Eclats de vers : Matemat : Géométrie différentielle

• Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les vecteurs
• Chapitre \ref{chap:ps} : Les produits scalaires
• Chapitre \ref{chap:tenseur} : Les tenseurs

Les indices inférieurs (le \(i\) des vecteurs \(a_i^j\) par exemple) des tenseurs sont appelés indices covariants.

Les indices supérieurs (le \(j\) des vecteurs \(a_i^j\) par exemple) des tenseurs sont appelés indices contravariants.

Ne pas confondre ces indices supérieurs contravariants , très utilisés en calcul tensoriel, avec les puissances ! Dans le contexte des tenseurs, une éventuelle puissance d'un scalaire \(\theta_i^j\) serait notée au besoin par :

\[\big( \theta_j^i \big)^m = \theta_j^i \cdot ... \cdot \theta_j^i\]

Soit l'espace vectoriel \(E = \setR^n\) sur \(\setR\). Les coordonnées curvilignes sont basées sur la notion de position \(r\), exprimée comme une fonction de certains paramètres \(x \in \setR^n\) que nous appelons « coordonnées » de \(r\) :

\[r = \rho(x)\]

où \(\rho : \setR^n \to \setR^n\). Nous envisageons également le cas du changement de variable. La position dépend alors d'un autre jeu de coordonnées \(y \in \setR^n\) :

\[r = \sigma(y)\]

où \(\sigma : \setR^n \to \setR^n\). Nous définissons les vecteurs fondamentaux \(e_i\) et \(e^i\) au moyen de ces fonctions :

de telle sorte que :

\[dr = \sum_i e_i \ dx^i = \sum_i e^i \ dy_i\]

Nous supposons que \((e_1, ..., e_n)\) et \((e^1, ..., e^n)\) sont des bases de \(E\).

Si les fonctions \(\rho\) et \(\sigma\) sont inversibles, on a :

où nous avons implicitement défini \(\phi = \rho^{-1} \circ \sigma\) et \(\psi = \sigma^{-1} \circ \rho\). Nous notons \(\deriveepartielle{x^i}{y_j}\) et \(\deriveepartielle{y_i}{x^j}\) les coordonnées des dérivées de \(\phi\) et \(\psi\) suivant les bases formées par les \(e_i\) et les \(e^i\) :

La composition des dérivées nous donne les relations :

qui nous permettent de relier les \(e_i\) aux \(e^j\) et inversément.

Les produits intérieurs entre vecteurs de base se notent habituellement :

Il est clair d'après les propriétés de symétrie de ce produit que :

Le produit scalaire de deux vecteurs \(a,b\in E\) définis par :

peut s'écrire indifféremment comme :

Et en particulier, la longeur \(ds\) d'un changement de position \(dr\) vérifie :

\[(ds)^2 = \scalaire{dr}{dr} = \sum_{i,j} g_{ij} \ dx^i \ dx^j = \sum_{i,j} g^{ij} \ dy_i \ dy_j\]

De plus, les relations entre les vecteurs \(e_i\) et les vecteurs \(e^i\) permettent de déduire, en utilisant la linéarité du produit scalaire :

Nous allons à présent voir comment évolue un vecteur \(a\in E\), que l'on note sous la forme :

\[a = \sum_i a^i \ e_i\]

où les coordonnées \(a^i\in\setR\) tout comme les vecteurs de base \(e_i\) dépendent des coordonnées \(x^i\). La règle de dérivation d'un produit nous donne :

\[da = \sum_i da^i \ e_i + \sum_k a^k \ de_k\]

La différentielle \(da^i\) s'obtient directement :

\[da^i = \sum_j \deriveepartielle{a^i}{x^j} \ dx^j\]

On peut suivre la même règle avec \(de_i\) :

\[de_k = \sum_j \deriveepartielle{e_k}{x^j} \ dx^j\]

Les symboles de Christoffel \(\christoffel{i}{kj}\) sont définis comme les coordonnées de \(\deriveepartielle{e_k}{x^j}\) suivant la base \((e_1, ..., e_n)\) :

\[\deriveepartielle{e_k}{x^j} = \sum_i \christoffel{i}{kj} \ e_i\]

Notons que comme :

\[\deriveepartielle{e_k}{x^j} = \dfdxdy{r}{x^j}{x^k} = \dfdxdy{r}{x^k}{x^j} = \deriveepartielle{e_j}{x^k}\]

on a la symétrie :

\[\christoffel{i}{kj} = \christoffel{i}{jk}\]

On peut évaluer ces symboles si on connait par exemple les valeurs des :

\begin{align} \scalaire{e^i}{ \deriveepartielle{e_k}{x^j} } &= \sum_m \christoffel{m}{kj} \ \scalaire{e^i}{e_m} \) \( &= \sum_m \christoffel{m}{kj} \ g^i_m \end{align}

On a alors, pour chaque choix de \(k,j\) un système linéaire à résoudre. Il suffit d'inverser la matrice \(G = (g^i_m)_{i,m}\) pour obtenir les valeurs des symboles.

La dérivation d'un vecteur \(a\in E\) s'écrit alors :

\[da = \sum_{i,j} e_i \ dx^j \ \left[ \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k \right]\]

On définit les coordonnées :

\[\gradient_j a^i = \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k\]

Dans le cas où les coordonnées dépendent d'un paramètre \(t\in\setR\), on a :

\begin{align} \OD{a}{t} &= \sum_{i,j} e_i \ \OD{x^j}{t} \ \left[ \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k \right] \) \( &= \sum_{i} e_i \ \left[ \OD{a^i}{t} + \sum_{j,k} \christoffel{i}{kj} \ a^k \ \OD{x^j}{t} \right] \end{align}

Nous allons recommencer le même processus, écrivant cette fois \(a\in E\) sous la forme :

\[a = \sum_i a_i \ e^i\]

Les coordonnées \(a_i\in\setR\) tout comme les vecteurs de base \(e^i\) dépendent des coordonnées \(y_i\). En suivant la même méthode que ci-dessus, on obtient :

\[da = \sum_{i,j} e^i \ dy_j \left[ \deriveepartielle{a_i}{y_j} + \sum_k \christoffel{kj}{i} \ a_k \right]\]

où l'on a introduit de nouveaux symboles de Christoffel, définis par :

\[\deriveepartielle{e^k}{y_j} = \sum_i \christoffel{kj}{i} \ e^i\]

Ces nouveaux symboles présentent la symétrie :

\[\christoffel{kj}{i} = \christoffel{jk}{i}\]

On étend simplement la notion de dérivée aux tenseurs en appliquant la formule :

\[d(a \otimes b) = da \otimes b + a \otimes db\]

où \(a\) et \(b\) sont deux tenseurs d'ordre quelconque. Par exemple, pour le tenseur :

\[T = \sum_{i,j} T^i_j \ e_i \otimes e^j\]

on a :

\[dT = \sum_{i,j} \left[ dT^i_j \ e_i \otimes e^j + T^i_j \ de_i \otimes e^j + T^i_j \ e_i \otimes de^j \right]\]

qui devient, en introduisant les symboles de Christoffel :

\[dT = \sum_{i,j} e_i \otimes e^j \left[ dT^i_j + \sum_{k,m} \christoffel{i}{mk} \ T^m_j \ dx^k + \sum_{k,m} \christoffel{mk}{j} \ T^i_m \ dy_k \right]\]

Lorsqu'on différentie les \(g_{ij}\), on obtient :

\begin{align} dg_{ij} &= \scalaire{de_i}{e_j} + \scalaire{e_i}{de_j} \) \( &= \sum_{k,l} \christoffel{k}{il} \ g_{kj} \ dx^l + \sum_{k,l} \christoffel{k}{jl} \ g_{ik} \ dx^l \end{align}

On en déduit que :

\[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^l} = \sum_k \christoffel{k}{il} \ g_{kj} + \sum_k \christoffel{k}{jl} \ g_{ik}\]

Définissons :

\[\gamma_{ijl} = \sum_k \christoffel{k}{il} \ g_{kj}\]

Les propriétés de symétrie des symboles de Christoffel nous montrent que :

\[\gamma_{ijl} = \gamma_{ilj}\]

Et comme (changement de l'indice \(l\) en \(k\)) :

\[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} = \gamma_{ijk} + \gamma_{jik}\]

On en déduit :

\begin{align} \deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} + \deriveepartielle{g_{jk}}{x^i} - \deriveepartielle{g_{ki}}{x^j} &= 2 \ \gamma_{jik} \) \( &= 2 \sum_l \christoffel{l}{jk} \ g_{li} \end{align}

AFAIRE : LA FIN DU CHAPITRE EST A DÉBROUILLONNER