Eclats de vers : Matemat : Continuité
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:limite}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:limite} : Les limites
- Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
2. Espace vectoriel
Si \(\corps\) est un corps, on vérifie que \(\continue(A,\corps)\) est un espace vectoriel sur \(\corps\). En effet, la fonction nulle \(0\) est clairement continue. De plus, si \(\alpha,\beta \in \corps\) et si \(f,g \in \continue(A,\corps)\), on a :
\begin{align*} \lim_{x \to a} (\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)) &= \alpha \cdot \lim_{x \to a} f(x) + \beta \cdot \lim_{x \to a} g(x) \\ &= \alpha \cdot f(a) + \beta \cdot g(a) \end{align*}pour tout \(a \in A\). On en conclut que \(\alpha \cdot f + \beta \cdot g\) est également continue.
3. Norme des fonctions continues
Si l'ensemble \(F\) est muni d'une norme, on peut définir la norme \(\norme{.}_\continue\) d'une fonction continue \(u\) par :
\[\norme{u}_\continue = \sup \big\{ \norme{u(x)} : x \in A \big\}\]
3.1. Notation
On note aussi :
\[\norme{u}_\infty = \norme{u}_\continue\]
3.2. Convergence uniforme
Cette norme est surtout utilisée lorsqu'il s'agit de mesurer l'écart entre deux fonctions \(f,g : A \to B\), en particulier lorsque \(g\) représente une approximation de \(f\). Dans ce cas, l'écart \(e = f - g\) représente l'erreur la plus élevée de l'estimation :
\[\norme{e}_\infty = \norme{f - g}_\infty = \sup \{ \norme{f(x) - g(x)} : x \in A \}\]
Lorsque cette norme particulière de l'erreur tend vers zéro, on parle de convergence uniforme.