Eclats de vers : Matemat : Produit cartésien
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:produitCartesien}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles
2. Définition
Le produit cartésien \(\times\) de deux ensembles \(A\) et \(B\) permet de construire des ensembles contenant des couples d'éléments \((x,y)\) :
\[A \times B = \{ (x,y) : x \in A \ \text{ et } \ y \in B \}\]
Les éléments \(x\) et \(y\) sont appelée composantes du couple \((x,y)\).
3. Tuple
Un n-tuple est une association d’éléments \((x_1,x_2,...,x_n)\) formés d'éléments des ensembles \(A_1, A_2, ..., A_n\). Il s’agit donc d’un élément du produit cartésien de ces ensembles.
Le produit cartésien entre \(n\) ensembles \(A_i\) peut donc s’écrire comme un ensemble de n-tuples :
\[A_1 \times A_2 \times ... \times A_n = \{ (x_1,x_2,...,x_n) : x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, ..., x_n \in A_n \}\]
Les éléments \(x_1,x_2,...,x_n\) sont appelés composantes du tuple \((x_1,x_2,...,x_n)\)
4. Égalité
On dit que les deux tuples :
\[x = (x_1,x_2,...,x_n) \in A_1 \times A_2 \times ... \times A_n\]
et :
\[y = (y_1,y_2,...,y_n) \in A_1 \times A_2 \times ... \times A_n\]
sont égaux et on le note :
\[(x_1,x_2,...,x_n) = (y_1,y_2,...,y_n)\]
ou plus simplement :
\[x = y\]
si et seulement si toutes leurs composantes sont identiques :
\[x_i = y_i\]
pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).
4.1. Remarque
Dans le cadre des tuples, l'ordre compte :
\[(a,b) \ne (b,a)\]
ainsi que le nombre d'apparitions d'un élément :
\[(a,a,b) \ne (a,b)\]
5. Puissance
On note \(A^n\) l'ensemble des tuples composés de \(n\) éléments de \(A\) :
\[A^n = \{ (x_1,x_2,...,x_n) : x_1,x_2,...,x_n \in A \}\]
Un exemple courant :
\[A^2 = A \times A\]