Eclats de vers : Matemat : Propriétés des dérivées ordinaires

Soit deux variables \(x\) et \(y\) reliées par la bijection \(f\) comme suit :

\[ y = f(x) \]

La relation des accroissements infinitésimaux nous donne :

\[ dy = f'(x) \ dx \]

Isolons \(dx\) :

\[ dx = \frac{dy}{f'(x)} \]

Comme \(f\) est inversible, on a aussi :

\[ x = f^{-1}(y) \]

et :

\[ dx = (f^{-1})'(y) \ dy \]

Par comparaison, on en déduit que :

\[ (f^{-1})'(y) = \unsur{f'(x)} \]