Eclats de vers : Matemat : Progressions matricielles
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:progressionsMatricielles}
1. Introduction
Ici, \(\corps\) n'est plus un corps mais l'anneau des matrices \(X\) de taille \((N,N)\). On dit que \(p : \matrice(\corps,N,N) \mapsto \matrice(\corps,N,N)\) est un polynôme matriciel si il existe \(a_0,...,a_n \in \corps\) tels que :
\[p(X) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot X^i\]
pour tout \(X \in \matrice(\corps,N,N)\).
2. Progression géométrique
Soit une matrice carréé \(A \in \matrice(\corps, n, n)\).
\[G_N = \sum_{k = 0}^N A^k = I + A + A^2 + ... + A^N\]
2.1. Forme gauche
\[G_N = I + A \cdot (I + A + ... + A^N) - A^{N + 1}\]
\[G_N = I + A \cdot G_N - A^{N + 1}\]
\[(I - A) \cdot G_N = I - A^{N + 1}\]
\[(I - A) \cdot \sum_{k = 0}^N A^k = I - A^{N + 1}\]
2.2. Forme droite
\[G_N = I + (I + A + ... + A^N) \cdot A - A^{N + 1}\]
\[G_N = I + G_N \cdot A - A^{N + 1}\]
\[G_N \cdot (I - A) = I - A^{N + 1}\]
\[\sum_{k = 0}^N A^k \cdot (I - A) = I - A^{N + 1}\]
2.3. Inversible
\[\sum_{k = 0}^N A^k = (I - A)^{-1} \cdot (I - A^{N + 1})\]
\[\sum_{k = 0}^N A^k = (I - A^{N + 1}) \cdot (I - A)^{-1}\]