Eclats de vers : Matemat : Quadrilatères

Un quadrilatère est une figure géométrique délimitée par quatre segments reliant quatre points pour former un circuit fermé. Chaque point du circuit est appelé sommet du quadrilatère, tandis que chaque segment est appelé côté du quadrilatère.

Le schéma ci-dessus représente un exemple de quadrilatère de sommets \(A\), \(B\) et \(C\) délimité par les côtés :

\[ a = [A,B] \qquad \qquad \qquad b = [B,C] \]

\[ c = [C,D] \qquad \qquad \qquad d = [D,A] \]

On définit généralement un quadrilatère par la liste de ces sommets. Le quadrilatère du schéma ci-dessus est appelé quadrilatère \(ABCD\).

Deux côtés non adjacents d’un quadrilatère sont dits opposés. Par exemple, dans le schéma ci-dessous :

les côtés \([A,B]\) et \([C,D]\) sont opposés. Il en va de même pour les côtés \([A,D]\) et \([B,C]\).

Une diagonale d’un quadrilatère \(\mathcal{Q}\) est un segment obtenu en reliant deux sommets non adjacents de \(\mathcal{Q}\).

Par exemple, dans le schéma ci-dessous, les segments \([A,C]\) et \([B,D]\) sont les diagonales du quadrilatère \(ABCD\) :

Une médiane d’un quadrilatère \(\mathcal{Q}\) est un segment obtenu en reliant les points situés au milieu de deux côtés opposés de \(\mathcal{Q}\).

Par exemple, dans le schéma ci-dessous, les segments \([E,G]\) et \([F,H]\) sont les médianes du quadrilatère \(ABCD\) :

On dit que le cercle \(\mathscr{C}\) est circonscrit au quadrilatère \(\mathcal{Q}\), ou que \(\mathcal{Q}\) est inscrit dans \(\mathscr{C}\), si tous les sommets de \(\mathcal{Q}\) appartiennent à \(\mathscr{C}\).

On dit que le cercle \(\mathscr{C}\) est inscrit au quadrilatère \(\mathcal{Q}\) si tous les côtés de \(\mathcal{Q}\) sont tangents à \(\mathscr{C}\).

Un trapèze est un quadrilatère qui possède au moins une paire de côtés opposés parallèles.

Les côtés parallèles d’un trapèze sont appelées bases.

Les autres côtés sont appelés jambes, ou côtés obliques.

Le schéma ci-dessous représente un trapèze \(ABCD\), où les bases sont les côtés \([A,B]\) et \([C,D]\) :

On appelle :

• petite base : la base la plus courte
• grande base : la base la plus longue

Le schéma ci-dessous représente un trapèze \(ABCD\), avec sa petite base prolongée :

Nous avons tenu compte dans la notation des angles du parallélisme des bases, qui implique une égalité des angles alternes-internes.

Comme \(\alpha\) et \(\delta\) forment ensemble un angle plat, on a :

\[ \delta = 180^\circ - \alpha \]

Comme \(\beta\) et \(\gamma\) forment ensemble un angle plat, on a :

\[ \gamma = 180^\circ - \beta \]

Les angles adjacents à la petite base sont donc supplémentaires par rapport aux angles situés du même côté mais adjacents à la grande base. Notre schéma devient :

Une hauteur d’un trapèze est un segment délimité par les deux bases et perpendiculaire à une d’entre-elles, ou a son prolongement.

Le schéma ci-dessous représente un trapèze \(ABCD\), avec une hauteur \([E,F]\) perpendiculaire à la grande base, et qui se prolonge jusqu’à la petite base :

Comme \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles, la hauteur \([E,F]\) est naturellement aussi perpendiculaire à la petite base. Sa longueur :

\[ h = \abs{EF} \]

est égale à la distance entre les droites \((AB)\) et \((CD)\). Elle ne dépend donc pas du point \(E\) choisi sur \((AB)\), ni du point \(F\), qui est la projection orthogonale de \(E\) sur \((CD)\).

Une hauteur d’un trapèze est donc un segment délimité par les deux bases, et perpendiculaire à celles-ci, ou à leur prolongement. La longueur de la hauteur est constante, quel que soit le point choisi pour la construire.

Un trapèze rectangle est un trapèze qui possède au moins un angle droit. Le parallélisme des bases garantit que ce trapèze possède un deuxième angle droit.

Le schéma suivant réprésente un trapèze rectangle \(ABCD\) :

Une droite ou segment \(x\) perpendiculaire à une autre droite ou segment \(y\) est aussi perpendiculaire à toutes les droites ou segments \(z\) parallèles à \(y\). Comme on a :

\[ [A,D] \perp [A,B] \]

\[ [A,B] \parallel [C,D] \]

le segment \([A,D]\) est aussi perpendiculaire à \([C,D]\).

Un parallélogramme est un quadrilatère qui possède deux paires de côtés opposés parallèles.

Le schéma ci-dessous représente un parallélogramme \(ABCD\) :

On a :

\[ [ A,B ] \parallel [ D,C ] \]

\[ [ A,D ] \parallel [ B,C ] \]

Le schéma ci-dessous représente un parallélogramme \(ABCD\) et sa diagonale \([A,C]\) qui le divise en deux triangles :

Comme \([A,B]\) est parallèle à \([C,D]\), les angles alternes-internes \(\alpha\) et \(\beta\) sont égaux :

\[ \alpha = \beta \]

Comme \([A,D]\) est parallèle à \([B,C]\), les angles alternes-internes \(\gamma\) et \(\delta\) sont égaux :

\[ \gamma = \delta \]

Les triangles \(ABC\) et \(ACD\) ont donc deux angles de mêmes amplitudes autour d’un côté commun \([A,C]\) qui est forcément de même longueur. Ces triangles sont donc isométriques. On en déduit que leurs côtés correspondants sont de mêmes longueurs :

\[ \abs{AB} = \abs{CD} \]

\[ \abs{AD} = \abs{BC} \]

Les côtés opposés d’un parallélogramme sont donc de même longueur :

Le schéma ci-dessous représente un parallélogramme \(ABCD\) et ses angles :

Comme \([A,B]\) est parallèle à \([C,D]\), on doit avoir :

\[ \alpha + \delta = 180^\circ \]

\[ \beta + \gamma = 180^\circ \]

Comme \([A,D]\) est parallèle à \([B,C]\), on doit avoir :

\[ \alpha + \beta = 180^\circ \]

\[ \gamma + \delta = 180^\circ \]

On en déduit que :

\[ \delta = \beta = 180^\circ - \alpha \]

Le dernier angle vaut :

\[ \gamma = 180^\circ - \beta = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) \]

c’est-à-dire :

\[ \gamma = \alpha \]

Un parallélogramme possède donc :

• des angles opposés égaux
• deux angles distincts supplémentaires

comme représenté dans le schéma ci-dessous :

Le schéma ci-dessous représente un parallélogramme \(ABCD\) et ses diagonales :

Nous avons tenu compte, dans la notation des angles, du parallélisme des côtés opposés, qui implique une égalité des angles alternes-internes.

Les triangles \(ABI\) et \(DIC\) ont deux angles de mêmes amplitudes (\(\alpha\) et \(\beta\)) autour des côtés \([A,B]\) et \([C,D]\) qui ont une longueur identique. Ce sont donc des triangles isométriques. On a en particulier :

\[ \abs{AI} = \abs{IC} \]

Le point d’intersection \(I\) est donc situé au milieu de la diagonale \([A,C]\). On a aussi :

\[ \abs{BI} = \abs{ID} \]

Le point \(I\) est donc aussi situé au milieu de la diagonale \([B,D]\).

Notre schéma devient donc :

Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Le schéma ci-dessous représente un parallélogramme \(ABCD\) ainsi que ses médianes :

Le quadrilatère \(ABFH\) comporte deux côtés opposés parallèles et de même longueur : \([A,H]\) et \([B,F]\). Ce quadrilatère est donc un parallélogramme. On en conclut que \([H,F]\) est parallèle à \([A,B]\).

Un raisonnement similaire dans le quadrilatère \(HFCD\) nous montre que \([H,F]\) est parallèle à \([C,D]\).

Le quadrilatère \(AEGD\) comporte deux côtés opposés parallèles et de même longueur : \([A,E]\) et \([D,G]\). Ce quadrilatère est donc un parallélogramme. On en conclut que \([E,G]\) est parallèle à \([A,D]\).

Un raisonnement similaire dans le quadrilatère \(EBCG\) nous montre que \([E,G]\) est parallèle à \([B,C]\).

Comme :

\[ [H,F] \parallel [A,B] \]

\[ [E,G] \parallel [A,D] \]

on a a fortiori :

\[ [H,I] \parallel [A,E] \]

\[ [E,I] \parallel [A,H] \]

Le quadrilatère \(AEIH\) est donc un parallélogramme. Un raisonnement similaire nous amène à la conclusion que les quatre quadrilatères intérieurs formés avec les sommets du parallélogrammes et le point d’intersection des médianes, à savoir :

• \(AEIH\)
• \(EBFI\)
• \(IFCG\)
• \(HIGD\)

sont aussi des parallélogrammes. Ils ont donc des côtés opposés de longueurs égales. Le schéma devient :

On en déduit que les médianes d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Le schéma ci-dessous représente un parallélogramme \(ABCD\) ainsi qu’une de ses médianes et une de ses diagonales :

Nous avons tenu compte, dans la notation des angles, du parallélisme des côtés opposés et des médianes, qui implique une égalité des angles alternes-internes.

Les triangles \(AEI\) et \(ICG\) ont un côté de longueur égale (\([A,E]\) et \([G,C]\)) compris entre deux angles \(\alpha\) et \(\beta\) de mêmes amplitudes

Ce sont donc des triangles isométriques. On a en particulier :

\[ \abs{AI} = \abs{IC} \]

Le point \(I\) se trouve au milieu de la diagonale \([A,C]\). Comme les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, le point \(I\) se confond avec le point d’intersection des diagonales.

On a aussi :

\[ \abs{EI} = \abs{IG} \]

Le point \(I\) se trouve au milieu de la médiane \([E,G]\). Comme les médianes d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, le point \(I\) se confond aussi avec le point d’intersection des médianes.

Les médianes et les diagonales d’un parallélogramme se croisent toutes au même point :

Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits.

Le schéma ci-dessous représente un rectangle \(ABCD\) :

Le schéma ci-dessous représente un rectangle \(ABCD\) :

Comme \([A,B]\) et \([D,C]\) sont tous deux perpendiculaire à \([A,C]\), ils sont parallèles entre-eux :

\[ [A,B] \parallel [D,C] \]

Comme \([A,D]\) et \([B,C]\) sont tous deux perpendiculaire à \([A,B]\), ils sont parallèles entre-eux :

\[ [A,D] \parallel [B,C] \]

Les côtés opposés d’un rectangle sont donc parallèles entre-eux. On en déduit qu’un rectangle est un cas particulier de parallélogramme.

Le rectangle étant un cas particulier de parallélogramme, ses côtés opposés sont de même longueur, comme indiqué sur le schéma ci-dessous :

On nomme :

• longueur du rectangle la mesure du plus grand côté
  • dans notre schéma, la distance \(L = \abs{AB}\)
• largeur du rectangle la mesure du plus petit côté
  • dans notre schéma, la distance \(l = \abs{AD}\)

Le schéma ci-dessous représente un rectangle \(ABCD\) et ses diagonales :

Comme un rectangle est un cas particulier de parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.

Les triangles rectangles \(ABC\) et \(DAB\) ont leurs deux cathètes de longueurs identiques. Ils sont donc isométriques et :

\[ \abs{AC} = \abs{BD} \]

Les diagonales d’un rectangle sont de même longueur.

Notre schéma devient :

Le schéma ci-dessous représente un rectangle \(ABCD\) et ses médianes :

Comme un rectangle est un cas particulier de parallélogramme, les médianes se coupent en leur milieu et forment les quatre parallélogrammes intérieurs suivants :

• \(AEIH\)
• \(EBFI\)
• \(IFCG\)
• \(HIGD\)

Chacun de ces parallélogrammes contient un angle droit. Ce sont donc aussi des rectangles.

Comme le rectangle est un cas particulier de parallélogramme, ses médianes et diagonales se croisent au même point :

Un cerf-volant est un quadrilatère formé par deux paires de côtés adjacents de même longueur.

Le schéma ci-dessous représente un cerf-volant \(ABCD\) :

On remarque que le cerf-volant \(ABCD\) peut se subdiviser en deux triangles isocèles \(ABD\) et \(CDB\) :

Réciproquement, on peut considérer que le cerf-volant \(ABCD\) est formé par l’assemblage des triangles isocèles \(ABD\) et \(CDB\).

Le schéma ci-dessous représente un cerf-volant \(ABCD\) ainsi que la diagonale \([A,C]\) :

On remarque que chaque extrémité de la diagonale \([A,C]\) est adjacent à deux côtés de même longueur.

Les triangles \(ACD\) et \(ABC\) ont leurs trois côtés de même longueur. Ils sont donc isométriques. On a en particulier :

\[ \alpha = \beta \qquad \qquad \qquad \gamma = \delta \]

Traçons la deuxième diagonale :

On remarque que :

• la diagonale \([B,D]\) divise le cerf-volant en deux triangles isocèles \(ABD\) et \(CDB\)
• la diagonale \([A,C]\) traverse les deux triangles isocèles \(ABD\) et \(CDB\) qui composent le cerf-volant

Les triangles \(AID\) et \(ABI\) ont un angle \(\alpha\) d’amplitude égale compris deux côtés de même longeurs :

• le côté commun \([A,I]\)
• les côtés \([A,B]\) et \([A,D]\)

Ils sont donc isométriques et :

\[ \abs{DI} = \abs{IB} \]

Le point d’intersection \(I\) entre les diagonales est situé au milieu de la diagonale \([B,D]\). On a aussi :

\[ \lambda = \mu \]

Comme ces deux angles forment ensemble un angle plat, il vient :

\[ \lambda + \mu = 2 \ \lambda = 180^\circ \]

d’où :

\[ \lambda = 90^\circ \]

Les diagonales d’un cerf-volant sont perpendiculaires. En tenant compte de l’égalité des autres angles, notre schéma devient :

Conclusion :

• les diagonales sont perpendiculaires
• la diagonale qui traverse les deux triangles isocèles
  • est la bissectrice des angles situés à ses extrémités
  • est la médiatrice de la diagonale qui divise le cerf-volant en deux triangles isocèles

Ces propriétés ont les conséquences directes suivantes :

• le segment \([A,I]\) est une médiane, une hauteur et une bissectrice du triangle isocèle \(ABD\)
• le segment \([C,I]\) est une médiane, une hauteur et une bissectrice du triangle isocèle \(CDB\)

Un losange est un quadrilatère qui possède quatre côtés de même longueur.

Le schéma ci-dessous représente un losange \(ABCD\) :

Le schéma ci-dessous représente un losange \(ABCD\) et une de ses diagonales :

Nous avons tenu compte du caractère isocèle des triangles dans la notation des angles.

Les triangles \(ABD\) et \(BCD\) ont leurs trois côtés de longueurs identiques. Ils sont donc isométriques et :

\[ \alpha = \beta \]

\[ \gamma = \delta \]

Notre schéma devient :

La somme des angles dans le triangle \(ABD\) nous donne :

\[ \gamma + 2 \ \alpha = 180^\circ \]

ou encore :

\[ \gamma + \abs{\angleflex{ADC}} = 180^\circ \]

Il suffit d’appliquer la réciproque du cinquième axiome d’Euclide pour obtenir le parallélisme :

\[ [A,B] \parallel [D,C] \]

La relation sur les angles peut se réécrire :

\[ \gamma + \abs{\angleflex{CBA}} = 180^\circ \]

Il suffit d’appliquer la réciproque du cinquième axiome d’Euclide pour obtenir le parallélisme :

\[ [A,D] \parallel [B,C] \]

Un losange est donc un cas particulier de parallélogramme.

Remarque : on pourrait aussi simplement observer qu’un losange \(\mathscr{L}\) possède a fortiori des côtés opposés de longueurs égales, ce qui est une condition suffisante pour conclure que \(\mathscr{L}\) est un cas particulier de parallélogramme.

Le schéma ci-dessous représente un losange \(ABCD\) et ses diagonales :

On peut considérer le losange \(ABCD\) comme un cerf-volant composé des triangles isocèles \(ABD\) et \(CDB\). La diagonale \([A,C]\) traverse ces deux triangles isocèles, et est donc :

• la médiatrice de l’autre diagonale \([B,D]\)
• la bissectrice des angles \(\angleflex{BAD}\) et \(\angleflex{DCB}\) situés à ses extrémités.

Mais on peut aussi considérer ce losange comme un cerf-volant composé des triangles isocèles \(DAC\) et \(BCA\). La diagonale \([B,D]\) traverse ces deux triangles isocèles, et est donc :

• la médiatrice de l’autre diagonale \([A,C]\)
• la bissectrice des angles \(\angleflex{ADC}\) et \(\angleflex{CBA}\) situés à ses extrémités.

De plus, comme le losange est un cas particulier de parallélogramme, ses angles opposés sont égaux :

\[ \abs{\angleflex{BAD}} = \abs{\angleflex{DCB}} \]

\[ \abs{\angleflex{ADC}} = \abs{\angleflex{CBA}} \]

On en conclut que les diagonales d’un losange :

• sont perpendiculaires
• sont les bissectrices des angles situés à leurs extrémités

On a finalement le schéma suivant :

Comme le triangle \(AID\) est rectangle en \(I\), on a aussi :

\[ \beta = 90^\circ - \alpha \]

Comme un losange est un cas particulier de parallélogramme, ses médianes se coupent en leur milieu :

On sait aussi que les quatre quadrilatères intérieurs suivants :

• \(AEIH\)
• \(EBFI\)
• \(IFCG\)
• \(HIGD\)

sont des parallélogrammes. Comme on a en plus :

\[ \abs{AE} = \abs{AH} = \frac{\abs{AB}}{2} = \frac{\abs{AD}}{2} \]

les quatre côtés du parallélogramme \(AEIH\) sont de longueur égale. Ce parallélogramme est donc aussi un losange. Un raisonnement analogue appliqué aux autres parallélogrammes intérieurs nous montre que ce sont tous des losanges.

Comme un losange est un cas particulier de parallélogramme, ses médianes et diagonales se croisent au même point :

Un carré est un quadrilatère possédant quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.

Le schéma ci-dessous représente un carré \(ABCD\) :

C’est donc aussi :

• un rectangle qui possède quatre côtés de même longueur
• un parallélogramme qui possèdes quatre angles droits et quatre côtés de même longueur
• un losange qui possède quatre angles droits
• un cerf-volant qui possède quatre côtés de même longueur et quatre angles droits

Le schéma ci-dessous représente un carré \(ABCD\) et ses diagonales :

Comme un carré est un cas particulier de :

• parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu
• rectangle, ses diagonales sont de même longueur
• cerf-volant, ses diagonales sont perpendiculaires

Le schéma ci-dessous représente un carré \(ABCD\) et ses médianes :

Comme un carré est un cas particulier de :

• parallélogramme, ses médianes se coupent en leur milieu, au même point que les diagonales
• rectangle, ses médianes forment quatre rectangles intérieurs
• losange, ses médianes forment quatre losanges intérieurs

Les quatre quadrilatères intérieurs :

• \(AEIH\)
• \(EBFI\)
• \(IFCG\)
• \(HIGD\)

sont donc à la fois des rectangles et des losanges. Ils ont donc quatre côtés de longueur égale et quatre angles droits. Ce sont donc des carrés. On en conclut que les médianes d’un carré sont perpendiculaires.

Comme le carré est un cas particulier de parallélogramme, ses médianes et diagonales se croisent au même point :