Eclats de vers : Matemat : Polygones
Table des matières
1. Définition
Soit un nombre naturel \(n\).
Un polygone à \(n\) côtés est une figure géométrique délimitée par \(n\) segments reliant \(n\) points pour former un circuit fermé. Chaque point du circuit est appelé sommet du polygone, tandis que chaque segment est appelé côté du polygone.
Le schéma ci-dessous représente un exemple de polygone à sept côtés de sommets \(P_1\), \(P_2\), \(\ldots\), \(P_7\) :
Les côtés sont :
\[ [P_1,P_2] \qquad \qquad \qquad [P_2,P_3] \qquad \qquad \qquad [P_3,P_4] \qquad \qquad \qquad [P_4,P_5] \]
\[ [P_5,P_6] \qquad \qquad \qquad [P_6,P_7] \qquad \qquad \qquad [P_7,P_1] \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \]
On définit généralement un polygone par la liste de ces sommets. Le polygone du schéma ci-dessus est appelé polygone \(P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 P_7\).
2. Nomenclature
Les polygones les plus courants portent un nom. Nous avons déjà rencontré le triangle, qui n’est rien d’autre qu’un polygone à trois côtés, ainsi que le quadrilatère, polygone à quatre côtés. En voici quelques autres :
| Nom | Nombre de côtés |
|---|---|
| triangle | 3 |
| quadrilatère | 4 |
| pentagone | 5 |
| hexagone | 6 |
| heptagone | 7 |
| octogone | 8 |
| ennéagone | 9 |
| décagone | 10 |
| hendécagone | 11 |
| dodécagone | 12 |
3. Diagonales
3.1. Définition
Une diagonale d’un polygone \(\mathcal{P}\) est un segment obtenu en reliant deux sommets non adjacents de \(\mathcal{P}\).
Par exemple, dans le schéma ci-dessous, les segments \([P_1,P_3]\) et \([P_3,P_7]\) sont des diagonales du polygone \(P_1 P_2 \ldots P_7\) :
3.2. Classification
3.2.1. Introduction
Les diagonales d’un polygone peuvent se classer en fonction du nombre de sommets qu’elles contournent. Ce nombre peut dépendre du sens de rotation choisi pour parcourir les sommets. Aussi, afin d’éviter toute ambiguité, on ne retient que le nombre minimal de sommets contournés.
Soit un polygone \(\mathcal{P}_n\) à \(n\) côtés et un nombre naturel \(k\). Une $k$-diagonale de \(\mathcal{P}_n\) est une diagonale qui contourne \(k\) sommets du polygone, en choisissant le sens de rotation pour obtenir un nombre \(k\) minimal.
Examinons le polygone \(P_1 P_2 \ldots P_7\) ci-dessous :
Lorsqu’on parcourt les sommets de \(P_1 P_2 \ldots P_7\) dans le sens anti-horlogique, on constate que :
- la diagonale \([P_1,P_3]\) contourne le sommet \(P_2\)
- la diagonale \([P_1,P_4]\) contourne deux sommets : \(P_2\) et \(P_3\)
- la diagonale \([P_1,P_5]\) contourne trois sommets : \(P_2\), \(P_3\) et \(P_4\)
- la diagonale \([P_1,P_6]\) contourne quatre sommets : \(P_2\), \(P_3\), \(P_4\) et \(P_5\)
Dans le sens horlogique, on observe la situation inverse :
- la diagonale \([P_1,P_3]\) contourne quatre sommets : \(P_2\), \(P_3\), \(P_4\) et \(P_5\)
- la diagonale \([P_1,P_4]\) contourne trois sommets : \(P_2\), \(P_3\) et \(P_4\)
- la diagonale \([P_1,P_5]\) contourne deux sommets : \(P_2\) et \(P_3\)
- la diagonale \([P_1,P_6]\) contourne le sommet \(P_2\)
En choisissant à chaque fois le sens de rotation qui produit le nombre minimal de sommets contournés, on constate que :
- \([P_1,P_3]\) est une $1$-diagonale
- \([P_1,P_4]\) est une $2$-diagonale
- \([P_1,P_5]\) est une $2$-diagonale
- \([P_1,P_6]\) est une $1$-diagonale
3.2.2. Nomenclature
Dans la suite d’ouvrages mathématiques de ce site, j’utilise diagonale de classe \(k\) comme synonyme de $k$-diagonale.
Une diagonale courte est une $1$-diagonale.
Une diagonale longue est une $L$-diagonale avec \(L > 1\).
3.2.3. Sommets intermédiaires
Un sommet contourné par une diagonale est aussi appelé sommet intermédiaire de la diagonale.
Examinons le polygone \(P_1 P_2 \ldots P_7\) ci-dessous :
On observe que :
- le point \(P_2\) est le sommet intermédiaire de la $1$-diagonale \([P_1,P_3]\)
- les points \(P_2\) et \(P_3\) sont les sommets intermédiaires de la $2$-diagonale \([P_1,P_4]\)
- les points \(P_6\) et \(P_7\) sont les sommets intermédiaires de la $2$-diagonale \([P_1,P_5]\)
- le point \(P_7\) est le sommet intermédiaire de la $1$-diagonale \([P_1,P_6]\)
3.2.4. Bornes
3.2.4.1. Minimum
Soit une $k$-diagonale \(d\) d’un polygone à \(n\) côtés. Par définition de la diagonale, il nous faut au minimum un sommet contourné :
\[ k \ge 1 \]
3.2.4.2. Nombre pair de côtés
Considérons le cas où \(n\) est pair. Le nombre \(k\) maximal est atteint lorsque la diagonale \(d\) sépare les points en deux groupes de tailles égales. Si on décompte les deux points occupés par \(d\), il reste \(n - 2\) sommets contournés au total. Posons :
\[ p = n \diventiere 2 \]
La division euclidienne de \(n\) par \(2\) s’écrit :
\[ n = 2 \ p \]
On voit que :
\[ n - 2 = 2 \ p - 2 = 2 \ (p - 1) \]
Cette relation peut s’interpréter comme la décomposition euclidienne de \(n - 2\) par \(2\). Le reste étant nul, le nombre \(n - 2\) est aussi un nombre pair, dont le quotient vaut :
\[ q = p - 1 = n \diventiere 2 - 1 \]
On peut donc diviser les \(n - 2\) sommets contournés en deux groupes de taille \(q\). Cette valeur est donc le maximum pour \(k\) :
\[ k \le n \diventiere 2 - 1 \]
Par exemple, avec \(n = 6\) et le polygone \(P_1 P_2 \ldots P_6\), la diagonale qui maximise \(k\) est la $2$-diagonale \([P_1,P_4]\) :
On a bien :
\[ k \le 6 \diventiere 2 - 1 = 3 - 1 = 2 \]
3.2.4.3. Nombre impair de côtés
Si \(n\) est impair, le nombre \(k\) maximal est atteint lorsque la diagonale \(d\) sépare les points en deux groupes de tailles plus ou moins égales. Le mieux que l’on puisse faire alors est d’avoir un groupe qui compte un sommet de plus que l’autre. Posons :
\[ p = n \diventiere 2 \]
Comme le reste vaut \(1\), la division euclidienne de \(n\) par \(2\) s’écrit :
\[ n = 2 \ p + 1 \]
Soit :
\[ q = p - 1 \]
On a \(p = q + 1\) et :
\[ n = 2 \ (q + 1) + 1 = 2 \ q + 3 \]
On en déduit que :
\[ n - 2 = 2 \ q + 1 = q + (q + 1) \]
On peut donc séparer les \(n - 2\) points contournés en :
- un groupe de taille \(q\)
- un groupe de taille \(q + 1\)
La taille minimale de ces deux groupes vaut :
\[ q = n \diventiere 2 - 1 \]
Cette valeur correspond au maximum pour \(k\) :
\[ k \le n \diventiere 2 - 1 \]
Par exemple, avec \(n = 7\) et le polygone \(P_1 P_2 \ldots P_7\), les diagonales qui maximisent \(k\) sont les $2$-diagonales \([P_1,P_4]\) et \([P_1,P_5]\) :
On a bien :
\[ k \le 7 \diventiere 2 - 1 = 3 - 1 = 2 \]
3.2.4.4. Conclusion
Dans tous les cas, on a :
\[ 1 \le k \le n \diventiere 2 - 1 \]
4. Somme des angles
4.1. Par une décomposition en triangles
On obtient la smme des angles d’un polygone générique à \(n\) côtés en le décomposant en triangles. Il y a toutefois quelques précautions à prendre :
- les triangles doivent former une mosaïque qui recouvrent intégralement
le polygone
- les triangles ne peuvent donc pas se chevaucher
- on ne peut utiliser que les sommets du polygone
- les côtés des triangles sont donc soit des côtés du polygones, soit des diagonales
- les côtés des triangles ne peuvent pas se croiser
- on ne peut pas faire apparaître de nouveaux sommets sans ajouter de nouveaux angles et obtenir un résultat incorrect
Le schéma ci-dessous donne un exemple de partition d’un polygone en triangles :
On voit que le polygone compte six côtés (c’est un hexagone) et peut se diviser en quatre triangles. On remarque aussi que la somme des angles de tous les triangles est égal à la somme des angles internes du polygone.
En général, un polygone \(\mathcal{P}_n\) à \(n\) côtés peut se diviser en \(n - 2\) triangles. Comme la somme des angles de chaque triangle vaut \(\pi = 180^\circ\), la somme des angles de \(\mathcal{P}_n\) vaut :
\[ (n - 2) \cdot \pi = (n - 2) \cdot 180^\circ \]
4.2. Par un parcours autour du polygone
Ce raisonnement est inspiré de cette vidéo de Micmath.
Imaginons un personnage fictif qui effectue un tour complet autour du polygone suivant :
Ce parcours se fait dans le sens anti-horlogique, en partant du point \(P_1\), avec une direction initiale donnée par le vecteur \(\vec{u}_1\). Notre personnage tourne à chaque sommet \(P_i\) d’un angle \(\alpha_i\). l’angle total de sa rotation vaut donc :
\[ S = \sum_{i=1}^n \alpha_i \]
où \(n\) est le nombre de côtés. Mais comme il effectue un tour complet, on a aussi :
\[ S = 2 \ \pi \]
On en déduit que :
\[ \sum_{i=1}^n \alpha_i = 2 \ \pi \]
À chaque sommet \(i\), les angles \(\alpha_i\) et \(\beta_i\) forment ensemble un angle plat :
\[ \alpha_i + \beta_i = \pi \]
On a donc :
\[ \alpha_i = \pi - \beta_i \]
La relation sur la somme des angles devient :
\[ \sum_{i=1}^n (\pi - \beta_i) = 2 \ \pi \]
ou encore :
\[ \sum_{i=1}^n \pi - \sum_{i=1}^n \beta_i = 2 \ \pi \]
La constante \(\pi\) ne dépendant pas de \(i\), on a simplement :
\[ n \ \pi - \sum_{i=1}^n \beta_i = 2 \ \pi \]
Isolons la somme des angles internes du polygone :
\[ \sum_{i=1}^n \beta_i = n \ \pi - 2 \ \pi \]
Mettons en évidence \(\pi\) :
\[ \sum_{i=1}^n \beta_i = (n - 2) \ \pi \]
La somme dans le membre de gauche n’est rien d’autre que la somme des angles internes du polygone. Nous avons donc montré que cette somme vaut :
\[ \sum_{i=1}^n \beta_i = (n - 2) \cdot \pi = (n - 2) \cdot 180^\circ \]
4.3. Polygones courants
On a en particulier le tableau suivant :
| Polygone | Nombre de côtés | Somme des angles |
|---|---|---|
| quadrilatère | 4 | \(360^\circ\) |
| pentagone | 5 | \(540^\circ\) |
| hexagone | 6 | \(720^\circ\) |
| octogone | 8 | \(1080^\circ\) |
| décagone | 10 | \(1440^\circ\) |
| dodécagone | 12 | \(1800^\circ\) |
5. Polygone et cercle
5.1. Cercle circonscrit
On dit que le cercle \(\mathscr{C}\) est circonscrit au polygone \(\mathcal{P}\), ou que \(\mathcal{P}\) est inscrit dans \(\mathscr{C}\), si tous les sommets de \(\mathcal{P}\) appartiennent à \(\mathscr{C}\).
5.2. Cercle inscrit
On dit que le cercle \(\mathscr{C}\) est inscrit au polygone \(\mathcal{P}\) si tous les côtés de \(\mathcal{P}\) sont tangents à \(\mathscr{C}\).