Eclats de vers : Matemat : Limites réelles

\[\abs{f(x) + g(x) - (F + G)} \le \abs{f(x) - F} + \abs{g(x) - G} = 2 \gamma\]

Il suffit donc de choisir \(\gamma = \epsilon / 2\) pour avoir \(\abs{f(x) + g(x) - (F + G)} \le \epsilon\). On en déduit que la limite de \(f + g\) est \(F + G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \big[f(x) + g(x)\big] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\]

On a simplement :

\[\abs{\big[-g(x)\big] - (-G)} = \abs{G - g(x)} = \abs{g(x) - G} \le \gamma\]

Il suffit donc de choisir \(\gamma = \epsilon\) pour avoir \(\abs{(-g(x)) - (-G)} \le \epsilon\). On en déduit que la limite de \(-g\) est \(-G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \big[-g(x)\big] = - \lim_{x \to a} g(x)\]

On a :

\begin{align} \lim_{x \to a} \big[f(x) - g(x)\big] &= \lim_{x \to a} \big[f(x) + \big(-g(x)\big)\big] \\ &= \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} \big(-g(x)\big) \\ &= \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \end{align}

On voit que :

\begin{align} \abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} &= \abs{f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot G + f(x) \cdot G - F \cdot G} \\ &= \abs{f(x) \cdot (g(x) - G) + (f(x) - F) \cdot G} \\ &\le \abs{f(x) \cdot (g(x) - G)} + \abs{(f(x) - F) \cdot G} \\ &\le \abs{f(x)} \cdot \abs{g(x) - G} + \abs{(f(x) - F)} \cdot \abs{G} \\ &\le \abs{f(x)} \cdot \gamma + \gamma \cdot \abs{G} \end{align}

Comme :

\[\abs{f(x)} = \abs{f(x) - F + F} \le \abs{f(x) - F} + F \le \gamma + \abs{F}\]

notre borne peut se réécrire :

\begin{align} \abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} &\le (\gamma + \abs{F}) \cdot \gamma + \gamma \cdot \abs{G} \\ &\le (\gamma + \abs{F} + \abs{G}) \cdot \gamma \end{align}

Si on choisit \(\gamma = \min\{ 1 , \epsilon / (1 + \abs{F} + \abs{G}) \}\), on a \(\gamma \le 1\) et :

\[\abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} \le (1 + \abs{F} + \abs{G}) \cdot \gamma \le \epsilon\]

On en déduit que la limite de \(f \cdot g\) est \(F \cdot G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \big[f(x) \cdot g(x)\big] = \left[ \lim_{x \to a} f(x) \right] \cdot \left[ \lim_{x \to a} g(x) \right]\]

Supposons que \(G \ne 0\). On a :

\begin{align} \abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} &= \abs{\frac{G - g(x)}{g(x) \cdot \abs{G}}} \\ &= \frac{ \abs{G - g(x)} }{ \abs{g(x)} \cdot \abs{G} } \\ &= \frac{ \gamma }{ \abs{g(x)} \cdot \abs{G} } \end{align}

On voit aussi que :

\begin{align} \abs{g(x)} = \abs{g(x) - G + G} &= \abs{G - (G - g(x))} \\ &\ge \abs{G} - \abs{G - g(x)} \\ &\ge \abs{G} - \gamma \end{align}

Donc, si \(\gamma \strictinferieur \abs{G}\), on a :

\[\abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} \le \frac{ \gamma }{ (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} }\]

Nous allons voir qu'il est possible de majorer cette expression par \(\epsilon\). En effet, la condition :

\[\frac{ \gamma }{ (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} } \le \epsilon\]

est équivalente à :

\[\gamma \le \epsilon \cdot (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} = G^2 \cdot \epsilon - \epsilon \cdot \abs{G} \cdot \gamma\]

ce qui revient à dire que :

\[(1 + \epsilon \cdot \abs{G}) \cdot \gamma \le G^2 \cdot \epsilon\]

et enfin :

\[0 \strictinferieur \gamma \le \frac{G^2 \cdot \epsilon}{1 + \epsilon \cdot \abs{G}}\]

En imposant également \(\gamma \strictinferieur \abs{G}\), on obtient la condition suffisante :

\[0 \strictinferieur \gamma \strictinferieur \min\left\{ \abs{G} , \frac{G^2 \cdot \epsilon}{1 + \epsilon \cdot \abs{G}} \right\}\]

On a alors \(\abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} \le \epsilon\). On en conclut que la limite de \(1/g\) est \(1/G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{\lim_{x \to a} g(x)}\]

Toujours sous l'hypothèse que \(G \ne 0\), on a :

\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \left[\lim_{x \to a} f(x)\right] \cdot \left[\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)}\right] = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}\]

Si \(x \ge y\), on a \(F(x) \subseteq F(y)\), et donc \(\sup F(x) \le \sup F(y)\). On en conclut que la fonction dérivée \(d : \setR \mapsto \setR\) définie par :

\[d(x) = \sup \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

pour tout \(x \in \setR\) est décroissante et minorée. Elle converge donc vers son infimum :

\[\lim_{x \to +\infty} d(x) = \inf_{x \in \setR} d(x) = \inf_{x \in \setR} \sup \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

D'un autre coté, la définition de \(d\) implique que :

\[\lim_{x \to +\infty} d(x) = \lim_{x \to +\infty} \sup \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} = \limsup_{x \to +\infty} f(x)\]

On en conclut que :

\[\limsup_{x \to +\infty} f(x) = \inf_{x \in \setR} \sup \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

Si \(x \ge y\), on a \(F(x) \subseteq F(y)\), et donc \(\inf F(x) \ge \inf F(y)\). On en conclut que la fonction dérivée \(c : \setR \mapsto \setR\) définie par :

\[c(x) = \inf \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

pour tout \(x \in \setR\) est croissante et majorée. Elle converge donc vers son supremum :

\[\lim_{x \to +\infty} c(x) = \sup_{x \in \setR} c(x) = \sup_{x \in \setR} \inf \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

D'un autre coté, la définition de \(c\) implique que :

\[\lim_{x \to +\infty} c(x) = \lim_{x \to +\infty} \inf \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} = \liminf_{x \to +\infty} f(x)\]

On en conclut que :

\[\liminf_{x \to +\infty} f(x) = \sup_{x \in \setR} \inf \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

Supposons que les limites à l'infini existent :

Supposons que \(b \strictsuperieur c\) et posons \(\epsilon = (b - c)/4 \strictsuperieur 0\). On a alors :

\[b = c + 4 \epsilon\]

On peut trouver un réel \(F\) tel que :

\[\abs{f(x) - b} \le \epsilon\]

pour tout réel \(x\) vérifiant \(x \ge F\). De même, on peut trouver un réel \(G\) tel que :

\[\abs{g(x) - c} \le \epsilon\]

pour tout réel \(x\) vérifiant \(x \ge G\). Donc, pour tout réel \(x\) vérifiant \(x \ge M = \max\{F,G\}\), on a :

\[\{ \ \abs{f(x) - b} , \ \abs{g(x) - c} \ \} \le \epsilon\]

On voit que :

\[b - \epsilon = c + 3 \epsilon \strictsuperieur c + \epsilon\]

On en déduit que :

\[f(x) \ge b - \epsilon \strictsuperieur c + \epsilon \ge g(x)\]

ce qui contredit \(f \le g\). Notre hypothèse est donc fausse et \(b \le c\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) \le \lim_{x \to +\infty} g(x)\]

On montre par un raisonnement analogue que, si les limites de \(f,g\) en \(a\) existent, on a :

\[\lim_{x \to a} f(x) \le \lim_{x \to a} g(x)\]

Pour tout \(x \in \setR\), on a :

\[\lambda(x) = \inf \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \le \sigma(x) = \sup \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

On en conclut que \(\lambda \le \sigma\). Leurs limites à l'infini respectent donc le même ordre. Mais comme ces limites correspondent aux limites infimum et supremum de \(f\), on a :

\[\liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} f(x)\]

Soit les fonctions \(\varphi,\gamma\) définies par :

pour tout \(x \in \setR\). Quel que soit le réel \(x\), on a \(f \le g\) sur \(\Theta(x)\). On en conclut que :

\[\varphi(x) = \sup f(\Theta(x)) \le \sup g(\Theta(x)) = \gamma(x)\]

ce qui revient à dire que \(\varphi \le \gamma\). On doit donc avoir :

\[\lim_{x \to +\infty} \varphi(x) \le \lim_{x \to +\infty} \gamma(x)\]

c'est-à-dire :

\[\limsup_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} g(x)\]

Soit les fonctions \(\varphi,\gamma\) définies par :

pour tout \(x \in \setR\). Quel que soit le réel \(x\), on a \(f \le g\) sur \(\Theta(x)\). On en conclut que :

\[\varphi(x) = \inf f(\Theta(x)) \le \inf g(\Theta(x)) = \gamma(x)\]

ce qui revient à dire que \(\varphi \le \gamma\). On doit donc avoir :

\[\lim_{x \to +\infty} \varphi(x) \le \lim_{x \to +\infty} \gamma(x)\]

c'est-à-dire :

\[\liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \liminf_{x \to +\infty} g(x)\]

Supposons que :

\[L = \liminf_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} g(x)\]

On a alors :

\[L = \liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} g(x) = L\]

Les limites sup et inf de \(f\) sont donc toutes deux égales à \(L\) et :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = L\]

On a aussi :

\[L = \liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \liminf_{x \to +\infty} g(x) \le \limsup_{x \to +\infty} g(x) = L\]

Les limites sup et inf de \(g\) sont donc toutes deux égales à \(L\) et :

\[\lim_{x \to +\infty} g(x) = \liminf_{x \to +\infty} g(x) = \limsup_{x \to +\infty} g(x) = L\]

On en conclut que les limites de \(f\) et \(g\) existent et que :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} g(x)\]