Eclats de vers : Matemat : Polynômes du second degré
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:optimisationlibre}
1. Extrémum
Soit \(a,b,c \in \setR\) avec \(a \ne 0\). Soit le polynôme du second degré, ou polynôme de degré \(2\) défini par :
\[ p(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c \]
pour tout \(x \in \setR\). Nous allons rechercher un éventuel extremum \(\gamma\) de ce polynôme. La dérivée première s'écrit :
\[ \OD{p}{x}(x) = 2 \cdot a \cdot x + b \]
La condition :
\[ \OD{p}{x}(\gamma) = 2 \cdot a \cdot \gamma + b = 0 \]
nous donne :
\[ \gamma = -\frac{b}{2a} \]
La dérivée seconde est donnée par :
\[ \OOD{p}{x}(x) = 2 \cdot a \]
1.1. Minimum
Si \(a \strictsuperieur 0\), la dérivée seconde est toujours positive et \(\gamma\) minimise localement \(p\). On vérifie que \(p\) est strictement convexe, et on en déduit que \(\gamma\) est l'unique réel qui minimise globalement \(p\).
1.2. Maximum
Si \(a \strictinferieur 0\), la dérivée seconde est toujours négative et \(\gamma\) maximise localement \(p\). On vérifie que \(p\) est strictement concave, et on en déduit que \(\gamma\) est l'unique réel qui maximise globalement \(p\).
2. Racines de l’équation du second degré
Soit \(a,b,c \in \setR\) avec \(a \ne 0\). Soit le polynôme du second degré, ou polynôme de degré \(2\) défini par :
\[ p(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c \]
On pose :
\[ \gamma = -\frac{b}{2a} \]
pour l’argument de l’extremum de \(p\). Intéressons-nous à l'écart par rapport à \(\gamma\) :
\[ \delta = x - \gamma = x + \frac{b}{2 a} \]
On a donc :
\[ x = \gamma + \delta = - \frac{b}{2a} + \delta \]
et :
\[ x^2 = (\gamma + \delta)^2 = \delta^2 - \frac{\delta \cdot b}{a} + \frac{b^2}{4 \cdot a^2} \]
En injectant ces relations dans la définition du polynôme, on obtient :
\begin{align*} p(\gamma + \delta) &= a \cdot \delta^2 - b \cdot \delta + \frac{b^2}{4 \cdot a} + b \cdot \delta - \frac{b^2}{2 \cdot a} + c \\ &= a \cdot \delta^2 - \frac{b^2}{4 \cdot a} + c \end{align*}Cette expression nous permet d'obtenir les racines d'un polynôme du second degré. La condition :
\[ p(\delta + \gamma) = 0 \]
nous donne :
\[ \delta^2 = \frac{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}{4 \cdot a^2} \]
équation qui admet deux solutions \(\delta_+\) et \(\delta_-\) :
\[ \delta_+ = \frac{\sqrt{ b^2 - 4 \cdot a \cdot c }}{2 \cdot a} \]
\[ \delta_- = - \frac{\sqrt{ b^2 - 4 \cdot a \cdot c }}{2 \cdot a} \]
Nous avons deux racines \(x_+\) et \(x_-\) correspondantes :
\[ x_+ = \gamma + \delta_+ \]
\[ x_- = \gamma + \delta_- \]
c’est-à-dire :
\[ x_+ = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \]
\[ x_- = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \]
avec :
\[ p(x_+) = p(x_-) = 0 \]
Les expressions de \(x_+\) et \(x_-\) permettent donc de résoudre l’équation du second degré en \(x\) :
\[ a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\]