Eclats de vers : Matemat : Fractions rationnelles

On cherche à écrire une fraction rationelle de la forme :

\[ \unsur{(x - a) \ (x - b)} \]

sous la forme d’une somme de deux fractions simples contenant des polynômes de degré 1 au dénominateur :

\[ \unsur{(x - a) \ (x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b} \]

Mettons les termes du membres de droite au dénominateur :

\[ \unsur{(x - a) \ (x - b)} = \frac{A \ (x - b) + B \ (x - a)}{(x - a) \ (x - b)} \]

On en conclut que :

\[ 1 = A \ (x - b) + B \ (x - a) \]

Ce résultat est valable pour tout \(x \in \setR\). Le choix \(x = a\) nous donne :

\[ 1 = A \ (a - b) + B \ (a - a) = A \ (a - b) \]

d’où :

\[ A = \unsur{a - b} \]

Le choix \(x = b\) nous donne :

\[ 1 = A \ (b - b) + B \ (b - a) = B \ (b - a) \]

d’où :

\[ B = \unsur{b - a} = - \unsur{a - b} \]

Notre fract}ion peut donc s’écrire sous la forme :

\[ \unsur{(x - a) \ (x - b)} = \unsur{a - b} \left( \unsur{x - a} - \unsur{x - b} \right) \]