Eclats de vers : Matemat : Limites doubles
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:limitesDoubles}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:limites} : Les limites
2. Introduction
Si les ensemble \(A, B\) sont munis d'une distance, on définit la distance :
\[\distance^2 : (A \times B) \times (A \times B) \mapsto \corps\]
associée par :
\[\distance^2\big[(x,y), (a,b)\big] = \max \big\{ \distance(x,a), \distance(y,b) \big\}\]
pour tout \((x,y),(a,b) \in A \times B\). La fonction définie est-elle une distance ? On a clairement \(\distance^2 \ge 0\) et :
\[\distance^2\big[(x,y), (a,b)\big] = \distance^2\big[(a,b), (x,y)\big]\]
On a aussi :
\[\distance^2\big[(x,y), (x,y)\big] = \max \big\{ \distance(x,x), \distance(y,y) \big\} = \max \{ 0, 0 \} = 0\]
Si :
\[\distance^2\big[(x,y), (a,b)\big] = 0\]
on a forcément :
\[\distance(x,a) = \distance(y,b) = 0\]
Donc \(x = a\), \(y = b\) et :
\[(x,y) = (a,b)\]
Pour l'inégalité triangulaire, soit \((x,y),(a,b),(c,d) \in A \times B\) et :
\[d = \distance^2\big[(a,b), (c,d)\big] = \max \big\{ \distance(a,c), \distance(b,d) \big\}\]
La distance sur \(A\) vérifie :
\[\distance(a,c) \le \distance(a,x) + \distance(x,c)\]
La distance sur \(B\) vérifie :
\[\distance(b,d) \le \distance(b,y) + \distance(y,d)\]
On en déduit que :
\begin{align*} d &\le \max \{ \distance(a,x) + \distance(x,c), \distance(b,y) + \distance(y,d) \} \\ &\le \max \{ \distance(a,x), \distance(b,y) \} + \max \{ \distance(x,c), \distance(y,d) \} \\ &\le \distance^2\big[(a,b), (x,y)\big] + \distance^2\big[(x,y), (c,d)\big] \end{align*}3. Limite en un point
Soit un ensemble \(F\) et une fonction \(f : A \times B \mapsto F\). On choisit un ensemble \(U \subseteq A \times B\). On dit que \(L\) est la limite de \(f\) en \((a,b) \in A \times B\) et on le note :
\[\lim_{ \substack{ (x,y) \to (a,b) \\ (x,y) \in U } } f(x,y) = L\]
si, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :
\[\distance(f(x,y), L) \le \epsilon\]
pour tout \((x,y) \in U\) vérifiant :
\[\distance^2\big[ (x,y), (a,b) \big] = \max \{ \distance(x,a), \distance(y,b) \} \le \delta\]
3.1. Formulation équivalente
La condition :
\[\max \{ \distance(x,a), \distance(y,b) \} \le \delta\]
est équivalente à :
\( \distance(x,a) \le \delta \)
\( \distance(y,b) \le \delta \)
On en conclut que :
\[\lim_{ \substack{ (x,y) \to (a,b) \\ (x,y) \in U } } f(x,y) = L\]
si et seulement si, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :
\[\distance(f(x,y), L) \le \epsilon\]
pour tout \((x,y) \in U\) vérifiant :
\( \distance(x,a) \le \delta \)
\( \distance(y,b) \le \delta \)
3.2. Extension
Supposons que pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\) on puisse trouver des \(\delta_1, \delta_2 \strictsuperieur 0\) tels que :
\[\distance(f(x,y), L) \le \epsilon\]
pour tout \((x,y) \in U\) vérifiant :
\( \distance(x,a) \le \delta_1 \)
\( \distance(y,b) \le \delta_2 \)
En posant :
\[\delta = \min \{ \delta_1, \delta_2 \} \strictsuperieur 0\]
on voit que :
\[\distance(f(x,y), L) \le \epsilon\]
pour tout \((x,y) \in U\) vérifiant :
\( \distance(x,a) \le \delta \le \delta_1 \)
\( \distance(y,b) \le \delta \le \delta_2 \)
On en conclut que :
\[\lim_{ \substack{ (x,y) \to (a,b) \\ (x,y) \in U } } f(x,y) = L\]
4. Limite à l'infini
On suppose que les ensembles \(A, B\) sont ordonnés. On dit que \(L \in F\) est la limite de \(f : A \times B \mapsto F\) à l'infini positif et on le note :
\[\lim_{(x,y) \to +\infty} f(x,y) = L\]
si, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver des bornes inférieures \((I, J) \in A \times B\) telles que :
\[\distance\big[f(x,y), L\big] \le \epsilon\]
pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :
\( x \ge I \)
\( y \ge J \)
On dit que \(L \in F\) est la limite de \(f : A \times B \mapsto F\) à l'infini négatif et on le note :
\[\lim_{(x,y) \to -\infty} f(x,y) = L\]
si, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver des bornes supérieures \((I, J) \in A \times B\) telles que :
\[\distance\big[f(x,y), L\big] \le \epsilon\]
pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :
\( x \le I \)
\( y \le J \)
5. Dualité
5.1. \(x\) puis \(y\)
Supposons que la limite \(\lambda(y)\) définie par :
\[\lambda(y) = \lim_{x \to a} f(x,y)\]
existe pour tout \(y \in B\) et que :
\[L = \lim_{y \to b} \lambda(y) = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x,y)\]
est bien définie. Nous supposons également que, quelque soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :
\[\distance(f(x,y),\lambda(y)) \le \epsilon\]
pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :
\[\distance(x,a) \le \delta\]
Choissons \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On peut trouver \(\delta_1 \strictsuperieur 0\) tel que :
\[\distance(\lambda(y), L) \le \frac{\epsilon}{2}\]
pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :
\[\distance(y,b) \le \delta_1\]
On peut aussi trouver \(\delta_2\) tel que :
\[\distance(f(x,y),\lambda(y)) \le \frac{\epsilon}{2}\]
pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :
\[\distance(x,a) \le \delta_2\]
Soit \(\delta = \min \{ \delta_1, \delta_2 \}\) et \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :
\[\max \{ \distance(x,a), \distance(y,b) \} \le \delta\]
On a alors :
\begin{align*} \distance(f(x,y),L) &\le \distance(f(x,y),\lambda(y)) + \distance(\lambda(y),L) \\ &\le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*}On en conclut que :
\[\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L\]
autrement dit :
\[\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x,y)\]
5.2. \(y\) puis \(x\)
Supposons que la limite \(\mu(x)\) définie par :
\[\mu(x) = \lim_{y \to b} f(x,y)\]
existe pour tout \(x \in A\) et que :
\[M = \lim_{x \to a} \mu(y) = \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x,y)\]
est bien définie. Nous supposons également que, quelque soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :
\[\distance(f(x,y),\mu(x)) \le \epsilon\]
pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :
\[\distance(y,b) \le \delta\]
Choissons \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On peut trouver \(\delta_1 \strictsuperieur 0\) tel que :
\[\distance(\mu(x), M) \le \frac{\epsilon}{2}\]
pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :
\[\distance(x,a) \le \delta_1\]
On peut aussi trouver \(\delta_2\) tel que :
\[\distance(f(x,y),\mu(x)) \le \frac{\epsilon}{2}\]
pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :
\[\distance(y,b) \le \delta_2\]
Soit \(\delta = \min \{ \delta_1, \delta_2 \}\) et \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :
\[\max \{ \distance(x,a), \distance(y,b) \} \le \delta\]
On a alors :
\begin{align*} \distance(f(x,y),M) &\le \distance(f(x,y),\mu(x)) + \distance(\mu(x),M) \\ &\le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*}On en conclut que :
\[\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = M\]
autrement dit :
\[\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x,y)\]