Eclats de vers : Matemat : Trigonométrie : valeurs particulieres

Soi le triangle \(ABC\) isocèle et rectangle en \(B\) :

On définit :

\[ a = \abs{AB} = \abs{BC} \qquad \qquad \qquad c = \abs{AC} \]

• Comme \(ABC\) est isocèle en \(B\), les angles adjacents à la base principale \([A,C]\) sont de même amplitude :

\[ \alpha = \beta \]

Puisque les angles \(\alpha\) et \(\beta\) sont les angles aigus d’un triangle rectangle, il sont complémentaires :

\[ \alpha + \beta = 90^\circ \]

En utilisant l’égalité des deux angles :

\[ 2 \ \alpha = 90^\circ \]

il vient :

\[ \alpha = 45^\circ \]

• Le triangle \(ABC\) est aussi rectangle en \(B\). Le théorème de Pythagore nous donne :

\[ c^2 = a^2 + a^2 = 2 \ a^2 \]

La longueur \(c\) étant un réel positif, il suffit de prendre la racine carrée pour obtenir :

\[ c = a \ \sqrt{2} \]

Notre schéma devient :

• On a par définition :

\[ \cos 45^\circ = \frac{a}{c} = \frac{a}{\sqrt{2} \ a} \]

qui se simplifie en :

\[ \cos 45^\circ = \unsur{\sqrt{2}} \]

En multipliant le numérateur de le dénominateur de la fraction par \(\sqrt{2}\), on obtient :

\[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} \]

c’est-à-dire :

\[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

• On a aussi :

\[ \sin 45^\circ = \frac{a}{c} = \cos 45^\circ \]

On en conclut que :

\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

• La tangente de \(45^\circ\) vaut simplement :

\[ \tan 45^\circ = \frac{a}{a} = 1 \]

Soit le triangle équilatéral \(ABC\) et la hauteur \(h\) qui part du sommet \(C\) :

On définit :

\[ a = \abs{AB} = \abs{BC} = \abs{CA} \]

• La hauteur \(h\) est aussi une médiane du triangle et coupe \([A,B]\) en deux parties de longueurs égales :

\[ \abs{AD} = \abs{BD} = \frac{a}{2} \]

• Le théorème de Pythagore applique au triangle rectangle \(ADC\) nous donne :

\[ a^2 = \left(\frac{a}{2}\right) + h^2 \]

c’est-à-dire :

\[ a^2 = \frac{a^2}{4} + h^2 \]

Isolons \(h^2\) :

\[ h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3 \ a^2}{4} \]

La longueur \(h\) étant un réel positif, on a :

\[ h = \frac{\sqrt{3} \ a}{2} \]

• On a par définition :

\[ \cos 60^\circ = \frac{a/2}{a} \]

qui se simplifie en :

\[ \cos 60^\circ = \unsur{2} \]

• On en déduit le sinus de l’angle complémentaire :

\[ \sin 30^\circ = \cos(90^\circ - 30^\circ) = \cos 60^\circ \]

c’est-à-dire :

\[ \sin 30^\circ = \unsur{2} \]

• On a par définition :

\[ \sin 60^\circ = \frac{h}{a} = \frac{\sqrt{3} \ a}{2 \ a} \]

qui se simplifie en :

\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

• On en déduit le cosinus de l’angle complémentaire :

\[ \cos 30^\circ = \sin(90^\circ - 30^\circ) = \sin 60^\circ \]

c’est-à-dire :

\[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

• En utilisant la relation fondamentale de la tangente, on obtient :

\[ \tan 30^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \unsur{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \unsur{\sqrt{3}} \]

En multipliant le numérateur de le dénominateur de la fraction par \(\sqrt{3}\), cette relation devient :

\[ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} \]

et finalement :

\[ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

• La tangente de \(60^\circ\) vaut donc :

\[ \tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 \]

c’est-à-dire :

\[ \tan 60^\circ = \sqrt{3} \]

Radians	Degrés	sin	cos	tan
\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)
\(\pi/6\)	\(30^\circ\)	\(1/2\)	\(\sqrt{3}/2\)	\(\sqrt{3}/3\)
\(\pi/4\)	\(45^\circ\)	\(\sqrt{2}/2\)	\(\sqrt{2}/2\)	\(1\)
\(\pi/3\)	\(60^\circ\)	\(\sqrt{3}/2\)	\(1/2\)	\(\sqrt{3}\)
\(\pi/2\)	\(90^\circ\)	\(1\)	\(0\)	\(\infty\)