Eclats de vers : Matemat : Linéarité
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:lineaire}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions
2. Définition
Soit les ensembles \(E\) et \(F\), un corps \(\corps\) et la fonction \(f : E \mapsto F\). On dit que \(f\) est linéaire si, pour tout \(x,y \in E\) et \(\alpha, \beta \in \corps\), on a :
\[f(\alpha \cdot x + \beta \cdot y) = \alpha \cdot f(x) + \beta \cdot f(y)\]
On note \(\lineaire(E,F)\) l'ensemble des fonctions linéaires de \(E\) vers \(F\).
3. Généralisation
Soit les \(x_i \in E\) et les \(\alpha_i \in \corps\), pour \(i \in \{1,2,...,n\}\). On peut montrer par récurrence que :
\[f\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i\right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot f(x_i)\]
4. Identité
L'application identité est clairement linéaire.
5. Inverse
Soit \(u = f(x)\) et \(v = f(y)\). Si l'application inverse existe, on a \(x = f^{-1}(u)\) et \(y = f^{-1}(v)\). En composant à gauche par \(f^{-1}\) la définition de la linéarité :
\[f\left(\alpha \cdot f^{-1}(u) + \beta \cdot f^{-1}(v)\right) = \alpha \cdot u + \beta \cdot v\]
on obtient :
\[\alpha \cdot f^{-1}(u) + \beta \cdot f^{-1}(v) = f^{-1}(\alpha \cdot u + \beta \cdot v)\]
ce qui montre que l'inverse est également linéaire.
6. Image de l’élément nul
Choisissons un \(x \in E\). on voit que :
\[f(0) = f(0 \cdot x) = 0 \cdot f(x) = 0\]
La valeur d'une fonction linéaire s'annule en l’élément nul.