Eclats de vers : Matemat : Exponentielle
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:edo} : Équations différentielles ordinaires
2. Introduction
L'exponentielle est définie comme l'unique solution \(\exp : \setR \mapsto \setR\) du problème différentiel :
\begin{align} \OD{\exp}{t}(t) &= \exp(t) \\ \) \( \exp(0) &= 1 \end{align}3. Développement de Taylor
On a :
\[\OD{\exp}{t}(0) = \exp(0) = 1\]
On montre par récurrence que :
\[\NOD{\exp}{t}{k}(0) = \NOD{\exp}{t}{k - 1}(0) = 1\]
Le développement de Taylor autour de \(0\) s'écrit donc :
\[\exp(t) = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{t^k}{k !}\]
4. Additivité
Soit \(t \in \setR\). On remarque que les applications \(f,g : \setR \mapsto \setR\) définies par :
\begin{align} f &:& s \mapsto \exp(s + t) \) \( g &:& s \mapsto \exp(s) \cdot \exp(t) \end{align}pour tout \(s \in \setR\) vérifient :
\begin{align} \partial f(s) &= \exp(s + t) = f(s) \) \( f(0) &= \exp(0 + t) = \exp(t) \end{align}et :
\begin{align} \partial g(s) &= \exp(s) \cdot \exp(t) = g(s) \) \( g(0) &= \exp(0) \cdot \exp(t) = 1 \cdot \exp(t) = \exp(t) \end{align}Par unicité de la solution en \(u\) du problème différentiel :
\begin{align} \partial u(s) &= u(s) \) \( u(0) &= \exp(t) \end{align}on en déduit que :
\[\exp(s + t) = \exp(s) \cdot \exp(t)\]
5. Miroir
On déduit de l'additivité que :
\[1 = \exp(0) = \exp(t - t) = \exp(t) \cdot \exp(-t)\]
pour tout \(t \in \setR\). On en conclut que :
\[\exp(-t) = \unsur{\exp(t)}\]
6. Limites
On a :
\[\lim_{t \to +\infty} \exp(t) = \lim_{t \to +\infty} (1 + t + \frac{t^2}{2} + ...) \ge \lim_{t \to +\infty} t = +\infty\]
La limite à l'infini positif est donc infinie :
\[\lim_{t \to +\infty} \exp(t) = +\infty\]
En utilisant le changement de variable \(t = -s\), on obtient la limite à l'infini négatif :
\[\lim_{s \to -\infty} \exp(s) = \lim_{t \to +\infty} \exp(-t) = \lim_{t \to +\infty} \unsur{\exp(t)} = 0\]
7. Image
Si \(t \ge 0\) il est clair que \(\exp(t) \strictsuperieur 0\) puisqu'il s'agit d'une somme infinie de termes strictement positifs. Si \(s \le 0\), on a \(t = - s \ge 0\) et :
\[\exp(s) = \exp(-t) = \unsur{\exp(t)} \strictsuperieur 0\]
On en conclut que :
\[\exp : \setR \mapsto \setR^+ \setminus \{0\}\]
Comme la fonction \(\exp\) est continue et croît avec \(t\) sur \(\setR\) de :
\[\lim_{t \to -\infty} \exp(t) = 0\]
jusqu'à :
\[\lim_{t \to +\infty} \exp(t) = +\infty\]
on a :
\[\exp(\setR) = \ ]0,+\infty[ \ = \setR^+ \setminus \{ 0 \}\]
7.1. Réels positifs
Comme la fonction \(\exp\) est continue et croît avec \(t\) sur \(\setR^+\) de :
\[\exp(0) = 1\]
jusqu'à :
\[\lim_{t \to +\infty} \exp(t) = +\infty\]
on a :
\[\exp(\setR^+) = [1,+\infty[\]
7.2. Réels négatifs
Comme la fonction \(\exp\) est continue et croît avec \(s\) sur \(\setR^-\) de :
\[\lim_{s \to -\infty} \exp(s) = 0\]
jusqu'à :
\[\exp(0) = 1\]
on a :
\[\exp(\setR^-) = \ ]0,1]\]
8. Intégrale
Comme la fonction \(\exp\) est une primitive d'elle-même, on a :
\[\int_a^b \exp(t) \ dt = \exp(b) - \exp(a)\]
En faisant tendre \(a\) vers \(-\infty\), on voit que :
\[\int_{-\infty}^b \exp(t) \ dt = \lim_{a \to -\infty} \Big(\exp(b) - \exp(a)\Big) = \exp(b)\]
Les autres intégrales à bornes infinies sont infinies :
\[\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(t) \ dt = \lim_{ \substack{ a \to -\infty \\ b \to +\infty } } \Big(\exp(b) - \exp(a)\Big) = +\infty\]
\[\int_a^{+\infty} \exp(t) \ dt = \lim_{b \to +\infty} \Big(\exp(b) - \exp(a)\Big) = +\infty\]