Eclats de vers : Matemat : Lieux géométriques
Table des matières
1. Définition
Un lieu géométrique est un ensemble de points qui respectent une même condition.
2. Médiatrice
2.1. Équidistance de deux points distincts
Soit deux points \(A\) et \(B\) appartenant à un plan \(\Pi\) et le lieu géométrique \(\mathscr{L}\) des points équidistants de \(A\) et \(B\) :
\[ \mathscr{L} = \{ P \in \Pi : \abs{AP} = \abs{BP} \} \]
Nous allons étudier la relation entre \(\mathscr{L}\) et la médiatrice du segment \([A,B]\).
2.2. Point équidistant
Soit un point \(P \in \mathscr{L}\). On a :
\[ \abs{AP} = \abs{BP} \]
Considérons le point \(O\), projection orthogonale du point \(P\) sur la droite \(d = (AB)\) :
Les triangles rectangles \(AOP\) et \(BOP\) ont :
- une cathète commune \([O,P]\)
- une hypothénuse de même longueur \(\abs{AP} = \abs{BP}\)
Ces triangles sont donc isométriques et :
\[ \abs{AO} = \abs{BO} \]
Le point \(O\) est le milieu du segment \([A,B]\). Le point \(P\) appartient à la droite :
\[ m = (PO) \]
qui est perpendiculaire au segment \([A,B]\) et passe par son milieu. La droite \(m\) est donc la médiatrice du segment \([A,B]\) et :
\[ P \in (PO) = m \]
Tout point de \(\mathscr{L}\) appartient à la médiatrice \(m\) de \([A,B]\) :
\[ \mathscr{L} \subseteq m \]
2.3. Point de la médiatrice
Soit un point \(P\) appartenant à la médiatrice \(m\) du segment \([A,B]\) :
Les triangles rectangles \(AIP\) et \(BIP\) ont :
- une cathète commune \([I,P]\)
- l’autre cathète de même longueur \(\abs{AI} = \abs{BI}\)
Ces triangles sont donc isométriques et :
\[ \abs{AP} = \abs{BP} \]
Le point \(P\) est équidistant de \(A\) et \(B\), il appartient donc au lieu $ \mathscr{L}$.
Tout point appartenant à la médiatrice \(m\) est dans \(\mathscr{L}\) :
\[ m \subseteq \mathscr{L} \]
2.4. Conclusion
La double inclusion nous montre que :
\[ m = \mathscr{L} \]
La médiatrice de \([A,B]\) est le lieu des points équidistants de \(A\) et \(B\).
3. Bissectrice
3.1. Équidistance de deux demi-droites distinctes et sécantes
Soit deux demi-droites \(d\) et \(f\) :
- distinctes et de même origine \(S\)
- formant un angle \(\angleflex{S} = \angle(d,f)\) compris entre \(0^\circ\) et \(180^\circ\)
On note \(\mathscr{S}\) le secteur angulaire correspondant à l’angle \(\angleflex{S}\).
On définit \(\mathscr{L}\) le lieu géométrique des points de \(\mathscr{S}\) équidistants de \(d\) et \(f\) :
\[ \mathscr{L} = \{ A \in \mathscr{S} : \distance(A,d) = \distance(A,f) \} \]
Nous allons étudier la relation entre \(\mathscr{L}\) et la bissectrice de l’angle \(\angleflex{S}\).
3.2. Angle
3.2.1. Introduction
Nous examinons les différentes possibilités pour évaluer les distances entre un point quelconque du secteur angulaire \(\mathscr{S}\) et les demi-droites \(d\) et \(f\).
3.2.2. Angle aigu
Considérons le cas où \(\angleflex{S}\) est un angle aigu et choisissons un point \(A\) dans le secteur angulaire \(\mathscr{S}\) :
On remarque que les angles \(\alpha\) et \(\beta\) sont les angles formés par la demi-droite \([OA)\) avec les demi-droites \(d\) et \(f\). Ces angles sont aigus car :
\[ \alpha \le \abs{\angleflex{S}} < 90^\circ \qquad \qquad \qquad \beta \le \abs{\angleflex{S}} < 90^\circ \]
Les projections orthogonales \(O\) et \(P\) de \(A\) sur les demi-droites \(d\) et \(f\) existent et :
\[ \distance(A,d) = \abs{AO} \]
\[ \distance(A,f) = \abs{AP} \]
3.2.3. Angle droit
Considérons le cas où \(\angleflex{S}\) est un angle droit et choisissons un point \(A\) dans le secteur angulaire \(\mathscr{S}\) :
On remarque que les angles \(\alpha\) et \(\beta\) sont les angles formés par la demi-droite \([OA)\) avec les demi-droites \(d\) et \(f\). Ces angles sont aigus ou droits car :
\[ \alpha \le \abs{\angleflex{S}} \le 90^\circ \qquad \qquad \qquad \beta \le \abs{\angleflex{S}} \le 90^\circ \]
Les projections orthogonales \(O\) et \(P\) de \(A\) sur les demi-droites \(d\) et \(f\) existent et :
\[ \distance(A,d) = \abs{AO} \]
\[ \distance(A,f) = \abs{AP} \]
3.2.4. Angle obtus
Considérons le cas où \(\angleflex{S}\) est un angle obtus :
On définit :
- la droite \(h\) perpendiculaire à \(d\) au point \(S\)
- la droite \(l\) perpendiculaire à \(f\) au point \(S\)
3.2.4.1. Cas trivial
Examinons tout d’abord le choix du point \(S \in \mathscr{S}\). On a alors les distances triviales :
\[ \distance(S,d) = \distance(S,f) = 0 \]
3.2.4.2. Secteur entre \(h\) et \(l\)
Choisissons à présent un point \(A \in \mathscr{S}\) distinct de \(S\) et situé entre les droites \(h\) et \(l\).
Le point \(A\) est du même côté de \(h\) que la demi-droite \(d\). La projection orthogonale \(O\) de \(A\) sur \(d\) existe et :
\[ \distance(A,d) = \abs{AO} \]
Le point \(A\) est du même côté de \(l\) que la demi-droite \(f\). La projection orthogonale \(P\) de \(A\) sur \(f\) existe et :
\[ \distance(A,f) = \abs{AP} \]
On peut donc utiliser les deux projections orthogonales pour évaluer les distances.
3.2.4.3. Secteur strict entre \(d\) et \(l\)
Choisissons à présent un point \(B \in \mathscr{S}\) distinct de \(S\) et situé strictement entre la demi-droite \(d\) et la droite \(l\) :
\[ B \notin d \cup l \]
Le point \(B\) est du même côté de \(h\) que la demi-droite \(d\). La projection orthogonale \(U\) de \(B\) sur \(d\) existe et :
\[ \distance(B,d) = \abs{BU} \]
Par contre, \(B\) n’est pas du même côté de \(l\) que la demi-droite \(f\). La projection orthogonale de \(B\) sur \(f\) n’existe pas, et la distance entre \(B\) et \(f\) est égale à la distance entre \(B\) et l’origine \(S\) de \(f\) :
\[ \distance(B,f) = \abs{BS} \]
Remarquons que :
\[ \angle(d,l) = \angle(d,f) - 90^\circ = \abs{\angleflex{S}} - 90^\circ \le 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]
Soit la demi-droite \(g = [SB)\). Puisque \(B \notin l\), on a :
\[ \angle(d,g) < \angle(d,l) \le 90^\circ \]
L’angle \(\angle(d,g)\) est donc aigu, ce qui implique que \(S\) ne peut être la projection orthogonale de \(B\) sur \(d\). Comme \(S \in d\) avec \(S \ne U\), les propriétés de minimum de la projection orthogonale \(U\) nous donnent :
\[ \abs{BU} < \abs{BS} \]
qui implique :
\[ \abs{BU} \ne \abs{BS} \]
c’est-à-dire :
\[ \distance(B,d) \ne \distance(B,f) \]
Aucun point \(B\) de ce type ne peut appartenir au lieu \(\mathscr{L}\).
3.2.4.4. Secteur strict \(f\) et \(h\)
Choisissons à présent un point \(C \in \mathscr{S}\) distinct de \(S\) et situé strictement entre la demi-droite \(f\) et la droite \(h\) :
\[ C \notin h \cup f \]
Le point \(C\) est du même côté de \(l\) que la demi-droite \(f\). La projection orthogonale \(V\) de \(C\) sur \(f\) existe et :
\[ \distance(C,f) = \abs{CV} \]
Par contre, \(C\) n’est pas du même côté de \(h\) que la demi-droite \(d\). La projection orthogonale de \(C\) sur \(d\) n’existe pas, et la distance entre \(C\) et \(d\) est égale à la distance entre \(C\) et l’origine \(S\) de \(d\) :
\[ \distance(C,d) = \abs{CS} \]
Remarquons que :
\[ \angle(f,h) = \angle(f,d) - 90^\circ = \abs{\angleflex{S}} - 90^\circ \le 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]
Soit la demi-droite \(g = [SC)\). Puisque \(C \notin l\), on a :
\[ \angle(f,g) < \angle(f,h) \le 90^\circ \]
L’angle \(\angle(f,g)\) est donc aigu, ce qui implique que \(S\) ne peut être la projection orthogonale de \(C\) sur \(f\). Comme \(S \in f\) avec \(S \ne V\), les propriétés de minimum de la projection orthogonale \(U\) nous donnent :
\[ \abs{CV} < \abs{CS} \]
qui implique :
\[ \abs{CV} \ne \abs{CS} \]
c’est-à-dire :
\[ \distance(C,f) \ne \distance(C,d) \]
Aucun point \(C\) de ce type ne peut appartenir au lieu \(\mathscr{L}\).
3.2.4.5. Conclusion
Le lieu géométrique \(\mathscr{L}\) des points équidistants de \(d\) et \(f\) est inclus dans le secteur angulaire compris entre les demi-droites \(l\) et \(h\). Pour n’importe quel point \(A \in \mathscr{L}\), on peut donc utiliser les projections orthogonales de \(A\) sur \(d\) et \(f\) pour évaluer les distances entre \(A\) et ces demi-droites.
3.2.5. Conclusion
Dans tous les cas, on peut utiliser les projections orthogonales d’un point \(A \in \mathscr{L}\) sur \(d\) et \(f\) pour évaluer les distances entre \(A\) et ces demi-droites.
3.3. Point équidistant
Soit un point \(A \in \mathscr{L}\). On a :
\[ \distance(A,d) = \distance(A,f) \]
Comme \(A \in \mathscr{L}\), on peut utiliser les projections orthogonales \(O\) et \(P\) de \(A\) sur \(d\) et \(f\) pour évaluer les distances :
\[ \distance(A,d) = \abs{AO} \]
\[ \distance(A,f) = \abs{AP} \]
Pour la même raison, ces deux distances sont identiques :
\[ \abs{AO} = \abs{AP} \]
Les triangles rectangles \(SOA\) et \(SPA\) ont :
- une hypothénuse commune \([S,A]\)
- une cathète de même longueur \(\abs{AO} = \abs{AP}\)
Ces triangles sont donc isométriques et :
\[ \alpha = \beta \]
La demi-droite \(b = [SA)\) est la bissectrice de l’angle \(\angleflex{S}\) formé par les demi-droites \(d\) et \(f\) et :
\[ A \in [SA) = b \]
Tout point de \(\mathscr{L}\) appartient à la bissectrice \(b\) :
\[ \mathscr{L} \subseteq b \]
3.4. Point de la bissectrice
Soit un point \(A\) appartenant à la bissectrice \(b\) qui divise \(\angleflex{S}\) en deux angles d’amplitude \(\alpha\).
Considérons les points \(O\) et \(P\), projections orthogonales du point \(A\) sur les droites prolongeant \(d\) et \(f\) :
Comme :
\[ 0^\circ \le \abs{\angleflex{S}} = 2 \ \alpha \le 180^\circ \]
on a :
\[ 0^\circ \le \alpha \le 90^\circ \]
L’angle \(\alpha\) formé entre les demi-droites \([SA)\) et \(d\) est inférieur ou égal à \(90^\circ\). La projection orthogonale \(O\) est donc dans \(d\) et on peut l’utiliser pour évaluer la distance entre \(A\) et \(d\) :
\[ \distance(A,d) = \abs{AO} \]
Pour la même raison, l’angle formé entre les demi-droites \([SA)\) et \(f\) est aussi inférieur ou égal à \(90^\circ\). La projection orthogonale \(P\) est donc dans \(f\) et on peut l’utiliser pour évaluer la distance entre \(A\) et \(f\) :
\[ \distance(A,f) = \abs{AP} \]
Les triangles rectangles \(SOA\) et \(SPA\) ont :
- une hypothénuse commune \([S,A]\)
- un angle \(\alpha\) de même amplitude
Ces triangles sont donc isométriques et :
\[ \abs{AO} = \abs{AP} \]
c’est-à-dire :
\[ \distance(A,d) = \distance(A,f) \]
Le point \(A\) est équidistant de \(d\) et \(f\), il appartient donc au lieu $ \mathscr{L}$.
Tout point appartenant à la bissectrice \(b\) est dans \(\mathscr{L}\) :
\[ b \subseteq \mathscr{L} \]
3.5. Conclusion
La double inclusion nous montre que :
\[ b = \mathscr{L} \]
La bissectrice de l’angle formé par les droites \(d\) et \(f\) est le lieu des points équidistants de \(d\) et \(f\).