Eclats de vers : Matemat : Espaces de Banach

Soit une application contractante \(A : X \mapsto X\) et \(u_0 \in X\). On définit la suite $u_0,u1,u2,…$ par :

\[u_n = A(u_{n - 1}) = A^2(u_{n-2}) = \ldots = A^n(u_0)\]

pour tout \(n \in \setN\). On a alors :

\[ \distance( u_{n + 1} , u_n ) \le c \cdot \distance( u_n , u_{n - 1} ) \le c^2 \cdot \distance( u_{n-1} , u_{n - 2} ) \le \ldots \le c^n \cdot \distance( u_1 , u_0 ) \]

pour un certain \(c \in \intervallesemiouvertdroite{0}{1} \subseteq \setR\). Soit \(m,n \in \setN\). Les propriétés des distances nous permettent d'écrire :

\[\distance( u_{n + m} , u_n ) \le \sum_{i = 0}^{m - 1} \distance( u_{n + i + 1} , u_{n + i} )\]

Mais comme \(\distance( u_{n + i + 1} , u_{n + i} ) \le c^{n + i} \cdot \distance( u_1 , u_0 )\), on a :

\[ \distance( u_{n + m} , u_n ) \le \sum_{i = 0}^{m - 1} c^{n + i} \cdot \distance( u_1 , u_0 ) \le c^n \cdot \distance( u_1 , u_0 ) \cdot \sum_{i = 0}^{m - 1} c^i \le c^n \cdot \frac{1 - c^m}{1-c} \]

Finalement, comme \(1 - c^m \le 1\) quel que soit \(m \in \setN\) on obtient une expression qui ne dépend pas de \(m\) :

\[\distance( u_{n + m} , u_n ) \le \frac{c^n}{1 - c} \cdot \distance( u_1 , u_0 )\]

Les éléments de la suite sont donc de plus en plus proche l'un de l'autre lorsque \(n\) augmente. Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme la suite \(c^n\) converge vers \(0\) lorsque \(n \to \infty\), on peut toujours trouver \(N\) tel que :

\[c^N \le \frac{\epsilon \cdot (1 - c)}{\distance( u_1 , u_0 )}\]

Il suffit donc de choisir \(i,j \in \setN\) tels que \(i,j \ge N\) pour avoir :

\[\distance( u_i , u_j ) = \distance( u_j , u_i ) \le \epsilon\]

On en conclut que la suite des \(u_n\) est de Cauchy.

Comme \(X\) est complet, notre suite \(u_n\) étant de Cauchy converge vers une certaine limite :

\[p = \lim_{n \to \infty} u_n\]

appartenant à \(X\). Analysons le comportement de \(A(p)\). On a la borne supérieure :

\[\distance\big( A(p) , p \big) \le \distance\big( A(p) , A(u_n) \big) + \distance\big( A(u_n) , u_n \big) + \distance\big( u_n , p \big)\]

On sait déjà que \(\distance( u_n , p )\) converge vers \(0\) par définition de \(p\). On sait aussi que \(\distance\big( A(u_n) , u_n \big) = \distance( u_{n + 1} , u_n ) \to 0\). On a également :

\[\distance\big( A(p) , A(u_n) \big) \le c \cdot \distance\big( p , u_n \big)\]

On en conclut que la suite \(A(u_n)\) converge vers \(A(p)\) :

\[A(p) = \lim_{n \to \infty} A(u_n)\]

Les trois termes de la borne supérieure convergeant chacun vers \(0\), cette borne est aussi petite que l'on veut lorsque \(n\) est assez grand. On a donc \(\distance\big( A(p) , p \big) = 0\) et :

\[A(p) = p\]

L'élément \(p \in X\) est un point fixe de \(A\).

Si \(p_1\) et \(p_2\) sont deux points fixes, on a :

et :

\[\distance( p_1 , p_2 ) \le c \cdot \distance\big( A(p_1) , A(p_2) \big) \le c \cdot \distance\left( p_1 , p_2 \right)\]

Comme \(c \strictinferieur 1\), ce n'est possible que si \(\distance(p_1,p_2) = 0\), c'est-à-dire :

\[p_1 = p_2\]

Le point fixe de \(A\) est unique.

Nous avons donc montré que la suite des \(u_n\) converge vers l'unique point fixe \(p\) de \(A\), et ce quel que soit \(u_0\). On a même la propriété suivante nous donnant une borne supérieure pour le taux de convergence :

\[ \distance(u_n,p) \le \distance\big(A(u_{n - 1}),A(p)\big) \le c \cdot \distance(u_{n - 1},p) \le \ldots \le c^n \cdot \distance(u_0,p) \]