Eclats de vers : Matemat : Trigonometrie : sommes
Table des matières
1. Somme de deux angles
1.1. Introduction
Considérons le diagramme suivant :
1.2. Préambule
Comme \(\alpha\) et \(\gamma\) sont les deux angles non droits d’un triangle rectangle, on a :
\[ \gamma = \frac{\pi}{2} - \alpha \]
Comme \(\gamma\), \(\delta\) et \(\pi/2\) forment ensemble un angle plat, on a :
\[ \gamma + \delta + \frac{\pi}{2} = \pi \]
En substituant la valeur de \(\gamma\) par rapport à \(\alpha\), cette relation devient :
\[ \frac{\pi}{2} - \alpha + \delta + \frac{\pi}{2} = \pi \]
ou encore :
\[ - \alpha + \delta = 0 \]
et finalement :
\[ \delta = \alpha \]
1.3. Cosinus de la somme
Le diagramme nous montre que :
\[ \cos(\alpha+\beta) + \sin\beta \ \sin\delta = \cos\beta \ \cos\alpha \]
mais comme \(\delta = \alpha\), cette relation devient :
\[ \cos(\alpha+\beta) + \sin\beta \ \sin\alpha = \cos\beta \ \cos\alpha \]
En isolant \(\cos(\alpha+\beta)\) :
\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\beta \ \cos\alpha - \sin\beta \ \sin\alpha \]
ou encore :
\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \ \cos\beta - \sin\alpha \ \sin\beta \]
ce qui nous donne la formule pour le cosinus d’une somme d’angles.
1.4. Sinus de la somme
Le diagramme nous montre que :
\[ \sin(\alpha+\beta) = \cos\beta \ \sin\alpha + \cos\delta \ \sin\beta \]
mais comme \(\delta = \alpha\), cette relation devient :
\[ \sin(\alpha+\beta) = \cos\beta \ \sin\alpha + \cos\alpha \ \sin\beta \]
ou encore :
\[ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \ \cos\beta + \sin\beta \ \cos\alpha \]
ce qui nous donne la formule pour le sinus d’une somme d’angles.
1.5. Tangente de la somme
On a :
\[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \]
En utilisant les forumes de sommes pour le sinus et le cosinus, cette relation devient :
\[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin\alpha \ \cos\beta + \sin\beta \ \cos\alpha}{\cos\alpha \ \cos\beta - \sin\alpha \ \sin\beta} \]
En divisant numérateur et dénominateur de la fraction par \(\cos\alpha \ \cos\beta\), il vient :
\[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin\alpha / \cos\alpha + \sin\beta / \cos\beta}{1 - (\sin\alpha / \cos\alpha) (\sin\beta / \cos\beta)} \]
En se rappelant la relation fondamentale liant tangente, sinus et cosinus on obtient finalement :
\[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \ \tan\beta} \]
2. Différence de deux angles
2.1. Par angle négatif
2.1.1. Cosinus de la différence
On part de la constatation que :
\[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\big( \alpha + (-\beta) \big) \]
La formule de la somme nous donne :
\[ \cos\big( \alpha + (-\beta) \big) = \cos\alpha \ \cos(-\beta) - \sin\alpha \ \sin(-\beta) \]
Mais comme :
\[ \cos(-\beta) = \cos(\beta) \]
\[ \sin(-\beta) = - \sin(\beta) \]
le cosinus de la différence peut se réécrire :
\[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \ \cos\beta + \sin\alpha \ \sin\beta \]
2.1.2. Sinus de la différence
On part de la constatation que :
\[ \sin(\alpha - \beta) = \sin\big( \alpha + (-\beta) \big) \]
La formule de la somme nous donne :
\[ \sin\big( \alpha + (-\beta) \big) = \sin\alpha \ \cos(-\beta) + \sin(-\beta) \ \cos\alpha \]
Mais comme :
\[ \cos(-\beta) = \cos(\beta) \]
\[ \sin(-\beta) = - \sin(\beta) \]
le sinus de la différence peut se réécrire :
\[ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \ \cos\beta - \sin\beta \ \cos\alpha \]
2.1.3. Tangente de la différence
On part de la constatation que :
\[ \tan(\alpha - \beta) = \tan\big(\alpha + (-\beta)\big) \]
La formule de la somme nous donne :
\[ \tan\big(\alpha + (-\beta)\big) = \frac{\tan\alpha + \tan(-\beta)}{1 - \tan\alpha \ \tan(-\beta)} \]
Mais comme :
\[ \tan(-\beta) = - \tan\beta \]
la tangente de la différence peut se réécrire :
\[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \ \tan\beta} \]
2.2. Par point de vue dual
2.2.1. Introduction
Choisissons deux angles \(\alpha\) et \(\beta\) et posons :
\[ \gamma = \alpha - \beta \]
On a alors :
\[ \alpha = \gamma + \beta \]
2.2.2. Cosinus de la différence
Les formules de sommes nous donnent :
\[ \left\{ \begin{array}{l} \sin\alpha = \sin(\gamma+\beta) = \sin\gamma \ \cos\beta + \sin\beta \ \cos\gamma \\ \cos\alpha = \cos(\gamma+\beta) = \cos\gamma \ \cos\beta - \sin\gamma \ \sin\beta \end{array} \right. \]
En multipliant la première équation par \(\sin\beta\) et la seconde par \(\cos\beta\), on obtient :
\[ \left\{ \begin{array}{l} \sin\alpha \ \sin\beta = \sin\gamma \ \sin\beta \ \cos\beta + (\sin\beta)^2 \ \cos\gamma \\ \cos\alpha \ \cos\beta = \cos\gamma \ (\cos\beta)^2 - \sin\gamma \ \sin\beta \ \cos\beta \end{array} \right. \]
En additionant ces deux équations, des termes dans le membre de droite se simplifient et il reste :
\[ \sin\alpha \ \sin\beta + \cos\alpha \ \cos\beta = \cos\gamma \left[ (\cos\beta)^2 + (\sin\gamma)^2 \right] \]
Le terme entre crochet vaut \(1\) et :
\[ \sin\alpha \ \sin\beta + \cos\alpha \ \cos\beta = \cos\gamma \]
Mais comme \(\cos\gamma = \cos(\alpha - \beta)\), cela nous donne la formule du sinus de la différence :
\[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \ \cos\beta + \sin\alpha \ \sin\beta \]
2.2.3. Sinus de la différence
Le formules de sommes nous donnent :
\[ \left\{ \begin{array}{l} \sin\alpha = \sin(\gamma+\beta) = \sin\gamma \ \cos\beta + \sin\beta \ \cos\gamma \\ \cos\alpha = \cos(\gamma+\beta) = \cos\gamma \ \cos\beta - \sin\gamma \ \sin\beta \end{array} \right. \]
En multipliant la première équation par \(\cos\beta\) et la seconde par \(\sin\beta\), on obtient :
\[ \left\{ \begin{array}{l} \sin\alpha \ \cos\beta = \sin\gamma \ (\cos\beta)^2 + \sin\beta \ \cos\beta \ \cos\gamma \\ \cos\alpha \ \sin\beta = \cos\gamma \ \sin\beta \ \cos\beta - \sin\gamma \ (\sin\beta)^2 \end{array} \right. \]
En soustrayant la seconde équation de la première, des termes dans le membre de droite se simplifient et il reste :
\[ \sin\alpha \ \cos\beta - \cos\alpha \ \sin\beta = \sin\gamma \left[ (\cos\beta)^2 + (\sin\gamma)^2 \right] \]
Le terme entre crochet vaut \(1\) et :
\[ \sin\alpha \ \cos\beta - \cos\alpha \ \sin\beta = \sin\gamma \]
Mais comme \(\sin\gamma = \sin(\alpha - \beta)\), cela nous donne la formule du sinus de la différence :
\[ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \ \cos\beta - \cos\alpha \ \sin\beta \]
3. Angle double
3.1. Introduction
On étudie le cas particulier de la somme de deux angles identiques :
3.2. Cosinus de l’angle double
On a :
\[ \cos(2 \ \alpha) = \cos(\alpha+\alpha) = \cos\alpha \ \cos\alpha - \sin\alpha \ \sin\alpha \]
et donc :
\[ \cos(2 \ \alpha) = (\cos\alpha)^2 - (\sin\alpha)^2 \]
3.3. Sinus de l’angle double
On a :
\[ \sin(2 \ \alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha \ \cos\alpha + \sin\alpha \ \cos\alpha \]
et donc :
\[ \sin(2 \ \alpha) = 2 \ \sin\alpha \ \cos\alpha \]
3.4. Tangente de l’angle double
On a :
\[ \tan(\alpha + \alpha) = \frac{\tan\alpha + \tan\alpha}{1 - \tan\alpha \ \tan\alpha} \]
et donc :
\[ \tan(2 \ \alpha) = \frac{2 \ \tan\alpha}{1 - (\tan\alpha)^2} \]
4. Angle moitié
4.1. Carré du cosinus
Soit un angle \(\alpha\). La formule du cosinus de l’angle double nous donne :
\[ \cos(2 \ \alpha) = (\cos\alpha)^2 - (\sin\alpha)^2 \]
En se rappelant la relation fondamentale :
\[ (\cos \alpha)^2 + (\sin \alpha)^2 = 1 \]
on peut remplacer le carré du sinus :
\[ (\sin \alpha)^2 = 1 - (\cos \alpha)^2 \]
dans l’expression du cosinus de l’angle double, ce qui nous donne :
\[ \cos(2 \ \alpha) =(\cos\alpha)^2 - [1 - (\cos\alpha)^2] \]
ou encore :
\[ \cos(2 \ \alpha) = 2 \ (\cos\alpha)^2 - 1 \]
En isolant le carré du cosinus de l’angle \(\alpha\), on obtient :
\[ (\cos\alpha)^2 = \frac{1 + \cos(2 \ \alpha)}{2} \]
Pour mettre en évidence l’angle moitié, il suffit de poser :
\[ \theta = 2 \ \alpha \]
On a alors :
\[ \alpha = \theta/2 \]
et :
\[ \big[ \cos(\theta/2) \big]^2 = \frac{1 + \cos\theta}{2} \]
4.2. Carré du sinus
Soit un angle \(\alpha\). La formule du cosinus de l’angle double nous donne :
\[ \cos(2 \ \alpha) = (\cos\alpha)^2 - (\sin\alpha)^2 \]
Si on remplace le carré du cosinus :
\[ (\cos \alpha)^2 = 1 - (\sin \alpha)^2 \]
dans l’expression du cosinus de l’angle double, on obtient :
\[ \cos(2 \ \alpha) = 1 - 2 \ (\sin\alpha)^2 \]
ou, en isolant le carré du sinus :
\[ (\sin\alpha)^2 = \frac{1 - \cos(2 \ \alpha)}{2} \]
Pour mettre en évidence l’angle moitié, il suffit de poser :
\[ \theta = 2 \ \alpha \]
On a alors :
\[ \alpha = \theta/2 \]
et :
\[ \big[ \sin(\theta/2) \big]^2 = \frac{1 - \cos\theta}{2} \]
4.3. Carré de la tangente
On a aussi :
\[ (\tan\alpha)^2 = \frac{(\sin\alpha)^2}{(\cos\alpha)^2} = \frac{(1 - \cos(2 \ \alpha))/2}{(1 + \cos(2 \ \alpha))/2} \]
et finalement :
\[ (\tan\alpha)^2 = \frac{1 - \cos(2 \ \alpha)}{1 + \cos(2 \ \alpha)} \]
Pour mettre en évidence l’angle moitié, il suffit de poser :
\[ \theta = 2 \ \alpha \]
On a alors :
\[ \alpha = \theta/2 \]
et :
\[ \big[ \tan(\theta/2) \big]^2 = \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta} \]
4.4. Tangente
4.4.1. Première forme
On a :
\[ \tan(\alpha/2) = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} \]
Multiplions le numérateur et le dénominateur de la fraction par \(2 \ \cos(\alpha/2)\) :
\[ \tan(\alpha/2) = \frac{2 \ \sin(\alpha/2) \ \cos(\alpha/2)}{2 \ [\cos(\alpha/2)]^2} \]
Comme \(\alpha\) est l’angle double de \(\alpha/2\), on a :
\[ \sin\alpha = 2 \ \sin(\alpha/2) \ \cos(\alpha/2) \]
et :
\[ \cos\alpha = 2 \ [\cos(\alpha/2)]^2 - 1 \]
Cette dernière relation peut se réécrire :
\[ \cos\alpha + 1 = 2 \ [\cos(\alpha/2)]^2 \]
Notre expression de la tangente devient donc :
\[ \tan(\alpha/2) = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} \]
4.4.2. Deuxième forme
Reprenons l’expression de la tangente de l’angle moitié sous sa première forme :
\[ \tan(\alpha/2) = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} \]
Multiplions le numérateur et le dénominateur de la fraction par \(1 - \cos\alpha\) :
\[ \tan(\alpha/2) = \frac{\sin\alpha \ (1 - \cos\alpha)}{(1 + \cos\alpha) (1 - \cos\alpha)} \]
Appliquons la formule du binôme conjugue :
\[ \tan(\alpha/2) = \frac{\sin\alpha \ (1 - \cos\alpha)}{1 - (\cos\alpha)^2} \]
Comme :
\[ (\sin\alpha)^2 = 1 - (\cos\alpha)^2 \]
cette relation devient :
\[ \tan(\alpha/2) = \frac{\sin\alpha \ (1 - \cos\alpha)}{(\sin\alpha)^2} \]
ce qui nous donne la deuxième forme :
\[ \tan(\alpha/2) = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} \]
5. Formules de Simpson
5.1. Linéarisation
Les formules de linéarisation de Simpson permettent de transformer les produits en sommes.
5.1.1. En partant des cosinus de sommes et différences
- En additionant les deux équations suivantes :
\[ \left\{ \begin{array}{l} \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \ \cos\beta - \sin\alpha \ \sin\beta \\ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \ \cos\beta + \sin\alpha \ \sin\beta \end{array} \right. \]
on obtient :
\[ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \ \cos\alpha \ \cos\beta \]
c’est-à-dire :
\[ \cos\alpha \ \cos\beta = \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)}{2} \]
- En soustrayant la première équation de la seconde, on obtient :
\[ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2 \ \sin\alpha \ \sin\beta \]
c’est-à-dire :
\[ \sin\alpha \ \sin\beta = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)}{2} \]
5.1.2. En partant des sinus de sommes et différences
- En additionant les deux équations suivantes :
\[ \left\{ \begin{array}{l} \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \ \cos\beta + \sin\beta \ \cos\alpha \\ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \ \cos\beta - \sin\beta \ \cos\alpha \end{array} \right. \]
on obtient :
\[ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \ \sin\alpha \ \cos\beta \]
c’est-à-dire :
\[ \sin\alpha \ \cos\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{2} \]
- En soustrayant la seconde équation de la première, on obtient :
\[ \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \ \sin\beta \ \cos\alpha \]
c’est-à-dire :
\[ \cos\alpha \ \sin\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)}{2} \]
5.2. Antilinéarisation
Les formules d’antilinéarisation de Simpson permettent de transformer les sommes en produits.
5.2.1. Moyenne et écart
Le formules de linéarisation utilisent une somme et une différence d’angle. Nous allons inverser ce raisonnement en exprimant deux angles \(\alpha\) et \(\beta\) respectivement comme une somme et une différence de deux variables, que nous appelons \(\mu\) et \(\delta\) :
\[ \alpha = \mu + \delta \]
\[ \beta = \mu - \delta \]
En additionnant ces deux équations, il vient :
\[ \alpha + \beta = \mu + \delta + \mu - \delta = 2 \ \mu \]
c’est-à-dire :
\[ \mu = \frac{\alpha + \beta}{2} \]
La variable \(\mu\) représente la moyenne des deux angles. Si par contre, nous soustrayons la seconde équation de la première, il vient :
\[ \alpha - \beta = \mu + \delta - \mu + \delta = 2 \ \delta \]
c’est-à-dire :
\[ \delta = \frac{\alpha - \beta}{2} \]
La variable \(\delta\) représente la demi-différence des deux angles.
Nous disposons donc des relations inverses entre \(\alpha\), \(\beta\) et \(\mu\), \(\delta\).
Remarquons que :
\[ \delta = \alpha - \mu = \mu - \beta \]
La variable \(\delta\) représente aussi l’écart entre \(\alpha\) ou \(\beta\) et la moyenne \(\mu\).
5.2.2. En partant des cosinus de sommes et différences
- Si on applique la formule de linéarisation des cosinus à \(\mu\) et \(\delta\), on obtient :
\[ \cos(\mu + \delta) + \cos(\mu - \delta) = 2 \ \cos\mu \ \cos\delta \]
c’est-à-dire :
\[ \cos\alpha + \cos\beta = 2 \ \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \ \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \]
- Similairement, on a :
\[ \cos(\mu - \delta) - \cos(\mu + \delta) = 2 \ \sin\mu \ \sin\delta \]
c’est-à-dire :
\[ \cos\beta - \cos\alpha = 2 \ \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \ \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \]
5.2.3. En partant des sinus de sommes et différences
- Si on applique la formule de linéarisation des sinus à \(\mu\) et \(\delta\), on obtient :
\[ \sin(\mu + \delta) + \sin(\mu - \delta) = 2 \ \sin\mu \ \cos\delta \]
c’est-à-dire :
\[ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \ \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \ \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \]
- Similairement, on a :
\[ \sin(\mu + \delta) - \sin(\mu - \delta) = 2 \ \cos\mu \ \sin\delta \]
c’est-à-dire :
\[ \sin\alpha - \sin\beta = 2 \ \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \ \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \]
6. Formule de Mollweide
6.1. Introduction
Soit un triangle quelconque :
Le corollaire de la loi des sinus nous donne :
\[ \frac{a}{c} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} \]
et :
\[ \frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} \]
6.2. Moyenne et écart
Pour plus de concision, on pose :
\[ \mu = \frac{\alpha + \beta}{2} \]
\[ \delta = \frac{\alpha - \beta}{2} \]
6.3. Complémentarité
Comme la somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\), on a :
\[ \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma \]
En divisant cette somme par deux, il vient :
\[ \mu = \frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} \]
Comme le sinus d’un angle est égal au cosinus de l’angle complémentaire, on a :
\[ \sin \mu = \cos(\gamma/2) \]
et vice versa :
\[ \cos \mu = \sin(\gamma/2) \]
6.4. Addition
On a :
\[ \frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} + \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\sin \gamma} \]
L’antilinéarisation de Simpson nous permet de transformer la somme en produit :
\[ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \ \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \ \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \]
ou, en utilisant la moyenne et l’écart :
\[ \sin\alpha + \sin\beta = 2 \ \sin\mu \ \cos\delta \]
Comme \(\gamma\) est l’angle double de \(\gamma / 2\), on a aussi :
\[ \sin\gamma = 2 \ \sin(\gamma/2) \ \cos(\gamma/2) \]
Le rapport de longueurs devient :
\[ \frac{a + b}{c} = \frac{2 \ \sin\mu \ \cos\delta}{2 \ \sin(\gamma/2) \ \cos(\gamma/2)} \]
Comme \(\sin(\gamma/2) = \cos\mu\) et \(\cos(\gamma/2) = \sin\mu\), il vient :
\[ \frac{a + b}{c} = \frac{2 \ \sin\mu \ \cos\delta}{2 \ \cos\mu \ \sin\mu} = \frac{\cos\delta}{\cos\mu} \]
c’est-à-dire :
\[ \frac{a + b}{c} = \frac{\cos\Big[(\alpha - \beta)/2\Big]}{\cos\Big[(\alpha + \beta)/2\Big]} \]
La complémentarite de \(\mu\) et \(\gamma/2\) nous donne la variante :
\[ \frac{a + b}{c} = \frac{\cos\Big[(\alpha - \beta)/2\Big]}{\sin(\gamma/2)} \]
6.5. Soustraction
On a :
\[ \frac{a - b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} - \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} = \frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin \gamma} \]
L’antilinéarisation de Simpson nous permet de transformer la différence en produit :
\[ \sin\alpha - \sin\beta = 2 \ \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \ \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \]
ou, en utilisant la moyenne et l’écart :
\[ \sin\alpha - \sin\beta = 2 \ \sin\delta \ \cos\mu \]
Comme \(\gamma\) est l’angle double de \(\gamma / 2\), on a :
\[ \sin\gamma = 2 \ \sin(\gamma/2) \ \cos(\gamma/2) \]
Le rapport de longueurs devient :
\[ \frac{a - b}{c} = \frac{2 \ \sin\delta \ \cos\mu}{2 \ \sin(\gamma/2) \ \cos(\gamma/2)} \]
Comme \(\sin(\gamma/2) = \cos\mu\) et \(\cos(\gamma/2) = \sin\mu\), il vient :
\[ \frac{a - b}{c} = \frac{2 \ \sin\delta \ \cos\mu}{2 \ \cos\mu \ \sin\mu} = \frac{\sin\delta}{\sin\mu} \]
c’est-à-dire :
\[ \frac{a - b}{c} = \frac{\sin\Big[(\alpha - \beta)/2\Big]}{\sin\Big[(\alpha + \beta)/2\Big]} \]
La complémentarite de \(\mu\) et \(\gamma/2\) nous donne la variante :
\[ \frac{a - b}{c} = \frac{\sin\Big[(\alpha - \beta)/2\Big]}{\cos(\gamma/2)} \]
6.6. Loi des tangentes
La loi des tangente peut se dériver directement de la formule de Mollweide. En effet :
\[ \frac{a - b}{a + b} = \frac{a - b}{c} \cdot \frac{c}{a + b} = \frac{\sin\delta}{\sin\mu} \cdot \frac{\cos\mu}{\cos\delta} \]
que l’on peut réécrire :
\[ \frac{a - b}{a + b} = \frac{\sin\delta / \cos\delta}{\sin\mu / \cos\mu} = \frac{\tan\delta}{\tan\mu} \]
c’est-à-dire :
\[ \frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan\Big[(\alpha - \beta)/2\Big]}{\tan\Big[(\alpha + \beta)/2\Big]} \]
7. Réduction d’une combinaison linéaire de sinus et cosinus
7.1. Réduction
Soit un angle \(\theta\). On peut utiliser les formules de sommes d’angles pour réduire une expression trigonométrique de la forme :
\[ T = a \ \sin \theta + b \ \cos \theta \]
Soit le triangle rectangle de cathétes \(a\) et \(b\) et d’angles aigus \(\alpha\) et \(\beta\) :
On a :
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Notre expression peut se réécrire :
\[ T = \frac{c}{c} \ (a \ \sin \theta + b \ \cos \theta) \]
ou encore :
\[ T = c \ \left( \frac{a}{c} \ \sin \theta + \frac{b}{c} \ \cos \theta \right) \]
Les fractions \(a/c\) et \(b/c\) sont respectivement le cosinus et le sinus de l’angle \(\alpha\) :
\[ T = c \ \left( \cos \alpha \ \sin \theta + \sin \alpha \ \cos \theta \right) \]
L’expression entre parenthèses n’est rien d’autre que le sinus de la somme de \(\theta\) et \(\alpha\), et on a finalement :
\[ a \ \sin \theta + b \ \cos \theta = c \ \sin(\theta + \alpha) \]
Si on utilise l’angle \(\beta\), on a plutôt :
\[ T = c \ \left( \sin \beta \ \sin \theta + \cos \beta \ \cos \theta \right) \]
L’expression entre parenthèses n’est rien d’autre que le cosinus de la différence de \(\theta\) et \(\beta\), et on a finalement :
\[ a \ \sin \theta + b \ \cos \theta = c \ \cos(\theta - \beta) \]
7.2. Résolution d’équation
On peut utiliser cette technique pour résoudre en \(\theta\) une équation de la forme :
\[ a \ \sin \theta + b \ \cos \theta = d \]
En divisant par \(c\), il vient simplement :
\[ \sin(\theta + \alpha) = \frac{d}{c} \]
qui admet notamment comme solution :
\[ \theta = \arcsin\left( \frac{d}{c}\right) - \alpha \]
On a aussi :
\[ \cos(\theta - \beta) = \frac{d}{c} \]
qui admet entre-autres comme solution :
\[ \theta = \beta + \arccos\left( \frac{d}{c}\right) \]