Eclats de vers : Matemat : Formes linéaires
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:forme}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:relation} : Les fonctions
- Chapitre \ref{chap:lineaire} : Les fonctions linéaires
2. Définition
Soit un espace vectoriel \(E\) sur \(\corps\). Une forme linéaire est une fonction linéaire continue \(\varphi : E \mapsto \corps\).
3. Espace dual
L'espace dual \(E^\dual\) de \(E\) est l'ensemble des formes linéaires sur \(E\) , autrement dit l'ensemble des fonctions linéaires continues de \(E\) vers \(\corps\) :
\[E^\dual = \{ \varphi \in \lineaire(E,\corps) : \norme{\varphi}_\lineaire \strictinferieur +\infty \}\]
Il s'agit d'un espace vectoriel pour les opérations d'addition et de multiplication mixte définies sur les fonctions.
3.1. Notation
Pour toute forme \(\varphi \in E^\dual\) et tout vecteur \(v \in E\), on note :
\[\forme{\varphi}{v} = \varphi(v)\]
ce qui définit implicitement la fonction \(\forme{}{} : E^\dual \times E \mapsto \corps\).
4. Bilinéarité
Soit \(\varphi,\psi \in E^\dual\), \(u,v \in E\) et \(\alpha,\beta \in \corps\). Comme \(\varphi\) est linéaire, on a :
\[\forme{\varphi}{\alpha \cdot u + \beta \cdot v} = \alpha \cdot \forme{\varphi}{u} + \beta \cdot \forme{\varphi}{v}\]
Symétriquement, la définition des opérations sur les fonctions nous donne également :
\[\forme{\alpha \cdot \varphi + \beta \cdot \psi}{u} = \alpha \cdot \forme{\varphi}{u} + \beta \cdot \forme{\psi}{u}\]
L'application \(\forme{}{}\) est donc bilinéaire.
5. Biorthonormalité
On dit que les suites \((\Phi_1,...,\Phi_m)\) de \(E^\dual\) et \((e_1,...,e_n)\) de \(E\) sont biorthonormées si :
\[\forme{\Phi_i}{e_j} = \indicatrice_{ij}\]
pour tout \((i,j) \in \setZ(0,m) \times \setZ(0,n)\). De telles suites permettent d'évaluer facilement les coefficients des développements en série du type :
\[\varphi = \sum_{i = 1}^m \alpha_i \cdot \Phi_i\]
où \(\alpha_1,...,\alpha_m \in \corps\). En effet, il suffit d'évaluer :
\[\varphi(e_j) = \forme{\varphi}{e_j} = \sum_{i = 1}^m \alpha_i \cdot \forme{\Phi_i}{e_j} = \sum_{i = 1}^m \alpha_i \cdot \indicatrice_{ij} = \alpha_j\]
pour obtenir les valeurs des \(\alpha_j\).
Réciproquement, si :
\[u = \sum_{i = 1}^n \beta_i \cdot e_i\]
avec \(\beta_1,...,\beta_n \in \corps\), on a :
\[\Phi_j(u) = \forme{\Phi_j}{u} = \sum_{i = 1}^n \beta_i \cdot \forme{\Phi_j}{e_i} = \sum_{i = 1}^n \beta_i \cdot \indicatrice_{ij} = \beta_j\]
ce qui nous donne les valeurs des \(\beta_j\).
Forts de ces résultats, il est aisé d'évaluer :
\[\forme{\varphi}{u} = \sum_{i,j} \alpha_i \cdot \forme{\Phi_i}{u_j} \cdot \beta_j = \sum_{i,j} \alpha_i \cdot \indicatrice_{ij} \cdot \beta_j = \sum_i \alpha_i \cdot \beta_i\]
On a donc en définitive :
\[\forme{\varphi}{u} = \sum_i \forme{\varphi}{e_i} \cdot \forme{\Phi_i}{u}\]
6. Similitude
On dit que deux fonctions \(u,v \in E\) sont identique au sens des distributions si :
\[\forme{\varphi}{u} = \forme{\varphi}{v}\]
pour tout \(\varphi \in E^\dual\).
Symétriquement, les deux formes \(\varphi,\psi \in E^\dual\) sont identiques par définition si et seulement si :
\[\forme{\varphi}{u} = \forme{\psi}{u}\]
pour tout \(u \in E\).
7. Espace bidual
On définit l'espace bidual de \(E\), noté \(E^{\dual \dual}\), par :
\[E^{\dual \dual} = (E^\dual)^\dual\]
On associe à chaque élément \(u \in E\) un élément \(\hat{u} \in E^{\dual \dual}\) par la condition :
\[\hat{u}(\varphi) = \varphi(u)\]
qui doit être vérifiée pour tout \(\varphi \in E^\dual\). On a donc :
\[\forme{\hat{u}}{\varphi} = \forme{\varphi}{u}\]
8. Application adjointe ou duale
Soit les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sur \(\corps\) et une fonction \(A : E \mapsto F\). Si on peut trouver une unique fonction \(A^\dual : F^\dual \mapsto E^\dual\) telle que :
\[\forme{ A^\dual(\varphi) }{u} = \forme{\varphi}{ A(u) }\]
pour tout \(u \in E\) et \(\varphi \in F^\dual\), on dit que \(A^\dual\) est l’application adjointe ou l’application duale de \(A\) au sens des formes linéaires.
9. Formes bilinéaires
Soit les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sur \(\corps\). Une forme bilinéaire est une fonction bilinéaire continue \(\vartheta : F \times E \mapsto \corps\). On utilise une notation analogue à celle des formes :
\[\biforme{x}{\vartheta}{u} = \vartheta(x,u)\]
pour tout \(x \in F\) et \(u \in E\). On voit que :
\( \biforme{\alpha \cdot x + \beta \cdot y}{\vartheta}{u} = \alpha \cdot \biforme{x}{\vartheta}{u} + \beta \cdot \biforme{y}{\vartheta}{u} \)
\( \biforme{x}{\vartheta}{\alpha \cdot u + \beta \cdot v} = \alpha \cdot \biforme{x}{\vartheta}{u} + \beta \cdot \biforme{x}{\vartheta}{v} \)
pour tout \(\alpha,\beta \in \corps\), \(u,v \in E\) et \(x,y \in F\).
10. Formes quadratiques
Soit la forme bilinéaire $ ϑ : E × E \mapsto \corps$. Une forme quadratique \(\mathcal{Q} : E \mapsto \corps\) est une fonction de la forme :
\[\mathcal{Q}(x) = \biforme{x}{\vartheta}{x}\]
11. Représentation matricielle
On peut représenter toute forme linéaire \(\varphi \in \lineaire(\corps^n,\corps)\) par un vecteur colonne \(\hat{\varphi} \in \corps^n\). Etant donné la base canonique \((e_1,...,e_n)\) de \(\corps^n\), il suffit de poser :
\[\hat{\varphi}_i = \forme{\varphi}{e_i}\]
pour avoir :
\[\forme{\varphi}{u} = \hat{\varphi}^T \cdot u\]
pour tout \(u \in \corps^n\).
11.1. Formes bilinéaires
On peut représenter toute forme bilinéaire \(\vartheta \in \lineaire(\corps^m \times \corps^n,\corps)\) par une matrice \(\Theta \in \matrice(K,m,n)\). Etant donné les bases canoniques \((f_1,...,f_m)\) de \(\corps^m\) et \((e_1,...,e_n)\) de \(\corps^n\), il suffit de poser :
\[\composante_{ij} \Theta = \biforme{f_i}{\vartheta}{e_j}\]
pour avoir :
\[\biforme{v}{\vartheta}{u} = v^T \cdot \Theta \cdot u\]
pour tout \(u \in \corps^n\) et tout \(v \in \corps^m\).