Eclats de vers : Matemat : Polynômes et exponentielles
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:polyexpo}
1. Chebyshev
Les polynômes de Chebyshev \(T_n\) sont défini par :
\( T_n : x\mapsto\cos(n \arccos(x) ) \)
\( T_n(\cos(\theta)) = \cos(n \theta) \)
Il est clair que :
\( T_0(x) = 1 \)
\( T_1(x) = x \)
Les propriétés des fonctions trigonométriques :
\( \cos[(n+m)\theta]= \cos[n\theta]\cos[m\theta]+\sin[n\theta]\sin[m\theta] \)
\( \cos[(n-m)\theta]= \cos[n\theta]\cos[m\theta]-\sin[n\theta]\sin[m\theta] \)
nous montrent que :
\[T_{n+m}(x) + T_{n-m}(x) = 2 T_n(x) T_m(x)\]
On en déduit entre autre que :
\[T_{n+1}(x) + T_{n-1}(x) = 2 x T_n(x)\]
Les fonctions \(T_n\) sont donc des polynômes. Comme :
\[T_n \left[ \cos\left(\frac{2k+1}{2n}\right) \right] = 0\]
les racines sont données par :
\[x_k = \cos\left(\frac{2k+1}{2n}\right)\]
pour \(k=0,1,...,n-1\). On déduit aussi la propriété suivante de la définition :
\[(T_n \circ T_m)(x) = T_{m \cdot n}(x) = (T_m \circ T_n)(x)\]
Nous allons voir que les \(T_n\) sont orthogonaux moyennant un certain poids. Si \(m = n = 0\), il est clair que :
\[\int_0^\pi T_0(\cos(\theta)) T_0(\cos(\theta)) d\theta = \int_0^\pi d\theta = \pi\]
Si \(m, n \ne 0\), on a :
\( \int_0^\pi T_m(\cos(\theta)) T_n(\cos(\theta)) d\theta = \int_0^\pi \cos(m\theta) \cos(n\theta) d\theta \)
\( \int_0^\pi T_m(\cos(\theta)) T_n(\cos(\theta)) d\theta = \unsur{2} \int_0^\pi \cos[(m+n)\theta] d\theta + \unsur{2} \int_0^\pi \cos[(m-n)\theta] d\theta \)
Si \(m = n\), on a alors :
\[\int_0^\pi T_m(\cos(\theta)) T_n(\cos(\theta)) d\theta = \unsur{2n} [\sin(2 n \pi) - \sin(0)] + \frac{\pi}{2}\]
La première intégrale s'annule donc par périodicité de la fonction \(\sin\). A présent, si \(m \ne n\), on a :
\( \int_0^\pi T_m(\cos(\theta)) T_n(\cos(\theta)) d\theta = \)
\( \unsur{2(m+n)} [\sin[(m+n)\pi] - \sin(0)] + \)
\( \unsur{2(m-n)} [\sin[(m-n)\pi] - \sin(0)] = 0 \)
Rassemblant ces résultats, on obtient :
\( ∫0^π Tm(cosθ) Tn(cosθ) dθ =
\begin{cases} \pi & \mbox{si } m = 0 \\ \pi/2 & \mbox{si } m = n \ne 0 \\ 0 & \mbox{si } m \ne n \end{cases}\)
Le changement de variable \(x = \cos(\theta)\),
\( dx = -\sin(\theta) d\theta \)
\( d\theta = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \)
nous donne :
\[\int_0^\pi T_m(\cos\theta) T_n(\cos\theta) d\theta = \int_{-1}^1 \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx\]
On en déduit que :
\[\int_{-1}^1 \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \delta_{mn} \frac{\pi}{2} (1+\delta_{m,0})\]
pour tout \(m,n\in\setN\).
2. Hermite
Les polynômes de Hermite sont orthogonaux pour le produit scalaire :
\[\int_{-\infty}^{+\infty} H_n(x) H_m(x) \exp(-x^2) dx = 2^n n ! \sqrt{\pi} \delta_{mn}\]
Ils obéissent à la récurrence :
\( H_0(x) = 1 \)
\( H_1(x) = 2 x \)
\( H_{n+1}(x) = 2 x H_n(x) - 2 n H_{n-1}(x) \)
\( \)
3. Laguerre
Les polynômes de Laguerre sont orthogonaux pour le produit scalaire :
\[\int_{0}^{+\infty} L_n(x) L_m(x) \exp(-x) dx = \delta_{mn}\]
Ils obéissent à la récurrence :
\( L_0(x) = 1 \)
\( L_1(x) = 1-x \)
\( (n+1) L_{n+1}(x) = (2 n + 1 - x) L_n(x) - n L_{n-1}(x) \)