Eclats de vers : Matemat : Fonctions
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:fonctions}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles
- Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations
2. Définitions
Une fonction \(f\) de \(A\) vers \(B\) associe à chaque \(x \in A\) un unique élément \(f(x) \in B\). On note \(\fonction(A,B)\) l'ensemble des fonctions \(f\) de \(A\) vers \(B\). On utilise aussi la notation :
\[f : A \mapsto B\]
pour préciser que \(f \in \fonction(A,B)\) et :
\[f : x \mapsto f(x)\]
pour préciser que \(f\) associe à chaque \(x \in A\) un certain \(f(x) \in B\). On dit que :
- \(f(x)\) est la valeur de \(f\) en \(x\)
- \(x\) est l’argument de \(f(x)\)
Au besoin, on note aussi :
\[ f[x] = f(x) \]
ce qui permet de distinguer les délimiteurs de l’argument. Exemple :
\[ f[x \cdot (y + z)] \]
2.1. Remarque
La notation \(f : A \mapsto B\) signifie que :
- \(f(x)\) est défini pour tout \(x \in A\)
- \(f(x) \in B\)
Par conséquent, si \(C \subseteq A\) et si \(B \subseteq D\), la condition \(f : A \mapsto B\) implique \(f : C \mapsto D\).
2.2. Synonymes
On parle indifféremment de fonction ou d'application.
3. Fonctions discrètes
Dans le cas particulier où \(f \in \fonction( \{ 1,2,...,N \} , B )\), on peut associer à \(f\) un nombre \((f_1,f_2,...,f_N) \in B^N\) par :
\[f_i = f(i)\]
pour tout \(i \in \{ 1,2,...,N \}\). Inversément, à tout \((f_1,f_2,...,f_N) \in B^N\), on associe une fonction \(f : \{ 1,2,...,N \} \mapsto B\) par :
\[f(i) = f_i\]
On voit donc l'équivalence :
\[\fonction( \{ 1,2,...,N \} , B ) \equiv B^N\]
3.1. Notation
Dans le cas discret, si :
\[ D = \{ 1,2,...,N \} \]
on a :
\[ \fonction(D,B) \equiv B^N = B^{\cardinal(D)} \]
Ce constat nous inspire la notation :
\[ B^D = \fonction(D,B) \]
On généralise cette notation à des ensembles quelconques \(A\) et \(B\), qu’ils soient finis ou infinis :
\[B^A = \fonction(A,B)\]
4. Relation associée
On peut associer à toute fonction \(f : A \mapsto B\) une relation \(R \in \relation(A,B)\) définie par :
\[R = \{ (x,f(x)) : x \in A \}\]
On a clairement :
\[R(x) = \{ f(x) \}\]
4.1. Relation inverse
Soit \(f : A \mapsto B\) associée à la relation \(R \in \relation(A,B)\). La relation inverse \(R^{-1} \in \relation(B,A)\) est définie par :
\[R^{-1} = \{ (f(x),x) \in B \times A : x \in A \}\]
5. Fonction identité
La fonction identité \(\identite : A \mapsto A\) est définie par :
\[\identite : x \mapsto \identite(x) = x\]
5.1. Relation
La relation associée à la fonction identité s'écrit :
\[\{ (x,\identite(x)) \in A^2 : x \in A \} = \{ (x,x) \in A^2 : x \in A \}\]
La fonction identité est donc associée à la relation identité.
6. Image
6.1. Image d'un ensemble
Soit \(f : A \mapsto B\). L'image d'un sous-ensemble \(X \subseteq A\) par \(f\) est l'ensemble des valeurs que prend \(f\) en tous les éléments de \(X\) :
\[f(X) = \{ f(x) : x \in X \}\]
6.2. Image d'une fonction
Soit \(f : A \mapsto B\). L'image de \(f\) est l'ensemble des valeurs que prend \(f\) en tous les éléments de \(A\) :
\[\image f = f(A) = \{ f(x) : x \in A \}\]
6.3. Image inverse
Soit \(f : A \mapsto B\). Pour tout \(y \in B\), l'image inverse est l'ensemble défini par :
\[f^{-1}(y) = \{ x \in A : f(x) = y \}\]
L'image inverse d'un ensemble \(Y \subseteq B\) est définie par :
\[f^{-1}(Y) = \{ x \in A : f(x) \in Y \}\]
7. Domaine
Soit un ensemble \(A \subseteq \Omega\) et une fonction \(f : A \mapsto B\). Le domaine de \(f\) est l'ensemble des éléments de \(x \in \Omega\) tels que \(f(x) \in B\) existe. Autrement dit :
\[\domaine f = A\]
8. Composée
Soit les fonctions \(f : A \mapsto B\) et \(g : B \mapsto C\).
Supposons que les grandeurs \(x \in A\), \(y \in B\) et \(z \in C\) soient reliées par les égalités \(y = f(x)\) et \(z = g(y)\). On a a alors \(z = g\left(f(x)\right)\). On définit une nouvelle fonction \(g \circ f : A \mapsto C\) associée à ce résultat par :
\[g \circ f : x \mapsto (g \circ f)(x) = g\left(f(x)\right)\]
On nomme \(g \circ f\) la composée de \(f\) et \(g\). On note aussi :
\[g \circ f(x) = (g \circ f)(x)\]
8.1. Association
Soit aussi \(h : C \mapsto D\). On remarque que :
\[\left(h \circ (g \circ f)\right)(x) = h\left(g\left(f(x)\right)\right) = \left((h \circ g) \circ f\right)(x)\]
On note :
\[h \circ g \circ f = (h \circ (g \circ f)) = ((h \circ g) \circ f)\]
8.2. Neutre
On constate que
\[\identite \circ f = f \circ \identite = f\]
On dit que la fonction identité est neutre pour la composition.
9. Puissance
Soit une fonction \(f : A \mapsto A\). La « puissance » d'une fonction est définie au moyen de la composée \(\circ\) par :
\[ f^0 = \identite \]
\[ f^n = f \circ f^{n-1} \]
pour tout \(n \in \setN\). On a donc en particulier \(f^1 = f\) et :
\[f^n = f \circ ... \circ f\]
10. Fonction constante
On associe souvent à tout élément \(c \in B\) une fonction constante \(\hat{c} : A \mapsto B\) définie par :
\[\hat{c}(x) = c\]
pour tout \(x \in A\). On note abusivement :
\[\hat{c} = c\]
11. Egalité
Deux fonctions \(f,g : A \mapsto B\) sont égales si et seulement si leurs valeurs sont égales en tout point \(x \in A\) :
\[f = g \quad \Leftrightarrow \quad f(x) = g(x)\]
12. Produit cartésien
12.1. Domaine dans un produit cartésien
Soit une fonction :
\[ f : A^n \mapsto B \]
et un \(x \in A^n\) défini par :
\[ x = (x_1,x_2,...,x_n) \]
On note indifféremment :
\[ f(x_1,x_2,...,x_n) = f\big( (x_1,x_2,...,x_n) \big) = f(x) \]
12.2. Image dans un produit cartésien
Soit une fonction :
\[ f : A \mapsto B^n \]
Pour chaque élément \(x\in A\), la fonction produit un n-tuple :
\[ (y_1,y_2,...,y_n) = f(x) \]
Les \(y_i\) étant dépendant de \(x\), on peut réécrire la relation précédente sous la forme :
\[ (f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)) = f(x) \]
ce qui définit \(n\) fonctions \(f_1,f_2,...,f_n\) associée à \(f\). On note alors :
\[ f = (f_1,f_2,...f_n) \]
On dit aussi que \(f_i\) est la \(i^{ème}\) composante de \(f\), et on le note :
\[ f_i = \composante_i f \]
Réciproquement, les \(n\) composantes \(f_i\) de \(f\) la définissent entièrement. C’est d’ailleurs la façon la plus courante pour définir une fonction qui produit des n-tuples.