Eclats de vers : Matemat : Dualité
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:dualite}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
2. Ordre dual
Soit un ensemble \(\Omega\) sur lequel est défini un ordre \(\le\). Soit \(x,y \in \Omega\). L'ordre dual de \(\le\), noté \(\le^\dual\), est défini par :
\[x \le^\dual y\]
si et seulement si :
\[y \le x\]
2.1. Ordre primal
Par opposition à l'ordre dual \(\le^\dual\), l'ordre \(\le\) est appelé ordre primal.
3. Comparaison élément - ensemble
Soit \(A \subseteq \Omega\) et un \(m \in \Omega\) vérifiant \(m \le A\). On a \(m \le a\) pour tout \(a \in A\), autrement dit \(m \ge^\dual a\). On en conclut que :
\[m \ge^\dual A\]
Soit \(m \in \Omega\) vérifiant \(m \ge A\). On a \(m \ge a\) pour tout \(a \in A\), autrement dit \(m \le^\dual a\). On en conclut que :
\[m \le^\dual A\]
4. Majorants et minorants
Soit \(A \subseteq \Omega\). Si :
\[m \in \minor_\le A\]
on a \(m \le A\). Donc \(m \ge^\dual A\) et :
\[m \in \major_{\le^\dual} A\]
Si :
\[m \in \major_{\le^\dual} A\]
on a \(m \ge A\). Donc \(m \le^\dual A\) et :
\[m \in \minor_\le A\]
On en conclut que :
\[\major_{\le^\dual} A = \minor_\le A\]
On montre avec des arguments similaires que :
\[\minor_{\le^\dual} A = \major_\le A\]
5. Éléments maximaux et minimaux
Soit \(A \subseteq \Omega\). Si :
\[m \in \minim_\le A\]
on a \(m = a\) pour tout \(a \in A\) vérifiant \(a \le m\). Donc, si \(a \ge^\dual m\) on a \(a \le m\) et \(m = a\). Autrement dit :
\[m \in \maxim_{\le^\dual} A\]
Si :
\[m \in \maxim_{\le^\dual} A\]
on a \(m = a\) pour tout \(a \in A\) vérifiant \(a \ge^\dual m\). Donc, si \(a \le m\) on a \(a \ge^\dual m\) et \(m = a\). Autrement dit :
\[m \in \minim_\le A\]
On en conclut que :
\[\maxim_{\le^\dual} A = \minim_\le A\]
On montre avec des arguments similaires que :
\[\minim_{\le^\dual} A = \maxim_\le A\]
6. Maximum et minimum
Soit \(A \subseteq \Omega\). Si l'ensemble des éléments minimaux pour \(\le\) se limite au minimum, on a :
\[\maxim_{\le^\dual} A = \minim_\le A = \left\{ \min_\le A \right\}\]
L'ensemble des éléments maximaux pour \(\le^\dual\) se résumant à un singleton, on en déduit que le maximum pour \(\le^\dual\) existe :
\[\maxim_{\le^\dual} A = \left\{ \max_{\le^\dual} A \right\}\]
et que :
\[\max_{\le^\dual} A = \min_\le A\]
On montre avec des arguments similaires que :
\[\min_{\le^\dual} A = \max_\le A\]
7. Supremum et Infimum
Soit \(A \subseteq \Omega\) admettant le supremum :
\[m = \sup_{\le^\dual} A\]
On a :
\[A \le^\dual m \le^\dual \major_{\le^\dual} A\]
ce qui implique :
\[\minor_\le A = \major_{\le^\dual} A \le m \le A\]
et vice versa. On en déduit que :
\[\sup_{\le^\dual} A = \inf_\le A\]
On montre avec des arguments similaires que :
\[\inf_{\le^\dual} A = \sup_\le A\]