Eclats de vers : Matemat : Integrales unidimensionnelles
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
1. Intreduction
Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) et \(a,b \in \setR\) tels que \(a \le b\).
1.1. Intervalle
On définit la notation particulière :
\[\int_a^b f(x) \ d\mu(x) = \int_{[a,b]} f(x) \ d\mu(x)\]
1.2. Intervalle inversé
On étend la notation à des « intervalles » inversés par :
\[\int_b^a f(x) \ d\mu(x) = - \int_a^b f(x) \ d\mu(x)\]
1.3. Intervalle ouvert
Pour les intervalles ouverts, on considère la limite :
\[\int_{]a,b[} f(x) \ d\mu(x) = \lim_{(s,t) \to (a,b)} \int_s^t f(x) \ d\mu(x)\]
1.4. Infini
Quand une des bornes de l'intervalle tend vers l'infini, on définit l'intégrale par :
\( \int_a^{+\infty} f(x) \ d\mu(x) = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) \ d\mu(x) \)
\( \int_{-\infty}^b f(x) \ d\mu(x) = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) \ d\mu(x) \)
1.5. Sur l'ensemble des réels
Enfin, l'intégrale sur \(\setR\) entier est définie par :
\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \ d\mu(x) = \int_\setR f(x) \ d\mu(x) = \lim_{a \to -\infty} \int_{-a}^a f(x) \ d\mu(x)\]
2. Additivité d'intervalles
Soit \(a,b,c,\alpha,\beta \in \setR\) avec \(\alpha \le a,b,c \le \beta\). Soit une fonction intégrable \(f : [\alpha,\beta] \mapsto \setR\). Posons :
\[I(x,y) = \int_x^y f(\xi) \ d\xi\]
où \(d\xi = d\mu_L(\xi)\) est la mesure de Lebesgue. Par définition, on a :
\[I(y,x) = - I(x,y)\]
Si \(a \le b \le c\), on a :
\[\mu_L( [a,b] \cap [b,c] ) = \mu_L( \{ b \} ) = 0\]
L'additivité nous donne alors :
\[I(a,c) = I(a,b) + I(b,c)\]
Si \(a \le c \le b\), on a :
\[\mu_L( [a,c] \cap [c, b] ) = \mu_L( \{ c \} ) = 0\]
et :
\[I(a,b) = I(a,c) + I(c,b)\]
On en déduit que :
\[I(a,c) = I(a,b) - I(c,b) = I(a,b) + I(b,c)\]
On vérifie pareillement, en considérant tous les cas, que \(I(a,b) = I(a,c) + I(c,b)\) quel que soit l'ordre des réels \(a,b,c\). On a donc :
\[\int_a^c f(x) \ dx = \int_a^b f(x) \ dx + \int_b^c f(x) \ dx\]
3. Valeur moyenne d'une intégrale
Soit la fonction intégrable et continue \(f : [a,b] \mapsto \setR\). Pour la mesure de Lebesgue, on a :
\( \supessentiel \{ f(x) : x \in [a,b] \} = \max f([a,b]) \)
\( \infessentiel \{ f(x) : x \in [a,b] \} = \min f([a,b]) \)
Les bornes d'une fonction continue sur un intervalle fermé étant atteintes, on peut trouver des réels \(\sigma,\lambda \in [a,b]\) tels que :
\( f(\sigma) = \max f([a,b]) \)
\( f(\lambda) = \min f([a,b]) \)
Les bornes de l'intégrales nous disent que :
\[f(\lambda) \le \unsur{b - a} \int_a^b f(s) ds \le f(\sigma)\]
Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors de trouver un \(c\) compris entre \(\lambda\) et \(\sigma\) (et donc dans \([a,b]\)) tel que :
\[f(c) = \unsur{b - a} \int_a^b f(s) ds\]