Eclats de vers : Matemat : Parallélisme
Table des matières
1. Euclide
1.1. Cinquième axiome
Soit deux droites \(a\) et \(b\), qui sont toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
On voit que les angles \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\) sont situés à l’intérieur des droites \(a\) et \(b\). On dit que ce sont des angles internes. On remarque que \(\alpha\) et \(\beta\) sont situés du même côté de \(c\), tandis que \(\gamma\) et \(\delta\) sont situés de l’autre côté.
L’axiome d’Euclide stipule que si la somme des angles internes \(\alpha\) et \(\beta\) est strictement inférieure à deux angles droits, c’est-à-dire à un angle plat :
\[ \alpha + \beta < 180^\circ \]
alors les droites \(a\) et \(b\) sont sécantes et leur point d’intersection se situe du même côté de \(c\) que les angles \(\alpha\) et \(\beta\).
Cette axiome est valide dans le cadre de la géométrie euclidienne, dont la géométrie plane fait partie.
1.2. Corollaire
Soit deux droites \(a\) et \(b\), qui sont toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Comme \(\alpha\) et \(\gamma\) forment ensemble un angle plat, on a :
\[ \alpha + \gamma = 180^\circ \]
ou encore :
\[ \alpha = 180^\circ - \gamma \]
Pareil pour \(\beta\) et \(\delta\) :
\[ \beta = 180^\circ - \delta \]
En sommant ces deux dernières équations, on obtient :
\[ \alpha + \beta = 360^\circ - \gamma - \delta \]
ou encore :
\[ \alpha + \beta = 360^\circ - (\gamma + \delta) \]
Si les angles internes \(\gamma\) et \(\delta\) forment ensemble un angle strictement plus grand que l’angle plat :
\[ \gamma + \delta > 180^\circ \]
on a :
\[ \alpha + \beta < 360^\circ - 180^\circ \]
et les angles \(\alpha\) et \(\beta\) vérifient alors la condition de l’axiome d’Euclide :
\[ \alpha + \beta < 180^\circ \]
Les droites \(a\) et \(b\) sont donc forcément sécantes.
La relation entre les quatre angles peut se réécrire :
\[ \gamma + \delta = 360^\circ - (\alpha + \beta) \]
Par conséquent, si les angles internes \(\alpha\) et \(\beta\) vérifient l’axiome d’Euclide :
\[ \alpha + \beta < 180^\circ \]
la somme des angles internes situés de l’åutre côté de \(c\) est strictement supérieure à 180° :
\[ \gamma + \delta > 180^\circ \]
Les deux relations ci-dessous sont donc équivalentes entre-elles, et impliquent que \(a\) et \(b\) sont sécantes.
1.3. Conclusion
Soit deux droites \(a\) et \(b\), qui sont toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\).
Si la somme des deux angles internes situés d’un même côté de \(c\) n'est pas égale à 180°, elle est alors :
- soit strictement inférieure à 180°, et l’axiome d’Euclide s’applique directement
- soit strictement supérieure à 180°, et les deux angles situés de l’autre côté de \(c\) vérifient l’axiome d’Euclide
Dans tous les cas, les deux droites \(a\) et \(b\) sont forcément sécantes.
La seule possibilité pour avoir deux droites \(a\) et \(b\) parallèles est donc que la somme des deux angles internes situés d’un même côté de \(c\) soit égale à 180°.
2. Deux droites parallèles et une sécante
2.1. Somme des angles
Soit deux droites parallèles \(a\) et \(b\), toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Si la somme des angles \(\alpha\) et \(\beta\) était distincte de 180°, l’axiome d’Euclide et son corollaire nous indique que \(a\) et \(b\) seraient sécantes. Comme \(a\) et \(b\) sont parallèles, ce cas de figure n’est pas possible et on a :
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
2.2. Sécante perpendiculaire
Soit deux droites parallèles \(a\) et \(b\), toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\), elle-même perpendiculaire à \(a\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Comme \(a\) et \(b\) sont parallèles, la somme des deux angles internes situés à droite de \(c\) vaut un angle plat :
\[ \alpha + 90^\circ = 180^\circ \]
On en déduit que :
\[ \alpha = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \]
La droite \(c\) est donc aussi perpendiculaire à \(b\).
Une perpendiculaire à une droite \(a\) est aussi perpendiculaire avec toutes les droites parallèles à \(a\).
2.3. Angles alternes-internes
Soit deux droites parallèles \(a\) et \(b\), toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Les angles \(\alpha\) et \(\delta\) sont dits alternes-internes. Il en va de même pour \(\beta\) et \(\gamma\).
Comme \(a\) et \(b\) sont parallèles, on doit avoir :
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
On remarque aussi que les angles \(\beta\) et \(\delta\) forment ensemble un angle plat :
\[ \beta + \delta = 180^\circ \]
En soustrayant la seconde équation de la première, on obtient :
\[ \alpha - \delta = 0 \]
c’est-à-dire :
\[ \alpha = \delta \]
ON montre par un raisonnement similaire que :
\[ \beta = \gamma \]
Deux angles alternes-internes sont de même amplitude.
2.4. Angles alternes-externes
Soit deux droites parallèles \(a\) et \(b\), toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Les angles \(\lambda\) et \(\omega\) sont dits alternes-externes. Il en va de même pour \(\mu\) et \(\theta\).
On remarque que les angles \(\lambda\) et \(\gamma\) sont opposés par le sommet. On a donc :
\[ \lambda = \gamma \]
Les angles \(\gamma\) et \(\beta\) sont alternes-internes :
\[ \gamma = \beta \]
Enfin, les angles \(\beta\) et \(\omega\) sont également opposés par le sommet :
\[ \beta = \omega \]
Par transitivité de l’égalité, on a finalement :
\[ \lambda = \omega \]
ON démontre par un raisonnement similaire que :
\[ \mu = \theta \]
Deux angles alternes-externes sont de même amplitude.
2.5. Angles correspondants
Soit deux droites parallèles \(a\) et \(b\), toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Les angles \(\alpha\) et \(\mu\) sont dits correspondants. Il en va de même pour :
- \(\beta\) et \(\lambda\)
- \(\gamma\) et \(\omega\)
- \(\delta\) et \(\theta\)
Les angles \(\alpha\) et \(\delta\) sont alternes-internes :
\[ \alpha = \delta \]
D’un autre côté, les angles \(\delta\) et \(\mu\) sont opposés par le sommet :
\[ \delta = \mu \]
On a donc :
\[ \alpha = \mu \]
On montre par un raisonnement similaire que :
\[ \beta = \lambda \]
\[ \gamma = \omega \]
\[ \delta = \theta \]
Deux angles correspondants sont de même amplitude.
2.6. Synthèse
Soit deux droites parallèles \(a\) et \(b\), toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\). Le schéma ci-dessous intègre tous les résultats obtenus jusqu’à présent :
On voit qu’il ne reste plus que deux angles, \(\alpha\) et \(\beta\), qui vérifient la relation :
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
3. Réciproque du cinquième axiome d’Euclide
3.1. Énoncé
Soit deux droites \(a\) et \(b\), qui sont toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Une conséquence directe du cinquième axiome d’Euclide est que, si \(a\) et \(b\) sont parallèles, la somme de \(\alpha\) et de \(\beta\) doit faire 180°.
La réciproque est-elle vraie ? La relation :
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
est-elle suffisante pour garantir que \(a\) et \(b\) sont parallèles ? Nous allons prouver par l’absurde que oui.
3.1.1. Démonstration
Faisons l’hypothèse que la somme de \(\alpha\) et \(\beta\) vaut 180° et supposons que \(a\) et \(b\) s’intersectent en un point \(P\). On peut alors construire une droite \(d\), parallèle à \(c\) et passant par \(P\), comme sur le schéma ci-dessous :
Comme \(c\) et \(d\) sont parallèles, nous pouvons placer sur le schéma les angles alternes-internes égaux à \(\alpha\) et à \(\beta\). Les angles \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) formant ensemble un angle plat, on a :
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
Si \(\gamma\) est un angle nul, les droites \(a\) et \(b\) doivent être confondues et sont donc parallèles. Dans le cas contraire, on a \(\gamma > 0\) et :
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
par hypothèse. On en conclut que :
\[ 180° = \alpha + \beta + \gamma > \alpha + \beta = 180^\circ \]
c’est-à-dire :
\[ 180° > 180^\circ \]
ce qui est manifestement une absurdité. Le point d’intersection \(P\) ne peut donc pas exister, et on a :
\[ a \cap b = \emptyset \]
La relation :
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
garantit que les droites \(a\) et \(b\) sont parallèles.
4. Conditions de parallélisme
4.1. Somme des angles
Soit deux droites \(a\) et \(b\), toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
La réciproque du cinquième d’axiome d’Euclide nous dit que si :
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
alors \(a\) et \(b\) sont parallèles.
4.2. Deux droites perpendiculaires à une troisième
Soit deux droites \(a\) et \(b\), toutes deux perpendiculaires à une troisième droite \(c\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Par perpendicularité, les deux angles internes situés à droite de \(c\) sont deux angles droits. leur somme vaut donc :
\[ 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
La réciproque du cinquième axiome d’Euclide s’applique donc, ce qui nous garantit que les droites \(a\) et \(b\) sont parallèles.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre-elles.
4.3. Angles alternes-internes
Soit deux droites \(a\) et \(b\), toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Si les angles alternes-internes \(\alpha\) et \(\gamma\) sont égaux :
\[ \alpha = \gamma \]
on a :
\[ \beta = 180^\circ - \gamma = 180^\circ - \alpha \]
c’est-à-dire :
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
On en déduit que les droites \(a\) et \(b\) sont parallèles.
Si deux angles alternes-internes sont égaux, les droites qui les délimitent sont parallèles.
4.4. Angles alternes-externes
Soit deux droites \(a\) et \(b\), toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Si les angles alternes-externes \(\lambda\) et \(\mu\) sont égaux :
\[ \lambda = \mu \]
les angles qui leurs sont opposés par le sommet le sont aussi :
\[ \alpha = \lambda = \mu = \beta \]
On a donc des angles alternes-internes \(\alpha\) et \(\beta\) égaux, ce qui signifie que les droites \(a\) et \(b\) sont parallèles.
Si deux angles alternes-externes sont égaux, les droites qui les délimitent sont parallèles.
4.5. Angles correspondants
Soit deux droites \(a\) et \(b\), toutes deux sécantes avec une troisième droite \(c\), comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Si les angles correspondants \(\alpha\) et \(\beta\) sont égaux :
\[ \alpha = \beta \]
les angles qui leurs sont opposés par le sommet le sont aussi et :
\[ \alpha = \beta = \gamma \]
On a donc des angles alternes-internes \(\alpha\) et \(\gamma\) égaux, ce qui signifie que les droites \(a\) et \(b\) sont parallèles.
Si deux angles correspondants sont égaux, les droites qui les délimitent sont parallèles.