Eclats de vers : Matemat : Périmètre du cercle

Nous avons tenu compte de la symétrie dans la notation des angles.

\[ \alpha = \frac{2 \ \pi}{n} \]

\[ \alpha = 2 \ \mu \]

\[ \mu = \frac{\alpha}{2} = \frac{2 \ \pi}{2 \ n} \]

\[ \mu = \frac{\pi}{n} \]

\[ p = \lim_{n \to \infty} 2 \ n \ r \ \sin\mu \]

\[ p = r \ \lim_{n \to \infty} 2 \ n \sin(\pi/n) \]

Quand \(r = 1\) :

\[ \lim_{n \to \infty} 2 \ n \sin(\pi/n) = 2 \ \pi \]

\[ p = r \ \lim_{n \to \infty} n \sin(\pi/n) = 2 \ \pi \ r \]

\[ \lim_{n \to \infty} 2 \ n \sin(\pi/n) = 2 \ \pi \]

\[ \lim_{n \to \infty} n \sin(\pi/n) = \pi \]

Considérons le cas d’un hexagone. On a \(n = 6\), un angle :

\[ \alpha = \frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{6} = 30^\circ \]

On a l’approximation de \(\pi\) :

\[ \pi \approx 6 \sin 30^\circ = 6 \cdot \unsur{2} = 3 \]

Le schéma ci-dessous représenté un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\), de rayon \(r\) et de diamètre \(d\) :

Le nombre pi, noté \(\pi\), se définit comme étant le rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre. Si \(p\) est le périmètre de \(\mathscr{C}\), on a donc :

\[ \pi = \frac{p}{d} \]

ou encore :

\[ p = \pi \ d \]

Comme le diamètre vaut deux fois le rayon \(r\) :

\[ d = 2 \ r \]

on en déduit la forme alternative :

\[ p = 2 \ \pi \ r \]

TODO : adapter

L’amplitude d’un angle, exprimée en radians, peut se définir comme le rapport entre :

• la longueur d’un arc de cercle
  • dont le centre est situé au sommet de l’angle
  • qui est délimité par les côtés de l’angle
• le rayon de ce même arc de cercle

Dans le schéma ci-dessus, le rayon de l’arc de cercle \(\arcdecercle{DE}\) vaut :

\[ \mathscr{R} = \abs{AD} \]

et sa longueur vaut :

\[ \mathscr{L} = \abs{\arcdecercle{AB}} \]

l’amplitude \(\alpha\) de l’angle \(\angleflex{BAC}\) vaut :

\[ \alpha = \frac{\mathscr{L}}{\mathscr{R}} \]

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\pi} \ \sin(\pi/n) = 1 \]

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n} = 1 \]