Eclats de vers : Matemat : Matrices
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:matrices}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
- Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes
2. Définition
Soit un corps \(\corps\), une fonction linéaire \(\mathcal{A} : \corps^n \mapsto \corps^m\) de composantes :
\[ \mathcal{A}_i = \composante_i \mathcal{A} \]
et la suite des vecteurs de la base canonique de \(\corps^n\) :
\[ (\canonique_1,\canonique_2,...,\canonique_n) \]
Soit un vecteur \(u \in \corps^n\) de composantes :
\[ u = (u_j)_j \]
Nous avons aussi :
\[ \mathcal{A}(u) = (\mathcal{A}_i(u))_i \]
En utilisant la linéarité de \(\mathcal{A}\), on obtient :
\[ \mathcal{A}(u) = \sum_{j=1}^n \mathcal{A}(\canonique_j) \cdot u_j \]
Les composantes s’écrivent donc :
\[ \mathcal{A}_i(u) = \sum_{j=1}^n \mathcal{A}_i(\canonique_j) \cdot u_j \]
On voit que la fonction \(\mathcal{A}\) est entièrement déterminée par les coefficients scalaires :
\[ a_{ij} = \mathcal{A}_i(\canonique_j) \]
pour tout \(i\in\{1,2,...,m\}\) et \(j\in\{1,2,...,n\}\). On a donc :
\[ \mathcal{A}_i(u) = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot u_j \]
La structure en double indice des coefficients \(a_{ij}\) nous pousse à représenter \(\mathcal{A}\) par le tableau de \(m\) lignes et \(n\) colonnes :
\[ A = \begin{Matrix}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{Matrix} \]
Un tableau \(A\) de cette forme est appelé matrice de taille \((m,n)\). Les coefficients \(a_{ij}\in\corps\) sont appelés composantes de \(A\).
On note \(\matrice(\corps,m,n)\) l'ensemble des matrices à \(m\) lignes et \(n\) colonnes.
3. Composantes
Soit une matrice \(A\in\matrice(\corps,m,n)\) :
\[ A = \begin{Matrix}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{Matrix} \]
On note les composantes sous la forme plus compacte :
\[ A = ( a_{ij} )_{i \in \{1,2,...,m\},j \in \{1,2,...,n\}} \]
ou :
\[ A = [ a_{ij} ]_{i \in \{1,2,...,m\},j \in \{1,2,...,n\}} \]
Par convention, le numéro de ligne passe avant le numéro de colonne à l'extérieur de la parenthèse (ou du crochet). Lorsque les nombres de lignes et de colonnes sont évidentes d’après le contexte, on note plus simplement :
\[ A = ( a_{ij} )_{i,j} \]
avec ou sans la virgule :
\[ A = (a_{ij})_{ij} \]
ou encore :
\[ A = [ a_{ij} ]_{i,j} = [ a_{ij} ]_{ij} \]
On dit aussi que \(a_{ij}\) est la composante \(i,j\) de \(A\), et on le note :
\[a_{ij} = \composante_{i,j} A\]
avec ou sans virgule :
\[a_{ij} = \composante_{ij} A\]
4. Egalité
Il est clair que deux matrices \(A,B \in \matrice(\corps,m,n)\) :
\[ A = ( a_{ij} )_{i,j} \]
\[ B = ( b_{ij} )_{i,j} \]
sont égales (\(A = B\)) si et seulement si toutes leurs composantes le sont :
\[a_{ij} = b_{ij}\]
pour tout \((i,j) \in \{ 1,2,...,m \} \times \{ 1,2,...,n \}\).
5. Ordre partiel
Soit les matrices \(A,B \in \matrice(\corps,m,n)\) :
\[ A = ( a_{ij} )_{i,j} \]
\[ B = ( b_{ij} )_{i,j} \]
On dit que \(A\) est inférieure à \(B\), et on le note \(A \le B\), si :
\[a_{ij} \le b_{ij}\]
pour tout \((i,j) \in \{ 1,2,...,m \} \times \{ 1,2,...,n \}\).
6. Scalaires
On peut associer à tout scalaire \(a \in \corps\) une matrice \(A\) de taille \((1,1)\) :
\[ A = [ a ] \]
et vice-versa. On a donc l’équivalence :
\[ \matrice(\corps,1,1) \equiv \corps \]
Dans la suite, on assimile toute matrice de taille \((1,1)\) à un scalaire.
7. Vecteurs lignes et colonnes
7.1. Taille des vecteurs
On peut considérer un vecteur colonne comme une matrice ne possédant qu'une seule colonne. Un vecteur colonne est donc de taille générique \((m,1)\).
De même, on peut considérer un vecteur ligne comme une matrice ne possédant qu'une seule ligne. Un vecteur ligne est donc de taille générique \((1,n)\).
7.2. Équivalence avec \(\corps^n\)
A partir d'un n-tuple \((x_1,x_2,...,x_n) \in \corps^n\), on peut former un vecteur ligne \(l \in \matrice(\corps,1,n)\) et un vecteur colonne \(c \in \matrice(\corps,n,1)\). Les réciproques étant également vraies, on a les équivalences :
\(\matrice(\corps,1,n) \equiv \matrice(\corps,n,1) \equiv \corps^n\)
7.3. Colonne d’une matrice
La colonne \(j\) d’une matrice :
\[ A = (a_{ij})_{i,j} \in \matrice(\corps,m,n) \]
est aussi un vecteur colonne \(c_j \in \corps^m\) défini par :
\[ c_j = (a_{ij})_i = \begin{Matrix}{c} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{Matrix} \]
On note :
\[ \colonne_j A = c_j \]
7.4. Ligne d’une matrice
La ligne \(i\) d’une matrice :
\[ A = (a_{ij})_{i,j} \in \matrice(\corps,m,n) \]
est aussi un vecteur ligne \(l_i \in \corps^n\) défini par :
\[ l_i = (a_{ij})_j = [a_{i1} \ \ a_{i2} \ \ldots \ \ a_{in}] \]
On note :
\[\ligne_i A = l_i\]
8. Formes lignes et colonnes
On peut exprimer \(A\) sous la forme de colonnes juxtaposées. Soit :
\[ A = [c_1 \ \ c_2 \ \ \ldots \ \ c_n] \]
où les \(c_i \in \matrice(\corps,m,1)\) sont les colonnes de \(A\).
On peut aussi exprimer une matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) sous la forme de lignes superposées. Soit :
\[ A = \begin{Matrix}{c} l_1 \\ l_2 \\ \vdots \\ l_m \end{Matrix} \]
où les \(l_i \in \matrice(\corps,1,n)\) sont les lignes de \(A\).
9. Blocs
9.1. Partitionnement en blocs
Il est parfois très utile de partitionner une matrice en blocs, ou de former une matrice plus grande à partir de matrices de tailles plus petites. On note alors :
\[ A = \begin{Matrix}{cc} B & C \\ D & E \end{Matrix} = \begin{Matrix}{cccccc} b_{11} & \ldots & b_{1n} & c_{11} & \ldots & c_{1p} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{m1} & \ldots & b_{mn} & c_{m1} & \ldots & c_{mp} \\ d_{11} & \ldots & d_{1n} & e_{11} & \ldots & e_{1p} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ d_{r1} & \ldots & d_{rn} & e_{r1} & \ldots & e_{rp} \end{Matrix} \]
où les \(b_{ij},c_{ij},d_{ij},e_{ij}\) sont respectivement les composantes des matrices \(B,C,D,E\). Ces matrices doivent évidemment être de tailles compatibles (nombres de lignes identiques pour \(B\) et \(C\), ainsi que pour \(D\) et \(E\) ; nombres de colonnes identiques pour \(B\) et \(D\), ainsi que pour \(C\) et \(E\)).
9.2. Extraction d’un bloc
Soit \(A = (a_{ij})_{i,j}\). La fonction \(\bloc_{ijkl}\) donne la sous-matrice située entre la \(i^{ème}\) et la \(j^{ème}\) ligne, ainsi qu'entre la \(k^{ième}\) et la \(l^{ième}\) colonne :
\[ \bloc_{i,j,k,l} A = \bloc_{ijkl} A = \begin{Matrix}{cccc} a_{ik} & a_{i,k+1} & \ldots & a_{il} \\ a_{i+1,k} & a_{i+1,k+1} & \ldots & a_{i+1,l} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{jk} & a_{j,k+1} & \ldots & a_{jl} \end{Matrix} \]
On appelle bloc une telle sous-matrice.
10. Transposition
Transposer un vecteur colonne consiste à le transformer en vecteur ligne, et vice versa.
Pour généraliser ce concept à une matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) définie par :
\[ A = \begin{Matrix}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{Matrix} \]
nous pouvons l’exprimer sous la forme de colonnes juxtaposées :
\[ A = [c_1 \ \ c_2 \ \ \ldots \ \ c_n] \]
et en transposer chaque colonne pour obtenir des lignes que nous pouvons alors superposer :
\[ A^T = \begin{Matrix}{c} c_1^T \\ c_2^T \\ \vdots \\ c_n^T \end{Matrix} \]
Nous pouvons aussi exprimer \(A\) sous la forme de lignes superposées :
\[ A = \begin{Matrix}{c} l_1 \\ l_2 \\ \vdots \\ l_m \end{Matrix} \]
et en transposer chaque ligne pour obtenir des colonnes que nous pouvons alors juxtaposer :
\[ A^T = [l_1^T \ \ l_2^T \ \ \ldots \ \ l_m^T] \]
Ces deux méthodes produisent le même résultat, à savoir une matrice transposée \(A^T\) définie par :
\[ A^T = (a_{ji})_{i,j} \]
Il suffit donc de permuter les deux indices des composantes pour obtenir la matrice transposée :
\[ A^T = \begin{Matrix}{cccc} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{m2} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{mn} \end{Matrix} \]
On voit que la matrice transposée \(A^T\) est de taille \((n,m)\).
10.1. Transposée d’une transposée
On a clairement :
\[\big( A^T \big)^T = A\]
11. Conjuguée
La conjuguée d'une matrice \(A = (a_{ij})_{i,j} \in \matrice(\setC,m,n)\) est définie par la conjuguée des composantes :
\[ \conjugue A = \conjaccent{A} = ( \bar{a}_{ij} )_{i,j} = ( \conjugue a_{ij} )_{i,j} \]
12. Catégories
12.1. Matrices carrées et rectangulaires
Les matrices \(A \in \matrice(\corps,n,n)\) ayant même nombre de colonnes et de lignes sont dites « carrées ». Les matrices \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) avec \(m \ne n\) sont dites « rectangulaires ». Lorsque \(m \strictinferieur n\), on dit que la matrice est « longue ». Si \(m \strictsuperieur n\), on dit que la matrice est « haute ».
12.2. Matrices diagonales
Une matrice diagonale contient des composantes nulles partout, à l'exception de la diagonale où aucune contrainte n'est fixée. On peut représenter une matrice diagonale \(D \in \matrice(\corps,m,n)\) par :
\[ D = ( d_i \cdot \indicatrice_{ij} )_{i,j} \]
On peut aussi former une matrice diagonale de taille \((m,n)\) à partir d'un vecteur \(d = (d_i)_i\) de taille \((p,1)\), où \(p \le \min \{ m , n \}\). On le note :
\[D = \diagonale_{m,n}(d) = \diagonale_{m,n}(d_1,...,d_p)\]
où :
\[ \composante_{ij} \diagonale_{m,n}(d_1,...,d_p) = \begin{cases} d_i & \text{ si } i = j \in \{1,2,...,p\} \\ 0 & \text{ sinon} \end{cases} \]
12.2.1. Carrée
Dans le cas particulier où \(m = n\), on note aussi :
\[\diagonale_n(d) = \diagonale_{n,n}(d)\]
12.3. Matrices triangulaires
Les composantes des matrices triangulaires supérieures ne peuvent être non nulles qu'au-dessus de la diagonale, c'est-à-dire lorsque \(i \le j\). Elles peuvent se représenter par :
\[T = (t_{ij} \cdot \tau^+_{ij})_{i,j}\]
où :
\[ \tau^+_{ij} = \begin{cases} 1 & \mbox{ si } i \le j \\ 0 & \mbox{ si } i \strictsuperieur j \end{cases} \]
Les composantes des matrices triangulaires inférieures ne peuvent être non nulles qu'au-dessous de la diagonale, c'est-à-dire lorsque \(i \ge j\). Elles peuvent se représenter par :
\[T = (t_{ij} \cdot \tau^-_{ij})_{i,j}\]
où :
\[ \tau^-_{ij} = \begin{cases} 1 & \mbox{ si } i \ge j \\ 0 & \mbox{ si } i \strictinferieur j \end{cases} \]