Eclats de vers : Matemat : Dérivées des puissances

Nous allons évaluer les dérivées des fonctions \(f : x \mapsto x^\alpha\) où \(x,\alpha \in \setR\).

Commençons par :

\[ x \cdot y = 1 \]

\[ y = \unsur{x} = x^{-1} \]

On en déduit que :

\[x \cdot dy + y \cdot dx = d(1) = 0\]

ce qui nous donne :

\[\OD{}{x}\left( \unsur{x} \right) = \OD{y}{x} = -\frac{y}{x} = -\frac{1}{x^2}\]

Considérons la relation :

\[y = \unsur{x^n} = x^{-n}\]

où \(n\in\setN\). On définit la variable intermédiaire \(z\) telle que :

\begin{align*} z &= x^{-1} \\ y &= z^n \end{align*}

On en déduit :

\[ \OD{}{x} \left( x^{-n} \right) = \OD{y}{x} = \OD{y}{z} \cdot \OD{z}{x} \]

c’est-à-dire :

\[ \OD{}{x} \left( x^{-n} \right) = ( n \cdot z^{n - 1} ) \cdot \left( -\unsur{x^2} \right) = - n \cdot x^{1 - n} \cdot x^{-2} \]

et finalement :

\[ \OD{}{x^n} \left( x^{-n} \right) = (-n) \cdot x^{-n - 1} \]

Toujours pour \(n \in \setN\), considérons la relation :

\[y = x^n \qquad \Leftrightarrow\qquad x = y^{1/n}\]

Posons \(\alpha = 1/n\). On a :

\[\OD{y}{x} = n \cdot x^{n - 1} = n \cdot x^n \cdot \unsur{x} = n \cdot y \cdot y^{-\alpha}\]

Donc :

\[\OD{x}{y} = \alpha \cdot y^{\alpha-1}\]

Choisissons à présent :

\[y = x^{m/n}\]

où \(m\in\setZ\) et \(n\in\setN\). Définissons la variable intermédiaire :

\[z = x^m\]

On a alors :

\[y = z^{1/n}\]

La dérivée peut se calculer par :

\[ \OD{}{x} \left( x^{m/n} \right) = \OD{y}{x} = \OD{y}{z} \cdot \OD{z}{x} \]

Posons \(\alpha = m/n\). La dérivée s'écrit :

\[ \OD{}{x} \left( x^{m/n} \right) = \left(\unsur{n} \cdot z^{\unsur{n} - 1}\right) \cdot (m \cdot x^{m - 1}) \\ = \alpha \cdot x^{\alpha - m} \cdot x^{m - 1} \]

On a donc :

\[\OD{}{x}\left( x^\alpha \right) = \alpha \cdot x^{\alpha-1}\]

Par passage à la limite, on obtient :

\[\OD{}{x}\left( x^\alpha \right) = \alpha \cdot x^{\alpha-1}\]

pour tout \(\alpha \in \setR\).