Eclats de vers : Matemat : Quadrilatères
Table des matières
1. Introduction
1.1. Définition
Un quadrilatère est une figure géométrique délimitée par quatre segments reliant quatre points pour former un circuit fermé. Chaque point du circuit est appelé sommet du quadrilatère, tandis que chaque segment est appelé côté du quadrilatère.
Le schéma ci-dessus représente un exemple de quadrilatère de sommets \(A\), \(B\) et \(C\) délimité par les côtés :
\[ a = [A,B] \]
\[ b = [B,C] \]
\[ c = [C,D] \]
\[ d = [D,A] \]
On définit généralement un quadrilatère par la liste de ces sommets. Le quadrilatère du schéma ci-dessus est appelé quadrilatère \(ABCD\).
1.2. Diagonales
Une diagonale d’un quadrilatère \(\mathcal{Q}\) est un segment obtenu en reliant deux sommets non adjacents de \(\mathcal{Q}\).
Par exemple, dans le schéma ci-dessous, les segments \([A,C]\) et \([B,D]\) sont les diagonales du quadrilatère \(ABCD\) :
2. Somme des angles d’un quadrilatère
Un quadrilatère peut toujours se subdiviser en deux triangles : il suffit de tracer une de ses deux diagonales, comme sur le schéma ci-dessous :
On remarque que la somme des angles des deux triangles est égal à la somme des angles du quadrilatère. Comme la somme des angles de chaque triangle vaut \(180^\circ\), la somme des angles du quadrilatère vaut :
\[ 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ \]
La somme des angles d’un quadrilatère vaut donc 360°, c’est-à-dire un angle plein.
3. Trapèze
3.1. Définition
Un trapèze est un quadrilatère qui possède au moins une paire de côtés opposés parallèles.
Le schéma ci-dessous représente un trapèze \(ABCD\), où les côtés \([A,B]\) et \([C,D]\) sont parallèles :
4. Parallélogramme
4.1. Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui possède deux paires de côtés opposés parallèles.
Le schéma ci-dessous représente un parallélogramme \(ABCD\) :
On a :
\[ [ A,B ] \parallel [ D,C ] \]
\[ [ A,D ] \parallel [ B,C ] \]
4.2. Côtés
Le schéma ci-dessous représente un parallélogramme \(ABCD\) et sa diagonale \([A,C]\) qui le divise en deux triangles :
Comme \([A,B]\) est parallèle à \([C,D]\), les angles alternes-internes \(\alpha\) et \(\beta\) sont égaux :
\[ \alpha = \beta \]
Comme \([A,D]\) est parallèle à \([B,C]\), les angles alternes-internes \(\gamma\) et \(\delta\) sont égaux :
\[ \gamma = \delta \]
Les triangles \(ABC\) et \(ACD\) ont donc deux angles de mêmes amplitudes autour d’un côté commun \([A,C]\) qui est forcément de même longueur. Ces triangles sont donc isométriques. On en déduit que leurs côtés correspondants sont de mêmes longueurs :
\[ \abs{AB} = \abs{CD} \]
\[ \abs{AD} = \abs{BC} \]
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont donc de même longueur :
4.3. Angles
Le schéma ci-dessous représente un parallélogramme \(ABCD\) et ses angles :
Comme \([A,B]\) est parallèle à \([C,D]\), on doit avoir :
\[ \alpha + \delta = 180^\circ \]
\[ \beta + \gamma = 180^\circ \]
Comme \([A,D]\) est parallèle à \([B,C]\), on doit avoir :
\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]
\[ \gamma + \delta = 180^\circ \]
On en déduit que :
\[ \delta = \beta = 180^\circ - \alpha \]
Le dernier angle vaut :
\[ \gamma = 180^\circ - \beta = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) \]
et finalement :
\[ \gamma = \alpha \]
Un parallélogramme possède donc deux angles distincts supplémentaires, comme représenté dans le schéma ci-dessous :
4.4. Conditions suffisantes
5. Rectangle
5.1. Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits.
Le schéma ci-dessous représente un rectangle \(ABCD\) :
5.2. Parallélisme
Le schéma ci-dessous représente un rectangle \(ABCD\) :
Comme \([A,B]\) et \([D,C]\) sont tous deux perpendiculaire à \([A,C]\), ils sont parallèles entre-eux :
\[ [A,B] \parallel [D,C] \]
Comme \([A,D]\) et \([B,C]\) sont tous deux perpendiculaire à \([A,B]\), ils sont parallèles entre-eux :
\[ [A,D] \parallel [B,C] \]
Les côtés opposés d’un rectangle sont donc parallèles entre-eux. On en déduit qu’un rectangle est un cas particulier de parallélogramme.
5.3. Côtés
Le rectangle étant un cas particulier de parallélogramme, ses côtés opposés sont de même longueur, comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
5.4. Conditions suffisantes
5.4.1. Parallélogramme qui possède un angle droit
Lorsqu’un parallélogramme \(\mathcal{P}\) possède au moins un angle droit, les propriétés de ses angles garantissent alors que les autres angles sont aussi des angles droits. On en déduit que \(\mathcal{P}\) est aussi un rectangle.
6. Cerf-volant
Un cerf-volant est un quadrilatère formé par deux paires de côtés adjacents de même longueur.
Le schéma ci-dessous représente un cerf-volant \(ABCD\) :
7. Losange
Un losange est un quadrilatère qui possède quatre côtés de même longueur.
Le schéma ci-dessous représente un losange \(ABCD\) :
8. Carré
Un carré est un quadrilatère possédant quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Le schéma ci-dessous représente un carré \(ABCD\) :
C’est donc aussi :
- un rectangle qui possède quatre côtés de même longueur
- un losange qui possède quatre angles droits