Eclats de vers : Matemat : Triangles
Table des matières
1. Définition
Un triangle est une figure géométrique délimitée par trois segments reliant trois points pour former un circuit fermé. Chaque point du circuit est appelé sommet du triangle, tandis que chaque segment est appelé côté du triangle.
Le schéma ci-dessous représente un exemple de triangle de sommets \(A\), \(B\) et \(C\) délimité par les côtés de longueurs :
\[ a = \abs{BC} \]
\[ b = \abs{CA} \]
\[ c = \abs{AB} \]
On définit généralement un triangle par la liste de ces sommets. Le triangle du schéma ci-dessus est appelé triangle \(ABC\).
2. Sommets et côtés
Soit le triangle \(ABC\) :
Un sommet du triangle est dit opposé à un côté si le sommet n’est pas une extrémité du côté. Dans notre schéma :
- \(A\) est le sommet opposé à \([B,C]\)
- \(B\) est le sommet opposé à \([C,A]\)
- \(C\) est le sommet opposé à \([A,B]\)
Un côté du triangle est dit opposé à un sommet si le sommet n’est pas une extrémité du côté. Dans notre schéma :
- \([B,C]\) est le côté opposé à \(A\)
- \([C,A]\) est le côté opposé à \(B\)
- \([A,B]\) est le côté opposé à \(C\)
3. Classification
3.1. Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.
Le schéma ci-dessous donne un exemple de triangle rectangle \(ABC\) :
On voit que l’angle droit est situé sur le sommet \(B\) :
\[ \angleflex{B} = 90^\circ \]
On dit aussi que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).
3.1.1. Nomenclature des côtés
Dans un triangle rectangle :
- les deux côtés adjacents à l’angle droit sont appelés cathètes
- le troisième côté est appelé hypothénuse
Par exemple, dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\) :
- les côtés \([A,B]\) et \([B,C]\) sont les cathètes
- le côté \([A,C]\) est l’hypothénuse
3.2. Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés de longueurs égales.
Le schéma ci-dessous donne un exemple de triangle isocèle \(ABC\) :
On voit que :
\[ a = \abs{AB} = \abs{AC} \]
On dit aussi que le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\).
3.2.1. Nomenclature des côtés
Dans un triangle isocèle :
- le sommet adjacent aux deux côtés de même longueur est appelé sommet principal
- le côté opposé au sommet principal est appelé base principale
Par exemple, dans le triangle \(ABC\) isocèle en \(A\) :
- \(A\) est le sommet principal
- \([B,C]\) est la base principale
3.3. Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont de longueurs égales
Le schéma ci-dessous donne un exemple de triangle équilatéral \(ABC\) :
On voit que :
\[ a = \abs{AB} = \abs{BC} = \abs{CA} \]
3.3.1. Corollaire
Un triangle équilatéral \(ABC\) est aussi :
- un triangle isocèle en \(A\)
- un triangle isocèle en \(B\)
- un triangle isocèle en \(C\)
3.4. Triangle acutangle
Un triangle acutangle est un triangle dont tous les angles sont aigus
Le schéma ci-dessous donne un exemple de triangle acutangle \(ABC\) :
On voit que :
\[ \alpha, \beta, \gamma < 90^\circ \]
3.5. Triangle obtusangle
Un triangle obtusangle est un triangle dont un des angles est obtus
Le schéma ci-dessous donne un exemple de triangle obtusangle :
On voit que :
\[ \gamma > 90^\circ \]
tandis que :
\[ \alpha, \beta < 90^\circ \]
4. Angles
4.1. Somme des angles d’un triangle
La figure ci-dessous représente un triangle \(ABC\), une droite \(d\) qui prolonge le côté \([A,B]\) et une droite \(f\) parallèle à \(d\) :
La notation des angles tient compte de l’égalité des angles alternes-internes.
Ce schéma nous montre que les angles \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) forment ensemble un angle plat au point \(C\) :
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
Ces trois angles ayant les mêmes amplitudes que les angles internes du triangle \(ABC\), on en déduit que la somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\).
4.2. Triangle rectangle
4.2.1. Raisonnement
Soit un triangle \(ABC\) rectangle en \(B\) :
On suppose dans la suite que les angles sont orientés pour être positifs :
\[ \alpha, \beta \ge 0 \]
et que le triangle n’est pas dégénéré. Les angles ne sont donc pas nuls et :
\[ \alpha, \beta > 0 \]
Puisque l’angle \(\angleflex{B}\) est un angle droit, la somme des angles du triangle \(ABC\) s’écrit :
\[ \alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ \]
ou encore :
\[ \alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ \]
et finalement :
\[ \alpha + \beta = 90^\circ \]
Les angles \(\alpha\) et \(\beta\) sont complémentaires.
On en conclut que :
\[ \alpha = 90^\circ - \beta < 90^\circ \]
\[ \beta = 90^\circ - \alpha < 90^\circ \]
Les angles \(\alpha\) et \(\beta\) sont des angles aigus.
4.2.2. Conclusion
Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.
5. Inégalités triangulaires
Soit le triangle \(ABC\) suivant :
L’inégalité triangulaire des distances nous garantit qu’il est toujours plus court d'aller directement du point \(A\) au point \(B\) plutôt que de passer par un point intermédiaire \(C\). On a donc l'inégalité triangulaire :
\[ \abs{AB} \le \abs{AC} + \abs{CB} \]
Il en va de mēme pour aller du point \(A\) au point \(C\) en passant ou non par \(B\) :
\[ \abs{AC} \le \abs{AB} + \abs{BC} \]
ou pour aller du point \(B\) au point \(C\) en passant ou non par \(A\) :
\[ \abs{BC} \le \abs{BA} + \abs{AC} \]
En isolant \(\abs{BC} = \abs{CB}\) dans les deux premières équations, on obtient :
\[ \abs{BC} \ge \abs{AB} - \abs{AC} \]
\[ \abs{BC} \ge \abs{AC} - \abs{AB} \]
ou, sous forme plus condensée :
\[ \abs{BC} \ge \max \big\{ \abs{AB} - \abs{AC}, \abs{AC} - \abs{AB} \big\} \]
En suivant le même raisonnement pour \(\abs{AB} = \abs{BA}\) dans les deuxième et troisième inégalités triangulaires, on obtient :
\[ \abs{AB} \ge \max \big\{ \abs{AC} - \abs{BC}, \abs{BC} - \abs{AC} \big\} \]
En suivant le même raisonnement pour \(\abs{AC}\) dans les première et troisième inégalités triangulaires, on obtient :
\[ \abs{AC} \ge \max \big\{ \abs{AB} - \abs{BC}, \abs{BC} - \abs{AB} \big\} \]
Dans notre exemple, on a clairement :
\[ \abs{AB} \ge \abs{BC} \ge \abs{CA} \]
et :
\[ \abs{AB} - \abs{AC} \ge 0 \qquad \qquad \qquad \abs{AC} - \abs{AB} \le 0 \]
\[ \abs{BC} - \abs{AC} \ge 0 \qquad \qquad \qquad \abs{AC} - \abs{BC} \le 0 \]
\[ \abs{AB} - \abs{BC} \ge 0 \qquad \qquad \qquad \abs{BC} - \abs{AB} \le 0 \]
ce qui nous donne les bornes inférieures :
\[ \abs{BC} \ge \abs{AB} - \abs{AC} \]
\[ \abs{AB} \ge \abs{BC} - \abs{AC} \]
\[ \abs{AC} \ge \abs{AB} - \abs{BC} \]
Nous avons donc montré que :
- la longueur de chacun des côtés d’un triangle est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.
- la longueur de chacun des côtés d’un triangle est supérieure ou égale à la différence entre le plus long et le plus court des deux autres côtés
6. Triangle et cercle
6.1. Cercle circonscrit
On dit que le cercle \(\mathscr{C}\) est circonscrit au triangle \(\mathcal{T}\), ou que \(\mathcal{T}\) est inscrit dans \(\mathscr{C}\), si tous les sommets de \(\mathcal{T}\) appartiennent à \(\mathscr{C}\).
Le schéma ci-dessous représente un triangle \(\mathcal{T} = ABC\) et son cercle circonscrit \(\mathscr{C}\) :
6.2. Cercle inscrit
On dit que le cercle \(\mathscr{C}\) est inscrit au triangle \(\mathcal{T}\) si tous les côtés de \(\mathcal{T}\) sont tangents à \(\mathscr{C}\).
Le schéma ci-dessous représente un triangle \(\mathcal{T} = ABC\) et son cercle inscrit \(\mathscr{C}\) :
On voit que \(\mathscr{C}\) est tangent aux côtés du triangles \(ABC\) aux points \(P\), \(S\) et \(T\).
7. Triangles isométriques
7.1. Définition
Deux triangles sont dits isométriques si leur côtés correspondants sont de même longueur et leurs angles correspondants de même amplitude. Le schéma ci-dessous nous en montre un exemple :
avec :
\[ a_1 = a_2 \]
\[ b_1 = b_2 \]
\[ c_1 = c_2 \]
et :
\[ \alpha_1 = \alpha_2 \]
\[ \beta_1 = \beta_2 \]
\[ \gamma_1 = \gamma_2 \]
Remarque : deux côtés ou angles correspondants sont aussi qualifiés d’homologues.
7.2. Notation
Si deux triangles \(T_1\) et T2$ sont isométriques, on le note :
\[ T_1 \cong T_2 \]
Remarque : attention à ne pas confondre le symbole d’isométrie \(\cong\) avec l’égalité approximative \(\approx\) ou \(\simeq\).
7.3. Équivalence
On vérifie aisément que la relation d’isométrie est une équivalence.
8. Triangles semblables
8.1. Définition
Deux triangles sont dits semblables si leurs côtés sont proportionnels, c’est-à-dire si les rapports de leurs côtés correspondants sont les mêmes, et si leurs angles correspondants sont de même amplitude. Le schéma ci-dessous nous en montre un exemple :
On a alors la proportion commune :
\[ \varphi = \frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} \]
et les angles :
\[ \alpha_1 = \alpha_2 \]
\[ \beta_1 = \beta_2 \]
\[ \gamma_1 = \gamma_2 \]
8.2. Isolation des longueurs
En isolant les longueurs du grand triangle \(DEF\) dans les relations de la proportion commune, on obtient :
\[ a_2 = \varphi \ a_1 \]
\[ b_2 = \varphi \ b_1 \]
\[ c_2 = \varphi \ c_1 \]
8.3. Différences de longueurs
Le triangle \(DEF\) est clairement plus grand que le triangle \(ABC\). On a donc :
\[ \varphi = \frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} \ge 1 \]
Ces différences de longueurs sont donc positives :
\[ \difference a = a_2 - a_1 \]
\[ \difference b = b_2 - b_1 \]
\[ \difference c = c_2 - c_1 \]
8.3.1. Petit triangle comme référence
Comparons la différence de longueurs \(\difference a\) avec la longueur correspondante du petit triangle \(ABC\) :
\[ \frac{\difference a}{a_1} = \frac{a_2 - a_1}{a_1} \]
Il vient :
\[ \frac{\difference a}{a_1} = \frac{a_2}{a_1} - \frac{a_1}{a_1} = \frac{a_2}{a_1} - 1 \]
Comme le rapport dans le membre de droite vaut \(\varphi\), on a finalement :
\[ \frac{\difference a}{a_1} = \varphi - 1 \]
Posons :
\[ \rho = \varphi - 1 \]
Le rapport précédent peut se réécrire :
\[ \frac{\difference a}{a_1} = \rho \]
On a aussi :
\[ \frac{\difference b}{b_1} = \frac{b_2}{b_1} - 1 = \varphi - 1 = \rho \]
et :
\[ \frac{\difference c}{c_1} = \frac{c_2}{c_1} - 1 = \varphi - 1 = \rho \]
Les différences de longueurs entre le plus grand triangle et le plus petit respectent la proportion commune :
\[ \rho = \frac{\difference a}{a_1} = \frac{\difference b}{b_1} = \frac{\difference c}{c_1} \]
de valeur :
\[ \rho = \varphi - 1 \]
Comme \(\varphi \ge 1\), on a la borne :
\[ \rho \ge 0 \]
8.3.2. Grand triangle comme référence
Comparons la différence de longueurs \(\difference a\) avec la longueur correspondante du grand triangle \(DEF\) :
\[ \frac{\difference a}{a_2} = \frac{a_2 - a_1}{a_2} \]
Il vient :
\[ \frac{\difference a}{a_2} = \frac{a_2}{a_2} - \frac{a_1}{a_2} = 1 - \frac{a_1}{a_2} \]
Comme le rapport dans le membre de droite vaut \(1/\varphi\), on a finalement :
\[ \frac{\difference a}{a_2} = 1 - \unsur{\varphi} = \frac{\varphi - 1}{\varphi} \]
Posons :
\[ \omega = 1 - \unsur{\varphi} = \frac{\varphi - 1}{\varphi} \]
Le rapport précédent peut se réécrire :
\[ \frac{\difference a}{a_2} = \omega \]
On a aussi :
\[ \frac{\difference b}{b_2} = 1 - \frac{b_1}{b_2} = 1 - \unsur{\varphi} = \omega \]
et :
\[ \frac{\difference c}{c_2} = 1 - \frac{c_1}{c_2} = 1 - \unsur{\varphi} = \omega \]
Les différences de longueurs entre le plus grand triangle et le plus petit respectent la proportion commune :
\[ \omega = \frac{\difference a}{a_2} = \frac{\difference b}{b_2} = \frac{\difference c}{c_2} \]
de valeur :
\[ \omega = \frac{\varphi - 1}{\varphi} \]
Comme \(\varphi \ge 1\), on a les bornes :
\[ 0 \le 1 - \unsur{\varphi} < 1 \]
ou :
\[ 0 \le \omega < 1 \]
Remarque : on aurait aussi pu partir de :
\[ \frac{\difference a}{a_1} = \rho = \varphi - 1 \]
isoler \(\difference a\) :
\[ \difference a = (\varphi - 1) \ a_1 \]
et diviser par \(a_2\) :
\[ \frac{\difference a}{a_2} = (\varphi - 1) \ \frac{a_1}{a_2} \]
comme \(a_1 / a_2 = 1/\varphi\), on obtient le même résultat que précédemment :
\[ \frac{\difference a}{a_2} = \frac{\varphi - 1}{\varphi} \]
Le raisonnement est similaire pour \(\difference b / b_2\) et \(\difference c / c_2\).
8.4. Proportions internes
Divisons \(a_2\) par \(b_2\) et remplaçons ces longueurs par leurs expressions en fonctions de \(\varphi\) et des longueurs du petit triangle \(ABC\) :
\[ \frac{a_2}{b_2} = \frac{\varphi \ a_1}{\varphi \ b_1} \]
En simplifiant, il vient :
\[ \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_1}{b_1} \]
Le rapport des longueurs des deux premiers côtés est le même dans les deux triangles. En utilisant la même méthode avec \(a_2\) et \(c_2\), on obtient :
\[ \frac{a_2}{c_2} = \frac{a_1}{c_1} \]
Enfin, en utilisant la même méthode avec \(b_2\) et \(c_2\), on obtient :
\[ \frac{b_2}{c_2} = \frac{b_1}{c_1} \]
Les proportions internes entre les longueurs des côtés sont les mêmes dans les deux triangles.