Eclats de vers : Matemat : Perpendicularité

Soit un point \(A\) et une droite \(d\). Traçons la construction géométrique ci-dessous :

Voici les étapes de cette construction :

1. ouvrir le compas d’un rayon \(r\) suffisamment grand pour qu’un cercle de centre \(A\) et de rayon \(r\) possède deux intersections avec \(d\)
2. tracer l’arc de cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(A\) et de rayon \(r\)
3. on note \(E\) et \(F\) les deux points d’intersections de la droite \(d\) avec l’arc de cercle \(\mathscr{C}\)
4. on trace \(P\) le point milieu du segment \([E,F]\)
5. on trace la droite \(p = (AP)\)

On remarque ensuite que les triangles \(APE\) et \(APF\) possèdent trois côtés de longueurs identiques :

• le côté commun \([A,P]\)
• les côtés \([A,E]\) et \([A,F]\) sont tous deux de longueur \(r\) par construction de l’arc de cercle \(\mathscr{C}\)
• les côtés \([E,P]\) et \([P,F]\) sont de même longueur par construction du point \(P\)

Par conséquent, les triangles \(APE\) et \(APF\) sont isométriques et leurs angles correspondants sont de même amplitude :

\[ \alpha = \beta \]

Comme ces deux angles forment ensemble un angle plat :

\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]

On a :

\[ 2 \ \alpha = 180^\circ \]

et finalement :

\[ \alpha = \beta = 90^\circ \]

La droite \(p\) est donc perpendiculaire à \(d\) et passe par \(A\). Ce résultat nous montre l’existence d’une telle droite.

Soit un point \(A\) et une droite \(d\). Nous avons établi qu’il existe au moins une droite perpendiculaire à \(d\) et passant par \(A\). Cette droite est-elle unique ? Supposons un instant qu’il y ait au moins deux de ces perpendiculaires qui passent par le point \(A\), disons \(f\) et \(g\) :

On a les intersections distinctes :

\[ f \cap d = \{ B \} \]

\[ g \cap d = \{ C \} \]

Les droites \(f\) et \(g\) ne sont donc pas confondues. Comme \(f\) et \(g\) sont perpendiculaires à \(d\), les angles \(\angleflex{CBA}\) et \(\angleflex{ACB}\) sont des angles droits. Leur somme vaut :

\[ \abs{\angleflex{CBA}} + \abs{\angleflex{ACB}} = 180^\circ \]

La somme des deux angles internes à \(f\) et \(g\) et situés du même côté de \(d\) vaut \(180^\circ\). La réciproque du cinquième axiome d’Euclide nous garantit alors que \(f\) et \(g\) sont parallèles. Comme ces droites ne sont pas confondues, on doit avoir :

\[ f \cap g = \emptyset \]

Mais le point \(A\) appartient aux deux droites, ce qui implique :

\[ A \in f \cap g \]

Cette intersection n’est donc pas vide :

\[ f \cap g \ne \emptyset \]

On a donc finalement :

\[ \emptyset = f \cap g \ne \emptyset \]

ce qui est manifestement une absurdité. On en conclut que notre hypothèse est invalide. Il existe donc au maximum une seule droite perpendiculaire à \(d\) et passant par \(A\).

Étant donné un point \(A\) et une droite \(d\), il existe une et une seule droite \(p\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \(d\).

Soit un point \(A\) et une droite \(d\). Nous avons montré qu’il existe une et une seule droite \(p\), perpendiculaire à la droite \(d\) et passant par le point \(A\) :

Il existe donc un et un seul point d’intersection \(P\) entre \(d\) et \(p\) :

\[ d \cap p = \{ P \} \]

Le point \(P\) est appelé la projection orthogonale de \(A\) sur \(d\). On la note :

\[ P = \projection(A,d) \]

Soit :

• le point \(A\)
• le segment \([B,C]\)
• la droite \(d\) qui prolonge le segment \([B,C]\)
• la projection orthogonale \(P\) du point \(A\) sur \(d\)

Si \(P \in [B,C]\), on a le schéma suivant :

On dit alors que \(P\) est la projection orthogonale de \(A\) sur le segment \([B,C]\) et on le note :

\[ P = \projection(A,[B,C]) \]

La distance entre un point \(A\) et une demi-droite \(f\) se définit comme étant la distance minimale entre \(A\) et tous les points de \(f\) :

\[ \distance(A,f) = \min_{X \in f} \abs{AX} \]

Soit :

• la demi-droite \(f\) d’origine \(O\)
• la droite \(d\) qui prolonge \(f\)
• la projection orthogonale \(P\) du point \(A\) sur \(d\), avec \(P \in f\)

Le schéma ci-dessous représente tous ces éléments :

La demi-droite \(f\) étant inclue dans \(d\), les propriétés du minimum nous donnent :

\[ \min_{X \in f} \abs{AX} \ge \min_{X \in d} \abs{AX} \]

Mais comme :

\[ \abs{AP} = \min_{X \in d} \abs{AX} \]

cette équation devient :

\[ \min_{X \in f} \abs{AX} \ge \abs{AP} \]

Comme le point \(P\) est dans \(f\), on a aussi :

\[ \min_{X \in f} \abs{AX} \le \abs{AP} \]

par définition du minimum. Ces deux dernières inégalités nous montrent que :

\[ \min_{X \in f} \abs{AX} = \abs{AP} \]

c’est-à-dire :

\[ \distance(A,f) = \abs{AP} \]

On a donc la même propriété que pour la distance entre un point et une droite.

Soit :

• la demi-droite \(f\) d’origine \(O\)
• la droite \(d\) qui prolonge \(f\)
• la projection orthogonale \(P\) du point \(A\) sur \(d\), avec \(P \notin f\)
  • la projection orthogonale de \(A\) sur la demi-droite \(f\) n’existe donc pas
• un point \(C \in f\)
• la droite \(p\), perpendiculaire à la droite \((AO)\) et passant par \(O\)
• le point \(I\), intersection entre \((AC)\) et \(p\)

Le schéma ci-dessous représente tous ces éléments :

Examinons tout d’abord le cas où \(C \ne O\). Comme \(P\) est en dehors de \(f\), l’angle formé par les demi-droites \(f\) et \([OA)\) est strictement supérieur à \(90^\circ\). Le point \(I\) se situe donc sur le segment \(]A,C[\). Les points \(A\), \(I\) et \(C\) étant alignés, on a :

\[ \abs{AC} = \abs{AI} + \abs{IC} \]

Les points \(I\) et \(C\) étant distincts, leur distance est strictement positive :

\[ \abs{IC} > 0 \]

On en conclut que :

\[ \abs{AC} > \abs{AI} \]

Par construction, \(A\) est sur la droite \((AO)\), elle-même perpendiculaire à \(p\) et :

\[ O = (AO) \cap p \]

Le point \(O\) est la projection orthogonale de \(A\) sur \(p\) et :

\[ \abs{AX} \ge \abs{AO} \]

pour tout \(X \in p\). Le choix \(X = I \in p\) nous donne :

\[ \abs{AI} \ge \abs{AO} \]

On a finalement :

\[ \abs{AC} > \abs{AI} \ge \abs{AO} \]

c’est-à-dire :

\[ \abs{AC} > \abs{AO} \]

Examinons à présent le cas où \(C = O \in f\). On a évidemment :

\[ \abs{AO} = \abs{AC} \]

Le minimum est donc atteint au point \(O\). On déduit de ces deux résultats que :

\[ \min_{C \in f} \abs{AC} = \abs{AO} \]

c’est-à-dire :

\[ \distance(A,f) = \abs{AO} \]

Lorsque la projection orthogonale d’un point sur une demi-droite n’existe pas, la distance entre le point et la demi-droite est égale à la distance entre le point et l’origine de la demi-droite.

Soit deux droites \(d\) et \(f\), distinctes et parallèles. Choisissons deux points \(A\) et \(B\) sur la droite \(d\), et traçons :

• la droite \(g\), perpendiculaire à \(f\) et passant par \(A\)
• la droite \(h\), perpendiculaire à \(f\) et passant par \(B\)
• le point \(C\), intersection de \(g\) et \(f\) et projection orthogonale de \(A\) sur \(f\)
• le point \(D\), intersection de \(h\) et \(f\) et projection orthogonale de \(B\) sur \(f\)

Le schéma ci-dessous illustre cette construction géométrique :

Comme \(d\) et \(f\) sont parallèles, \(g\) et \(h\) sont également perpendiculaires à \(d\), comme indiqué dans le schéma.

Nous avons aussi tenu compte, dans la notation des angles, du parallélisme de \(d\) et \(f\), qui implique une égalité des angles alternes-internes.

Les triangles rectangles \(ACD\) et \(ADB\) ont un angle \(\alpha\) de même amplitude et une hypothénuse \([A,D]\) commune. Ce sont donc des triangles isométriques et :

\[ \abs{AC} = \abs{BD} \]

La distance entre un point de \(d\) et la projection orthogonale de ce point sur \(f\) ne dépend pas du point de \(d\) choisi.

La distance entre deux droites parallèles peut donc être définie comme la distance entre un point quelconque de la première droite et sa projection orthogonale sur la seconde droite :

\[ \distance(d,f) = \abs{AC} \]

Pour tout point \(A \in d\), cette distance est donc minimale parmi tous les points de \(f\) :

\[ \distance(d,f) = \min_{X \in f} \abs{AX} \]

La distance entre deux segments parallèles \([A,B]\) et \([C,D]\) est tout simplement défini comme étant égal à la distance entre les droites \((AB)\) et \((CD)\) qui les prolongent.

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\), un point \(A \in \mathscr{C}\) et une droite \(d\), perpendiculaire au rayon \([O,A]\) et passant par \(A\) :

Le rayon \([O,A]\) est perpendiculaire à \(d\) et passe par \(O\). Le point \(A\) est donc la projection orthogonale de \(O\) sur \(d\). Par conséquent, \(A\) est l’unique point qui minimise la distance avec \(O\) parmi tous les points \(B \in d\) :

\[ \abs{OA} = \min_{B \in d} \abs{OB} \]

On a donc :

\[ \abs{OB} \ge \abs{OA} = r \]

pour tout point \(B\) appartenant à la droite \(d\). Lorsque \(B\) est distinct de \(A\), cette inégalité est stricte par unicité du minimum :

\[ \abs{OB} > \abs{OA} = r \]

Tous les points \(B \in d\) distincts de \(A\) sont donc situés en dehors du cercle \(\mathscr{C}\). Le point \(A\) est donc l’unique point d’intersection entre \(d\) et \(\mathscr{C}\) :

\[ d \cap \mathscr{C} = \{ A \} \]

Par définition, la droite \(d\) est tangente au cercle \(\mathscr{C}\) au point \(A\).

Pour construire une tangente à un cercle, il suffit de tracer une perpendiculaire à un rayon du cercle.

Soit un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\), un point \(A \in \mathscr{C}\) et une droite \(t\) tangente au cercle \(\mathscr{C}\) au point \(A\) :

Par définition du cercle, le point \(A\) est à une distance \(r\) du centre \(O\) :

\[ \abs{OA} = r \]

Supposons qu’il existe un autre point \(E \in t\) qui soit sur le cercle :

\[ \abs{OE} = r \]

Ces deux points appartiendraient alors simultanément à la droite \(t\) et au cercle :

\[ \{ A, E \} \subseteq t \cap \mathscr{C} \]

Il y aurait donc au moins deux points d’intersection entre \(t\) et le cercle \(\mathscr{C}\), et la droite \(t\) ne pourrait pas être une tangente au cercle, ce qui contredit l’hypothèse. Supposons à présent qu’il existe un point \(H \in t\) qui soit strictement à l’intérieur du cercle :

\[ \abs{OH} < r \]

La seule solution pour que cette situation se produise est que la droite \(t\) rentre dans le cercle au point \(A\) et en ressorte à une autre point \(I \in t\) :

Il y aurait alors deux points d’intersection entre \(t\) et le cercle \(\mathscr{C}\) :

\[ t \cap \mathscr{C} = \{ A, I \} \]

La droite \(t\) ne pourrait donc pas être une tangente au cercle, ce qui contredit l’hypothèse.

Par conséquent, le caractère de tangente de \(t\) en \(A\) implique que tous les points \(B \in t\) distincts de \(A\) doivent se situer strictement en dehors du cercle. On a donc l’inégalité stricte :

\[ \abs{OB} > r = \abs{OA} \]

Le point \(A \in t\) minimise donc la distance avec le centre \(O\) sur la droite \(t\) :

\[ \abs{OA} = \min_{B \in t} \abs{OB} \]

Par unicité du minimum, \(A\) est la projection orthogonale de \(O\) sur la droite \(t\), ce qui implique que le rayon \([O,A]\) doit être perpendiculaire à \(t\) :

\[ [O,A] \perp t \]

Il existe une et une seule tangente au cercle \(\mathscr{C}(O,r)\) au point \(A\) : la droite \(t\), qui passe par \(A\) et est perpendiculaire au rayon \([O,A]\).