Eclats de vers : Matemat : Octogone régulier
Table des matières
1. Classification des diagonales
Quels sont les types de $k$-diagonales dans un octogone ? On a :
\[ 1 \le k \le 8 \diventiere 2 - 1 = 3 \]
Les seules diagonales possibles sont :
- les $1$-diagonales, ou diagonales courtes
- les $2$-diagonales
- les $3$-diagonales
2. Triangles formés par les rayons
2.1. Raisonnement
Soit un octogone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_8\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On trace les rayons de \(\mathscr{C}\) reliant le centre aux sommets de l’octogone, découpant ainsi la figure en huit triangles intérieurs :
Nous avons tenu compte du caractère isocèle des triangles intérieurs dans la notation des angles.
Dans les triangles \(O P_1 P_2\) et \(O P_2 P_3\) on a :
\[ \abs{P_1 P_2} = \abs{P_2 P_3} \]
car l’octogone est régulier et :
\[ \abs{O P_1} = \abs{O P_2} = r \]
\[ \abs{O P_2} = \abs{O P_3} = r \]
par définition du cercle circonscrit. Ces triangles ont leurs trois côtés de mêmes longueurs et sont donc isométriques. Un raisonnement analogue nous montre que tous les triangles intérieurs de l’octogone sont isométriques :
\[ O P_1 P_2 \qquad O P_2 P_3 \qquad O P_3 P_4 \qquad O P_4 P_5 \]
\[ O P_5 P_6 \qquad O P_6 P_7 \qquad O P_7 P_8 \qquad O P_8 P_1 \]
On a en particulier :
\[ \alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_8 \]
\[ \beta_1 = \beta_2 = \ldots = \beta_8 \]
Posons :
\[ \alpha = \alpha_1 \]
\[ \beta = \beta_1 \]
Les angles \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\ldots\), \(\alpha_8\) forment ensemble un tour complet :
\[ \sum_{i=1}^6 \alpha_i = 8 \ \alpha = 2 \ \pi \]
En isolant \(\alpha\), on obtient :
\[ \alpha = \frac{2 \ \pi}{8} = 45^\circ \]
La somme des angles dans le triangle \(O P_1 P_2\) nous donne :
\[ \alpha + 2 \ \beta = 45^\circ + 2 \ \beta = 180^\circ \]
En isolant \(\beta\), on obtient :
\[ \beta = \frac{180^\circ - 45^\circ}{2} = 67.5^\circ \]
Les triangles intérieurs ont donc les angles suivants :
\[ \alpha = 45^\circ \qquad \qquad \qquad \beta = 67.5^\circ \]
Les angles internes d’un octogone valent :
\[ 2 \ \beta = 135^\circ \]
Le schéma devient donc :
On a aussi les angles internes :
2.2. Diamètres
On remarque que :
\[ \abs{\angleflex{P_1 O P_5}} = 4 \ \alpha = 180^\circ \]
Les points \(O\), \(P_1\) et \(P_5\) sont alignés, ce qui signifie que \(O\) se situe sur la diagonale \([P_1, P_5]\). Cette diagonale est donc un diamètre du cercle \(\mathscr{C}\).
Un raisonnement similaire nous montre que le centre du cercle circonscrit est situé sur toutes les $3$-diagonales :
\[ [P_1, P_5] \qquad \qquad \qquad [P_2, P_6] \qquad \qquad \qquad [P_3, P_7] \qquad \qquad \qquad [P_4, P_8] \]
Ces diagonales sont donc aussi des diamètres du cercle.
2.3. Conclusion
Dans un octogone régulier :
- deux rayons qui aboutissent à deux sommets consécutifs forment un angle au centre de \(45^\circ\)
- l’angle formé par un côté et un rayon qui aboutit à une de ses extrémités a une amplitude de \(67.5^\circ\)
- l’angle interne a une amplitude de \(135^\circ\)
- les $3$-diagonales sont des diamètres
3. Diagonales
Le schéma ci-dessous représente un octogone régulier muni de certaines de ses diagonales, ainsi que les diamètres du cercle :
Nous avons tenu compte de la symétrie dans la notation des angles.
Dans le quadrilatère \(IJKL\), la somme des angles vaut \(360^\circ\) :
\[ 4 \ \delta = 360^\circ \]
ce qui nous donne la valeur de \(\delta\) :
\[ \delta = 90^\circ \]
Comme \(\delta\) et \(\epsilon\) forment ensemble un angle plat, on a :
\[ \delta + \epsilon = 90^\circ + \epsilon = 180^\circ \]
et :
\[ \epsilon = 90^\circ \]
La somme des angles dans le quadrilatère \(EFJK\) nous donne :
\[ 2 \ \epsilon + 2 \ \tau = 2 \cdot 90^\circ + 2 \ \tau = 360^\circ \]
d’où :
\[ \tau = \frac{360^\circ - 2 \cdot 90^\circ}{2} = 90^\circ \]
Comme \(\epsilon\) et \(\chi\) forment ensemble un angle plat, on a :
\[ \epsilon + \chi = 90^\circ + \chi = 180^\circ \]
et :
\[ \chi = 90^\circ \]
La somme des angles dans le triangle \(CLB\) nous donne :
\[ 2 \ \alpha + \chi = 2 \ \alpha + 90^\circ = 180^\circ \]
c’est-à-dire :
\[ \alpha = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ \]
Les angles \(\alpha\) et \(\gamma\) forment, avec un angle de \(67.5^\circ\), un des angles internes de l’octogone qui vaut \(135^\circ\). On a donc :
\[ \alpha + \gamma + 67.5^\circ = 45^\circ + \gamma + 67.5^\circ = 135^\circ \]
c’est-à-dire :
\[ \gamma = 135^\circ - 45^\circ - 67.5^\circ = 22.5^\circ \]
3.1. Conclusion
Les diagonales d’un octogone régulier forment
- des quadrilatères dont les angles sont droits
- des petits triangles rectangles dont les angles aigus valent \(45^\circ\)
- des angles de \(22.5^\circ\) entre les rayons du cercle circonscrit et les diagonales construites en sautant deux sommets de l’octogone
Le schéma devient :
4. Nombre d’argent
Le schéma ci-dessous représente un octogone régulier muni de certaines de ses diagonales, ainsi que les diamètres du cercle :
Nous avons tenu compte de la symétrie, de l’invariance sous rotation et des angles droits dans la notation des longueurs et des angles.
Le cercle est de rayon \(r\). La longueur du côté de l’octogone se note :
\[ l = \abs{AB} = \abs{BC} = \ldots \]
En tenant compte des multiples quadrilatères qui sont des rectangles, on obtient :
\[ l = \abs{LI} = \abs{KJ} = \ldots \]
On définit aussi la distance :
\[ a = \abs{CL} = \abs{DK} = \ldots \]
4.1. Pythagore
Appliquons le théorème de Pythagore au triangle rectangle \(CLB\) :
\[ l^2 = a^2 + a^2 = 2 \ a^2 \]
Isolons \(a^2\) :
\[ a^2 = \frac{l^2}{2} \]
et prenons la racine carrée :
\[ a = \frac{l}{\sqrt{2}} \]
En multipliant le numérateur de le dénominateur de la fraction par \(\sqrt{2}\), il vient :
\[ a = \frac{l \ \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \]
et finalement :
\[ a = \frac{l \ \sqrt{2}}{2} \]
4.2. Longueur maximale de l’octogone
La longueur \(\mathscr{L}\) du segment \([C,H]\), qui représente aussi la longueur maximale de l’octogone, vaut :
\[ \mathscr{L} = a + l + a = \frac{l \ \sqrt{2}}{2} + l + \frac{l \ \sqrt{2}}{2} \]
ou encore :
\[ \mathscr{L} = l + 2 \cdot \frac{l \ \sqrt{2}}{2} = l + l \ \sqrt{2} \]
et finalement :
\[ \mathscr{L} = l \ (1 + \sqrt{2}) \]
Si on compare avec le nombre d’argent :
\[ \psi = 1 + \sqrt{2} \]
on voit que :
\[ \frac{\mathscr{L}}{l} = \psi \]
Le rapport entre la longueur maximale d’un octogone et la longueur de son côté est égal au nombre argent.
4.3. Tangente de \(67.5^\circ\)
Le triangle \(DGH\) est un triangle rectangle. On a donc par définition :
\[ \tan 67.5^\circ = \frac{\mathscr{L}}{l} = \frac{l \ (1 + \sqrt{2})}{l} \]
et finalement :
\[ \tan 67.5^\circ = 1 + \sqrt{2} \]
Autrement dit, cette tangente est égale au nombre d’argent :
\[ \tan 67.5^\circ = \psi \]
4.3.1. Tangente de \(22.5^\circ\)
On a :
\[ \tan 22.5^\circ = \unsur{\tan 67.5^\circ} = \unsur{\psi} \]
Par définition du nombre d’argent, on a \(1/\psi = \psi -2\) et :
\[ \tan 22.5^\circ = \psi - 2 \]