèles qui composent le cerf-volant, ce qui implique que \([A,L]\) est la médiatrice de l’autre diagonale \([I,J]\).

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). Le schéma ci-dessous illustre la construction de la droite \(p\), perpendiculaire au diamètre \([A,B]\) et passant par le centre \(O\) :

Voici les étapes de cette méthode de construction :

1. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_1\), de centre \(A\) et de rayon \(r\)
2. on note \(I\) et \(J\) les intersections de \(\mathscr{C}\) avec \(\mathscr{C}_1\)
3. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_2\), de centre \(B\) et de rayon \(r\)
4. on note \(K\) et \(L\) les intersections de \(\mathscr{C}\) avec \(\mathscr{C}_2\)
5. tracer les segments \([A,K]\), \([A,L]\), \([B,I]\) et \([B,J]\)
6. on note \(M\) l’intersection de \([A,K]\) avec \([B,I]\)
7. on note \(N\) l’intersection de \([A,L]\) avec \([B,J]\)
8. tracer la droite \(p = (MN)\)

Comme \([A,B]\) est un diamètre du cercle \(\mathscr{C}\), on a :

\[ \abs{AO} = \abs{OB} \]

Le centre \(O\) est aussi le point milieu du segment \([A,B]\).

Les triangles \(AIB\), \(AJB\), \(AKB\) et \(ALB\) sont inscrits dans \(\mathscr{C}\) et ont un côté commun \([A,B]\) qui est un diamètre du cercle. Ce sont donc tous des triangles rectangles. En plus de leur hypothénuse commune, ils ont une cathète de même longueur car :

\[ r = \abs{AI} = \abs{AJ} = \abs{BK} = \abs{BL} \]

par construction. Ces triangles sont tous isométriques et :

\[ \alpha = \beta = \gamma = \delta \]

Les triangles \(MAB\) et \(NAB\) ont chacun deux angles de même amplitudes et sont donc isocèles :

\[ \abs{MA} = \abs{MB} \qquad \qquad \qquad \abs{NA} = \abs{NB} \]

Le quadrilatère \(ANBM\) possède deux paires de côtés adjacents de même longueur : c’est un cerf-volant. Sa diagonale \([M,N]\) traverse les deux triangles isocèles et est donc la médiatrice de l’autre diagonale \([A,B]\). La droite \(p = (MN)\) qui la prolonge est bien perpendiculaire au diamètre \([A,B]\) et passe par le point \(O\), milieu du segment \([A,B]\) :

\[ p \perp [A,B] \qquad \qquad O \in p \]

Remarque : la complémentarité des angles dans les triangles rectangles \(MAO\) et \(NAO\) nous donnent :

\[ \abs{\angleflex{AMO}} = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \beta = \abs{\angleflex{ONA}} \]

Le triangle \(AMN\) possède deux angles de même amplitude et est isocèle :

\[ \abs{MA} = \abs{NA} \]

On a finalement :

\[ \abs{MB} = \abs{MA} = \abs{NA} = \abs{NB} \]

Le quadrilatère \(ANBM\) est aussi un losange.

Soit un triangle \(ABC\) et :

• \(m\), la médiatrice du côté \([A,B]\)
• \(p\), la médiatrice du côté \([B,C]\)
• \(s\), la médiatrice du côté \([C,A]\)

Considérons le point d’intersection :

\[ O = m \cap p \]

Comme \(O\) est sur la médiatrice \(m\), ce point est équidistant de \(A\) et \(B\) :

\[ \abs{OA} = \abs{OB} \]

Mais \(O\) est aussi sur la médiatrice \(p\) et :

\[ \abs{OB} = \abs{OC} \]

On en déduit que :

\[ \abs{OA} = \abs{OB} = \abs{OC} \]

Le point \(O\) est équistant des trois points \(A\), \(B\) et \(C\). C’est donc le centre du cercle circonscrit au triangle \(ABC\).

Pour construire le cercle circonscrit à un triangle \(ABC\), il suffit de :

1. construire la médiatrice \(m\) de \([A,B]\)
2. construire la médiatrice \(p\) de \([B,C]\)
3. pointer l’intersection \(O\) des médiatrices \(m\) et \(p\)
4. tracer le cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(\abs{OA}\).

Remarque : on déduit de l’égalité des trois distances que :

\[ \abs{OA} = \abs{OC} \]

Le point \(O\) est donc également sur la médiatrice \(s\) de \([A,C]\).

Soit un triangle \(ABC\) et :

• \(b\), la bissectrice de l’angle \(\angleflex{A}\)
• \(d\), la bissectrice de l’angle \(\angleflex{B}\)
• \(f\), la bissectrice de l’angle \(\angleflex{C}\)

Considérons le point d’intersection :

\[ O = b \cap d \]

et :

• \(P\), projection orthogonale de \(O\) sur \((AB)\)
• \(S\), projection orthogonale de \(O\) sur \((BC)\)
• \(T\), projection orthogonale de \(O\) sur \((CA)\)

Comme \(O\) est sur la bissectrice \(b\), ce point est équidistant de \([AB)\) et \([AC)\), et donc des projections orthogonales correspondantes :

\[ \abs{OP} = \abs{OT} \]

Comme \(O\) est sur la bissectrice \(d\), on a aussi :

\[ \abs{OP} = \abs{OS} \]

On en déduit que :

\[ \abs{OP} = \abs{OS} = \abs{OT} \]

ou, en termes de distances :

\[ \distance(O,(AB)) = \distance(O,(BC)) = \distance(O,(CA)) \]

Le point \(O\) est équistant des trois côtés du triangle. C’est donc le centre du cercle inscrit au triangle \(ABC\).

Pour construire le cercle inscrit à un triangle \(ABC\), il suffit de :

1. construire la bissectrice \(b\) de \(\angleflex{A}\)
2. construire la bissectrice \(d\) de \(\angleflex{B}\)
3. pointer l’intersection \(O\) des bissectrices \(b\) et \(d\)
4. tracer \(P\), la projection orthogonale de \(O\) sur \((AB)\)
5. tracer le cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(\abs{OP}\)

Remarque : on déduit de l’égalité des trois distances que :

\[ \abs{OS} = \abs{OT} \]

ou encore :

\[ \distance(O,(BC)) = \distance(O,(CA)) \]

Le point \(O\) est donc également sur la bissectrice \(f\) de \(\angleflex{C}\).

Les triangles semblables donnent une méthode pour construire un segment de longueur proportionnelle à un segment donné. Soit le segment \([A,B]\) :

Supposons par exemple que l’on veuille tracer un segment \([A,C]\) de longueur :

\[ \abs{AC} = \frac{7}{4} \ \abs{AB} \]

Il suffit de :

• tracer la droite \(d = (AB)\) qui prolonge le segment \([A,B]\)
• tracer la droite \(e\), distincte de \(d\) et passant par \(A\)
• ouvrir le compas d’un rayon \(r\)
• tracer des points équidistants sur \(e\) en partant de \(A\) et en allant de \(P_1\) à \(P_7\)
  • tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_1\) de centre \(A\) et de rayon \(r\)
  • on note \(P_1\) le point d’intersection entre \(e\) et \(\mathscr{C}_1\)
  • tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_2\) de centre \(P_1\) et de rayon \(r\)
  • on note \(P_2\) le point d’intersection entre \(e\) et \(\mathscr{C}_2\)
  • tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}_3\) de centre \(P_2\) et de rayon \(r\)
  • on note \(P_3\) le point d’intersection entre \(e\) et \(\mathscr{C}_3\)
  • continuer ainsi jusque \(P_7\)
• tracer la droite \(f = (P_4 B)\)
• tracer la droite \(g\), parallèle à \(f\) et passant par le point \(P_7\)

Par construction, on a :

\[ r = \abs{A P_1} = \abs{P_1 P_2} = \abs{P_2 P_3} = \ldots = \abs{P_6 P_7} \]

On en conclut que :

\[ \abs{A P_4} = 4 \ r \]

\[ \abs{A P_7} = 7 \ r \]

d’où :

\[ \frac{\abs{AP_7}}{\abs{AP_4}} = \frac{7}{4} \]

Le point d’intersection \(C\) entre \(g\) et \(d\) délimite le segment \([A,C]\) demandé. En effet, par similarité des triangles, on a :

\[ \frac{\abs{AC}}{\abs{AB}} = \frac{\abs{AP_7}}{\abs{AP_4}} = \frac{7}{4} \]

On peut utiliser le théorème de Pythagore pour construire une suite de segments de longueurs :

\[ \sqrt{1} = 1 \qquad \qquad \qquad \sqrt{2} = 2 \qquad \qquad \qquad \sqrt{3} = 3 \qquad \qquad \qquad \sqrt{4} = 4 \qquad \qquad \qquad \sqrt{5} = 5 \qquad \qquad \qquad \ldots \]

Le schéma ci-dessous nous en donne un exemple :

On procède comme suit :

1. on trace un carré \(A P_1 T_1 B\)
2. on prolonge les côtés \([A,P_1]\) et \([A,T_1]\) vers la droite
3. on trace un arc de cercle \(\mathscr{C}_1\) de centre \(A\) et de rayon \(\abs{A T_1}\)
4. on nomme \(P_2\) le point d’intersection entre la droite \((A P_1)\) et \(\mathscr{C}_1\)
5. on trace \(T_2\), la projection orthogonale de \(P_2\) sur \((B T_1)\)
   • la droite \((P_2 T_2)\) est donc perpendiculaire à \((B T_1)\)
6. on trace un arc de cercle \(\mathscr{C}_2\) de centre \(A\) et de rayon \(\abs{A T_2}\)
7. on nomme \(P_3\) le point d’intersection entre la droite \((A P_1)\) et \(\mathscr{C}_2\)
8. on trace \(T_3\), la projection orthogonale de \(P_3\) sur \((B T_1)\)
9. on trace un arc de cercle \(\mathscr{C}_3\) de centre \(A\) et de rayon \(\abs{A T_3}\)
10. on nomme \(P_4\) le point d’intersection entre la droite \((A P_1)\) et \(\mathscr{C}_3\)
11. on trace \(T_4\), la projection orthogonale de \(P_4\) sur \((B T_1)\)
12. on trace un arc de cercle \(\mathscr{C}_4\) de centre \(A\) et de rayon \(\abs{A T_4}\)
13. on nomme \(P_5\) le point d’intersection entre la droite \((A P_1)\) et \(\mathscr{C}_4\)
14. on trace \(T_5\), la projection orthogonale de \(P_5\) sur \((B T_1)\)
15. etc

Appliquons le théorème de Pythagore au triangle rectangle \(A P_1 T_1\) :

\[ \abs{A P_2}^2 = \abs{A T_1}^2 = \abs{A P_1}^2 + \abs{P_1 T_1}^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \]

puis au triangle rectangle \(A P_2 T_2\) :

\[ \abs{A P_3}^2 = \abs{A T_2}^2 = \abs{A P_2}^2 + \abs{P_2 T_2}^2 = 2 + 1^2 = 3 \]

et ainsi de suite :

\[ \abs{A P_4}^2 = \abs{A T_3}^2 = \abs{A P_3}^2 + \abs{P_3 T_3}^2 = 3 + 1^2 = 4 \]

\[ \abs{A P_5}^2 = \abs{A T_4}^2 = \abs{A P_4}^2 + \abs{P_4 T_4}^2 = 4 + 1^2 = 5 \]

\[ \ldots \]

En prenant la racine carrée de ces relations, il vient :

\[ \abs{A P_2} = \sqrt{2} \]

\[ \abs{A P_3} = \sqrt{3} \]

\[ \abs{A P_4} = \sqrt{4} \]

\[ \abs{A P_5} = \sqrt{5} \]

\[ \ldots \]

Les segments :

\[ [A, P1], \quad [A, P_2], \quad \ldots, \quad [A, P_5], \quad \ldots \]

ont donc les longueurs souhaitées.

Le schéma ci-dessous illustre la construction d’un segment \([A,I]\) dont la longueur est égale au nombre d’or :

Voici les étapes de cette méthode de construction :

1. tracer un segment \([A,B]\) de longueur \(1/2\)
2. tracer un segment \([A,C]\) perpendiculaire à \([A,B]\) et de longueur \(1\)
3. tracer un arc de cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(B\) et de rayon \(\abs{BC}\)
4. on note \(I\) le point d’intersection entre la droite \((AB)\) et \(\mathscr{C}\)

Le théorème de Pythagore nous donne :

\[ \abs{BC}^2 = \abs{AB}^2 + \abs{AC}^2 = \left( \unsur{2} \right)^2 + 1^2 = \unsur{4} + 1 \]

Mettons les termes du membre de droite au même dénominateur :

\[ \abs{BC}^2 = \frac{1 + 4}{4} = \frac{5}{4} \]

L’hypothénuse vaut donc :

\[ \abs{BC} = \frac{\sqrt{5}}{2} \]

Mais \(\abs{BC}\) est aussi le rayon de \(\mathscr{C}\) et :

\[ \abs{BI} = \abs{BC} = \frac{\sqrt{5}}{2} \]

Les points \(A\), \(B\) et \(I\) sont alignés et :

\[ \abs{AI} = \abs{AB} + \abs{BI} = \unsur{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \]

c’est-à-dire :

\[ \abs{AI} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi \]

La longueur du segment \([A,I]\) vaut le nombre d’or.