Eclats de vers : Matemat : Symétrie
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
1. Introduction
Soit la fonction \(f \in \continue^2(\setR^2,\setR)\). Posons \(\partial_x = \partial_1\) et \(\partial_y = \partial_2\). Nous allons tenter d'évaluer les dérivées secondes \(\partial_{xy} = \partial_{12}\) et \(\partial_{yx} = \partial_{21}\). On note :
\begin{align} \varphi_{11} &= \varphi(x,y) \) \( \varphi_{21} &= \varphi(x + h, y) \) \( \varphi_{12} &= \varphi(x, y + h) \) \( \varphi_{22} &= \varphi(x + h, y + h) \end{align}où \(\varphi = f\) ou une de ses dérivées. Comme \(\partial_{xy} = \partial_x \partial_y\) et \(\partial_{yx} = \partial_y \partial_x\), on a par définition :
\( \Delta_{xy} = \partial_y f_{21} - \partial_y f_{11} = \partial_{xy} f_{11} \cdot h + o(h) \)
\( \Delta_{yx} = \partial_x f_{12} - \partial_x f_{11} = \partial_{yx} f_{11} \cdot h + o(h) \)
Multiplié par \(h\), cela devient :
\( \Delta_{xy} \cdot h = \partial_{xy} f_{11} \cdot h^2 + o(h^2) \)
\( \Delta_{yx} \cdot h = \partial_{yx} f_{11} \cdot h^2 + o(h^2) \)
On dispose également des développements d'ordre deux :
\( f_{22} - f_{21} = \partial_y f_{21} \cdot h + \partial_{yy} f_{21} \cdot \frac{h^2}{2} + o(h^2) \)
\( f_{12} - f_{11} = \partial_y f_{11} \cdot h + \partial_{yy} f_{11} \cdot \frac{h^2}{2} + o(h^2) \)
\( f_{22} - f_{12} = \partial_x f_{12} \cdot h + \partial_{xx} f_{12} \cdot \frac{h^2}{2} + o(h^2) \)
\( f_{12} - f_{11} = \partial_x f_{11} \cdot h + \partial_{xx} f_{11} \cdot \frac{h^2}{2} + o(h^2) \)
On en conclut que :
\( \Delta_{xy} \cdot h = D + \Delta_{yy} + o(h^2) \)
\( \Delta_{yx} \cdot h = D + \Delta_{xx} + o(h^2) \)
où l'on a posé :
\( D = f_{22} - f_{21} - f_{12} + f_{11} \)
\( \Delta_{yy} = (\partial_{yy} f_{11} - \partial_{yy} f_{21}) \cdot h^2 \)
\( \Delta_{xx} = (\partial_{xx} f_{11} - \partial_{xx} f_{12}) \cdot h^2 \)
Par continuité de \(\partial_{xx} f\) et de \(\partial_{yy} f\), on a :
\( \lim_{h \to 0} \frac{\Delta_{yy}}{h^2} = \lim_{h \to 0} (\partial_{yy} f_{11} - \partial_{yy} f_{21}) = 0 \)
\( \lim_{h \to 0} \frac{\Delta_{xx}}{h^2} = \lim_{h \to 0} (\partial_{xx} f_{11} - \partial_{xx} f_{12}) = 0 \)
On en conclut que \(\Delta_{xx}, \Delta_{yy} \sim o(h^2)\). Comme la somme de deux erreurs en \(o(h^2)\) donne également une erreur en \(o(h^2)\), on a :
\( \Delta_{xy} \cdot h = D + o(h^2) + o(h^2) = D + o(h^2) \)
\( \Delta_{yx} \cdot h = D + o(h^2) + o(h^2) = D + o(h^2) \)
et :
\( \partial_{xy} f_{11} \cdot h^2 = D + o(h^2) \)
\( \partial_{yx} f_{11} \cdot h^2 = D + o(h^2) \)
On en conclut que la différence \(\partial_{xy} f_{11} - \partial_{yx} f_{11} \sim o(1)\) tend vers \(0\) avec \(h\), ce qui n'est possible que si :
\[\partial_{xy} f_{11} = \partial_{yx} f_{11}\]
Nous avons donc prouvé que :
\[\partial_{xy} f(x,y) = \partial_{yx} f(x,y)\]
1.1. Généralisation
On peut bien entendu généraliser à une fonction \(f \in \continue^2(\setR^n,\setR)\). On a alors :
\[\partial_{ij} f = \partial_{ji} f\]
où \(i,j \in \{1,2,...,n\}\). Si \(H = \partial^2 f\), on écrit aussi ce résultat sous la forme :
\[H^\dual = H\]
2. Dérivation par rapport à un paramètre
Nous allons a présent examiner ce qu'il se passe lorsque les bornes de l'intervalle d'intégration (\(a,b : \setR \mapsto \setR\)) et la fonction à intégrer (\(f : \setR \times \setR \mapsto \setR\)) varient par rapport à un paramètre. Soit la fonction \(I : \setR \mapsto \setR\) définie par :
\[I(t) = \int_{a(t)}^{b(t)} f(s,t) \ ds\]
Pour une valeur donnée de \(t\), posons :
\[\phi_t(s) = f(s,t)\]
L'intégrale de \(\phi_t\) peut s'évaluer si nous connaissons une primitive \(\psi_t\) telle que :
\[\OD{\psi_t}{s}(s) = \phi_t(s)\]
Mais cette expression consiste à évaluer la variation de \(\psi\) lorsque \(s\) varie, \(t\) étant fixé. Cela revient donc à une dérivée partielle par rapport à \(s\). Donc, si nous connaissons une fonction \(F\) telle que :
\[\deriveepartielle{F}{s}(s,t) = f(s,t)\]
nous pouvons réécrire l'intégrale :
\[\int_{a(t)}^{b(t)} f(s,t) \ ds = F(b(t),t) - F(a(t),t)\]
Il ne nous reste plus alors qu'à évaluer la dérivée de \(I\) par rapport à \(t\) en utilisant la règle des compositions de fonctions :
\[\OD{I}{t}(t) = \deriveepartielle{F}{s}(b(t),t) \cdot \OD{b}{t}(t) + \deriveepartielle{F}{t}(b(t),t) - \deriveepartielle{F}{s}(a(t),t) \cdot \OD{b}{t}(t) - \deriveepartielle{F}{t}(a(t),t)\]
Si \(F \in \continue^2(\setR^2,\setR)\), la symétrie des dérivées secondes nous permet d'écrire :
\[\deriveepartielle{F}{t} = \deriveepartielle{}{t} \left[ \deriveepartielle{f}{s} \right] = \deriveepartielle{}{s} \left[ \deriveepartielle{f}{t} \right]\]
La dérivée partielle de \(F\) par rapport à \(t\) est donc une primitive de la dérivée partielle de \(f\) par rapport à \(t\). On en déduit que :
\[\int_\alpha^\beta \deriveepartielle{f}{t}(s,t) \ ds = \deriveepartielle{F}{t}(\beta,t) - \deriveepartielle{F}{t}(\alpha,t)\]
pour tout \(\alpha,\beta \in \setR\). Pour un \(t\) fixé quelconque, on peut poser \(\alpha = a(t)\) et \(\beta = b(t)\). Il vient alors :
\[\OD{I}{t}(t) = \deriveepartielle{F}{s}(b(t),t) \cdot \OD{b}{t}(t) - \deriveepartielle{F}{s}(a(t),t) \cdot \OD{b}{t}(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \deriveepartielle{f}{t}(s,t) \ ds\]
3. Différences finies
Soit une fonction \(f : \setR^2 \mapsto \setR^m\) deux fois continument dérivable. Nous allons voir comment évaluer des approximations des dérivées premières et secondes de \(f\). On note \(\partial_x = \partial_1\) et \(\partial_y = \partial_2\). On choisit les réels \(x,y\) et la variation non nulle \(h \in \setR\).
3.1. Dérivées premières
Soustrayons les développements d'ordre deux :
\( f(x + h,y) \approx f(x,y) + h \cdot \partial_x f(x,y) + \frac{h^2}{2} \cdot \partial^2 f(x,y) \)
\( f(x - h,y) \approx f(x,y) - h \cdot \partial_x f(x,y) + \frac{h^2}{2} \cdot \partial^2 f(x,y) \)
On obtient :
\[f(x + h,y) - f(x - h,y) \approx 2 h \cdot \partial_x f(x,y)\]
et donc :
\[\partial_x f(x,y) \approx \frac{f(x + h, y) - f(x - h, y)}{2 h}\]
L'erreur est en \(o(h) = o(h^2)/h\). En procédant de même avec \(y\), on obtient :
\[\partial_y f(x,y) \approx \frac{f(x, y + h) - f(x, y - h)}{2 h}\]
3.2. Dérivées secondes
On additionne cette fois les mêmes développements et on obtient :
\[f(x + h,y) + f(x - h,y) \approx 2 f(x,y) + \frac{h^2}{2} \cdot \partial^2 f(x,y) + o(h^2)\]
et donc :
\[\partial_{xx}^2 f(x,y) \approx \frac{f(x + h, y) - 2 f(x,y) + f(x - h, y)}{h^2}\]
L'erreur est en \(o(1) = o(h^2)/h^2\), et donc aussi petite que l'on veut pourvu que \(h \ne 0\) soit suffisamment petit. En procédant de même avec \(y\), on obtient :
\[\partial_{yy}^2 f(x,y) \approx \frac{f(x, y + h) - 2 f(x,y) + f(x, y - h)}{h^2}\]
On vérifie également en évaluant les développements en \((x \pm h, y \pm h)\) que :
\[\partial_{xy}^2 f(x,y) \approx \frac{f(x + h, y + h) - f(x + h, y - h) - f(x - h, y + h) + f(x - h, y - h)}{h^2}\]
La dernière dérivée seconde s'évalue approximativement par \(\partial_{yx}^2 f(x,y) = \partial_{xy}^2 f(x,y)\).
3.3. Généralisation
Nous allons voir comment généraliser ces résultats aux dérivées \(\partial_{ij}\) d'une fonction \(F : \setR^n \mapsto \setR^m\). Soit \(u \in \setR^n\) et les vecteurs de la base canonique \(\canonique_i \in \setR^n\). On définit les fonctions \(f_{ij} : \setR^n \mapsto \setR^m\) par :
\[f_{ij}(x,y) = F(u + x \cdot \canonique_i + y \cdot \canonique_j)\]
On a clairement :
\begin{align} \partial_i F(u) &= \partial_x f_{ij}(0,0) \) \( \partial_{ii} F(u) &= \partial_{xx} f_{ij}(0,0) \) \( \partial_{ij} F(u) &= \partial_{xy} f_{ij}(0,0) \) \( \partial_{jj} F(u) &= \partial_{yy} f_{ij}(0,0) \end{align}Il suffit donc d'utiliser les méthodes d'approximations des dérivées de \(f_{ij}\) pour approximer les dérivées de \(F\).