Eclats de vers : Matemat : Valeurs singulières

Table des matières

1. Décomposition en valeurs singulières
2. Représentation tensorielle
3. Dualité
4. Inverse
5. Pseudo-inverse
6. Représentation matricielle
7. Pseudo-inverse
8. Systèmes linéaires
9. Image et noyau
10. Normes
11. Fonctions de matrices

$ \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} $

\label{chap:vs}

1. Décomposition en valeurs singulières

Soit les espaces vectoriels $E$ et $F$ et une application linéaire $A : E \mapsto F$ admettant un dual $A^\dual : F \mapsto E$. Les applications $A^\dual \circ A$ et $A \circ A^\dual$ étant auto-adjointes, il y a fort à parier que leurs valeurs et vecteurs propres possèdent d'importantes propriétés.

Supposons que $A^\dual \circ A$ admette les valeurs propres $\lambda_i \in \corps$ triées par ordre décroissant ($λ₁ ≥ λ₂ ≥ λ₃ ≥ …$) et correspondant aux vecteurs propres $v_i \in E$ formant une suite orthonormée. On a donc :

\[A^\dual \circ A(v_i) = \lambda_i \cdot v_i\]

On voit que les vecteurs $z_i = A(v_i) \in F$ possèdent la propriété :

\[A^\dual(z_i) = A^\dual \circ A(v_i) = \lambda_i \cdot v_i\]

et :

\[A \circ A^\dual(z_i) = A(\lambda_i \cdot v_i) = \lambda_i \cdot A(v_i) = \lambda_i \cdot z_i\]

Les $z_i$ sont donc vecteurs propres de $A \circ A^\dual$ de valeurs propres $\lambda_i$ identiques à celles de $A^\dual \circ A$. On a l'orthogonalité :

$ \scalaire{z_i}{z_j} = \scalaire{A(v_i)}{A(v_j)} = \scalaire{v_i}{A^\dual \circ A(v_j)} = \lambda_j \cdot \scalaire{v_i}{v_j} = \lambda_i \cdot \indicatrice_{ij} $

On voit aussi que les valeurs propres sont positives :

\[\lambda_i = \scalaire{A(v_i)}{A(v_i)} \ge 0\]

Comme elles sont également triées par ordre décroissant, on a $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge ... \ge \lambda_r \strictsuperieur 0$ pour un certain $r \in \setN$, et $\lambda_n = 0$ pour tout $n \strictsuperieur r$. Dans la suite, nous nous restreignons aux valeurs propres non nulles. On peut alors poser :

\[\sigma_i = \sqrt{\lambda_i} \strictsuperieur 0\]

afin de normaliser les $z_i$ :

\[u_i = \unsur{\sigma_i} \cdot z_i = \unsur{\sigma_i} \cdot A(v_i)\]

On a alors :

\[\scalaire{u_i}{u_j} = \scalaire{v_i}{v_j} = \indicatrice_{ij}\]

ainsi que :

\[A^\dual(u_i) = \frac{\lambda_i}{\sigma_i} \cdot v_i = \sigma_i \cdot v_i\]

Nous disposons donc des relations primales et duales :

$ A(v_i) = \sigma_i \cdot u_i $

$ A^\dual(u_i) = \sigma_i \cdot v_i $

Pour tout $x \in \combilin{v_1,...,v_r}$, on a :

\[x = \sum_{i = 1}^r \scalaire{v_i}{x} \cdot v_i\]

et :

\begin{align} A(x) &= \sum_{i = 1}^r \scalaire{v_i}{x} \cdot A(v_i) \) \( &= \sum_{i = 1}^r \scalaire{v_i}{x} \cdot \sigma_i \cdot u_i \end{align}

2. Représentation tensorielle

On conclut de ce qui précède que $A$ peut être représentée sur $\combilin{v_1,...,v_n}$ par le tenseur associé :

\[\mathcal{A} = \sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot u_i \otimes v_i\]

de sorte que :

\[A(x) = \mathcal{A} \cdot x = \contraction{ \mathcal{A} }{1}{x} = \sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot u_i \cdot \scalaire{v_i}{x}\]

On appelle une telle représentation une décomposition en valeurs singulières.

3. Dualité

Le tenseur dual est donc :

\[\mathcal{A}^\dual = \sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot v_i \otimes u_i\]

3.1. Propriétés

On retrouve sans surprise les représentation de :

\begin{align} \mathcal{A}^\dual \cdot \mathcal{A} &= \sum_{i,j = 1}^r \sigma_i \cdot \sigma_j \cdot \scalaire{u_i}{u_j} \cdot v_i \otimes v_j \) \( &= \sum_{i = 1}^r \sigma_i^2 \cdot v_i \otimes v_i \end{align}

et de :

\begin{align} \mathcal{A} \cdot \mathcal{A}^\dual &= \sum_{i,j = 1}^r \sigma_i \cdot \sigma_j \cdot \scalaire{v_i}{v_j} \cdot u_i \otimes u_j \) \( &= \sum_{i = 1}^r \sigma_i^2 \cdot u_i \otimes u_i \end{align}

en fonction de leurs valeurs et vecteurs propres.

4. Inverse

Supposons que $(v_1,...,v_r)$ forme une base de $E$ et que $(u_1,...u_r)$ forme une base de $F$. Soit $x \in E$ et $y \in F$ tels que $y = A(x) = \mathcal{A} \cdot x$. On a :

\[y = \sum_{i = 1}^r \scalaire{u_i}{y} \cdot u_i = \mathcal{A} \cdot x = \sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot u_i \cdot \scalaire{v_i}{x}\]

On en déduit en comparant que $\sigma_i \cdot \scalaire{v_i}{x} = \scalaire{u_i}{y}$, ce qui nous donne les produits scalaires correspondant aux coordonnées de $x$ par rapport aux $v_i$ :

\[\scalaire{v_i}{x} = \unsur{\sigma_i} \cdot \scalaire{u_i}{y}\]

On a donc :

\[x = \sum_i \scalaire{v_i}{x} \cdot v_i = \sum_i \unsur{\sigma_i} \cdot \scalaire{u_i}{y} \cdot v_i\]

Donc, si on pose :

\[\mathcal{A}^{-1} = \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i} \cdot v_i \otimes u_i\]

on a :

\[x = \mathcal{A}^{-1} \cdot y\]

5. Pseudo-inverse

Nous ne supposons à présent plus que les suites de vecteurs $(u_1,...,u_r)$ et $(v_1,...,v_r)$ forment des bases de $E$ et $F$, mais nous définissons malgré tout par analogie le tenseur pseudo-inverse de $A$ par :

\[\mathcal{A}^\pinverse = \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i} \cdot v_i \otimes u_i\]

Le pseudo-inverse $A^\pinverse$ de l'application linéaire correspondante $A$ est donc défini par :

\[A^\pinverse(y) = \mathcal{A}^\pinverse \cdot y = \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i} \cdot v_i \cdot \scalaire{u_i}{y}\]

5.1. Tenseurs de projections

On voit que :

\begin{align} \mathcal{A}^\pinverse \cdot \mathcal{A} &= \sum_{i,j = 1}^r \unsur{\sigma_i} \cdot \sigma_j \cdot \scalaire{u_i}{u_j} \cdot v_i \otimes v_j \) \( &= \sum_{i = 1}^r v_i \otimes v_i \end{align}

correspond au tenseur de projection sur $\combilin{v_1,...,v_r}$. De même :

\begin{align} \mathcal{A} \cdot \mathcal{A}^\pinverse &= \sum_{i,j = 1}^r \sigma_i \cdot \unsur{\sigma_j} \cdot \scalaire{v_i}{v_j} \cdot u_i \otimes u_j \) \( &= \sum_{i = 1}^r u_i \otimes u_i \end{align}

correspond au tenseur de projection sur $\combilin{u_1,...,u_r}$.

5.2. Dualité

On a clairement :

$ (\mathcal{A} \cdot \mathcal{A}^\pinverse)^\dual = \mathcal{A} \cdot \mathcal{A}^\pinverse $

$ (\mathcal{A}^\pinverse \cdot \mathcal{A})^\dual = \mathcal{A}^\pinverse \cdot \mathcal{A} $

5.3. Produits

On déduit des résultats ci-dessus que :

\begin{align} \mathcal{A} \cdot \mathcal{A}^\pinverse \cdot \mathcal{A} &= \sum_{i,j = 1}^r \sigma_i \cdot \scalaire{v_i}{v_j} \cdot u_i \otimes v_j \) $ &= \sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot u_i \otimes v_i $ \( &= \mathcal{A} \end{align}

et :

\begin{align} \mathcal{A}^\pinverse \cdot \mathcal{A} \cdot \mathcal{A}^\pinverse &= \sum_{i,j = 1}^r \unsur{\sigma_i} \cdot \scalaire{u_i}{u_j} \cdot v_i \otimes u_j \) $ &= \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i} \cdot v_i \otimes u_i $ \( &= \mathcal{A}^\pinverse \end{align}

5.4. Orthogonalité

Soit le tenseur identité $\tenseuridentite$. On déduit de ce qui précède les propriétés d'orthogonalité :

$ \mathcal{A} \cdot (\tenseuridentite - \mathcal{A}^\pinverse \cdot \mathcal{A}) = 0 $

$ \mathcal{A}^\pinverse \cdot (\tenseuridentite - \mathcal{A} \cdot \mathcal{A}^\pinverse) = 0 $

6. Représentation matricielle

Soit une matrice $A \in \matrice(\corps,m,n)$ et $p = \min \{ m , n \}$. L'algorithme de décomposition en valeurs singulières est très simple. On évalue :

$ (\Lambda_1, U) = \schur(A \cdot A^\dual) $

$ (\Lambda_2, V) = \schur(A^\dual \cdot A) $

On a alors $U,\Lambda_1 \in \matrice(\corps,n,n)$ et $V,\Lambda_2 \in \matrice(\corps,m,m)$. Comme les matrices $A^\dual \cdot A$ et $A \cdot A^\dual$ sont hermitiennes et que leurs valeurs propres sont identiques, les matrices « triangulaires » obtenues sont en fait diagonales et :

$ \Lambda_1 = \diagonale_n(\lambda_1,...\lambda_p) $

$ \Lambda_2 = \diagonale_m(\lambda_1,...\lambda_p) $

On pose alors $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$ pour $i \in \{1,2,...,p\}$ et on a $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge ... \ge \sigma_r \strictsuperieur 0$ et $\sigma_{r + 1} = ... = \sigma_p = 0$. Les colonnes de $U$ et de $V$ sont les vecteurs propres correspondant :

$ u_i = \colonne_i U $

$ v_i = \colonne_i V $

On a également $U^{-1} = U^\dual$ et $V^{-1} = V^\dual$. La décomposition en valeurs singulières de $A$ s'écrit :

\[A = \sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot u_i \otimes v_i = \sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot u_i \cdot v_i^\dual\]

Si nous posons :

\[S = \diagonale_{m,n}(\sigma_1,...,\sigma_r)\]

on peut réécrire la décomposition de $A$ sous la forme :

\[A = U \cdot S \cdot V^\dual\]

On note alors :

\[(U,S,V) = \singuliere(A)\]

7. Pseudo-inverse

Le pseudo-inverse est donné par :

\[A^\pinverse = \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i} \cdot v_i \cdot u_i^\dual\]

On a donc :

\[S^\pinverse = \diagonale_{n,m}\left(\unsur{\sigma_1},...,\unsur{\sigma_r}\right)\]

et :

\[A^\pinverse = V \cdot S^\pinverse \cdot U^\dual\]

8. Systèmes linéaires

8.1. Moindres carrés

Soit la matrice $A \in \matrice(\corps,m,n)$, le vecteur colonne $b \in \corps^m$ et l'erreur produite par $x \in \corps^n$ :

\[e(x) = b - A \cdot x\]

On dit aussi que $e(x)$ est le résidu du système en $x$. Nous allons tenter de minimiser :

\[\mathcal{E}(x) = e(x)^\dual \cdot e(x) = \norme{e(x)}^2\]

en utilisant la décomposition en valeurs singulières $A = \sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot u_i \cdot v_i^\dual$. Comme $(v_1,...,v_n)$, suite orthonormée et linéairement indépendante, forme une base de $\corps^n$, on peut exprimer $x$ en fonction de ses coordonnées dans cette base :

\[x = \sum_{i = 1}^n x_i \cdot v_i = \sum_{i = 1}^n \scalaire{v_i}{x} \cdot v_i\]

Comme $(u_1,...,u_m)$, suite orthonormée et linéairement indépendante, forme une base de $\corps^m$, on peut exprimer $b$ comme :

\[b = \sum_{i = 1}^m \scalaire{u_i}{b} \cdot u_i\]

On a également :

\[A \cdot x = \sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot u_i \cdot \scalaire{v_i}{x} = \sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot u_i \cdot x_i\]

On en conclut que l'erreur s'écrit :

\[e(x) = \sum_{i = 1}^r (\scalaire{u_i}{b} - \sigma_i \cdot x_i) \cdot u_i + \sum_{i = r + 1}^m \scalaire{u_i}{b} \cdot u_i\]

Posons :

\( e_i(x) =

\begin{cases} \scalaire{u_i}{b} - \sigma_i \cdot x_i & \text{ si } i \in \{1,...,r\} \) $ \scalaire{u_i}{b} & \text{ si } i \in \{r + 1, ...,m\} $ \( \end{cases}

On a alors $e(x) = \sum_{i = 1}^m e_i(x) \cdot u_i$ et :

\[\mathcal{E}(x) = \norme{e(x)}^2 = \sum_{i,j = 1}^m \conjaccent{e}_i(x) \cdot e_j(x) \cdot u_i^\dual \cdot u_j = \sum_{i = 1}^m \abs{e_i(x)}^2\]

On a donc :

\[\mathcal{E}(x) = \sum_{i = 1}^r \abs{\scalaire{u_i}{b} - \sigma_i \cdot x_i}^2 + \sum_{i = r + 1}^m \abs{\scalaire{u_i}{b}}^2\]

Dans le cas où l'on travaille avec des réels, l'annulation de la dérivée par rapport aux $x_i$ nous donne :

\[2 (\scalaire{u_i}{b} - \sigma_i \cdot x_i) = 0\]

lorsque $i \in \{1,...,r\}$. Nous n'avons par contre aucune contrainte sur $x_{r + 1},...,x_n$. Un choix satisfaisant les conditions ci-dessus est donc :

\( x_i =

\begin{cases} \scalaire{u_i}{b} / \sigma_i & \text{ si } i \in \{1,...,r\} \) $ 0 & \text{ si } i \in \{r + 1, ...,n\} $ \( \end{cases}

Notre $x$ potentiellement optimal s'écrit donc :

\[x = \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i} \cdot \scalaire{u_i}{b} \cdot v_i\]

La somme ressemble à une expression faisant intervenir le pseudo-inverse. En effet, on a :

\[A^\pinverse \cdot b = \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i} \cdot v_i \cdot \scalaire{u_i}{b} = x\]

Considérons à présent le cas général complexe. On voit que pour le choix $x = A^\pinverse \cdot b$ :

\[\mathcal{E}(x) = \sum_{i = r + 1}^m \abs{\scalaire{u_i}{b}}^2\]

On en déduit la borne inférieure de l'erreur :

\[\mathcal{E}(z) = \sum_{i = 1}^r \abs{\scalaire{u_i}{b} - \sigma_i \cdot \scalaire{v_i}{z}}^2 + \sum_{i = r + 1}^m \abs{\scalaire{u_i}{b}}^2 \ge \sum_{i = r + 1}^n \abs{\scalaire{u_i}{b}}^2 = \mathcal{E}(x)\]

pour tout $z \in \setC^n$. Le choix $x = A^\pinverse \cdot b$ minimise bien la norme de l'erreur sur $\setC^n$ :

\[x = A^\pinverse \cdot b \in \arg\min_{z \in \setC^n} \mathcal{E}(z)\]

Les $x_{r + 1},...,x_n$ étant des complexes arbitraires, nous allons montrer que l'ensemble optimal s'écrit :

\[\arg\min_{z \in \setC^n} \mathcal{E}(z) = \Gamma = \left\{ \left(A^\pinverse \cdot b + \sum_{i = r + 1}^n x_i \cdot v_i \right) : \ x_{r + 1},...,x_n \in \setC \right\}\]

En effet, on a $\mathcal{E}(z) = \mathcal{E}(x)$ pour tout $z \in \Gamma$. On voit aussi que tout choix de $z \notin \Gamma$ provoque :

\[\sum_{i = 1}^r \abs{\scalaire{u_i}{b} - \sigma_i \cdot \scalaire{v_i}{z}}^2 \strictsuperieur 0\]

et donc $\mathcal{E}(z) \strictsuperieur \mathcal{E}(x)$.

8.2. Projection

On peut réécrire $\Gamma$ sous la forme :

\[\Gamma = \{ A^\pinverse \cdot b \} + \combilin{v_{r + 1},...,v_n}\]

Soit la matrice de projection :

\[P = \sum_{i = r + 1}^n v_i \otimes v_i\]

On sait que $P \cdot z \in \combilin{v_{r + 1},...,v_n}$ pour tout $z \in \setC^n$ et que $P \cdot y = y$ pour tout $y \in \combilin{v_{r + 1},...,v_n}$. On en conclut que tout $x \in \Gamma$ peut s'écrire sous la forme :

\[x = A^\pinverse \cdot b + P \cdot z\]

pour un certain $z \in \corps^n$. La matrice de projection $P$ est également la complémentaire de la projection sur $\combilin{v_1,...,v_r}$. Or, on a a vu que $A^\pinverse \cdot A$ est précisément cette matrice de projection. On retrouve donc fort logiquement :

\[I - A^\pinverse \cdot A = \sum_{i = 1}^n v_i \otimes v_i - \sum_{i = 1}^r v_i \otimes v_i = \sum_{i = r + 1}^n v_i \otimes v_i = P\]

On a donc en définitive des vecteurs optimaux de la forme :

\[x = A^\pinverse \cdot b + (I - A^\pinverse \cdot A) \cdot z\]

8.3. Solutions

Soit l'espace des solutions :

\[S = \{ x \in \setC^n : A \cdot x = b \} = \{ x \in \setC^n : \mathcal{E}(x) = 0 \}\]

Si $\scalaire{u_{r + 1}}{b} = ... = \scalaire{u_m}{b} = 0$, le minimum de l'erreur est nul et $\mathcal{E}(x) = 0$ pour tout $x \in \Gamma$. On en conclut que $x \in S$, d'où $\Gamma \subseteq S$. D'un autre coté, tout $z \in S$ minimise $\mathcal{E}(z) = 0$. On a donc également $S \subseteq \Gamma$ et finalement $\Gamma = S$.

Inversément, si $S \ne \emptyset$, on conclut que $\scalaire{u_{r + 1}}{b} = ... = \scalaire{u_m}{b} = 0$.

8.4. Norme contrainte

Supposons que $S \ne \emptyset$. Soit $x \in \Gamma = S$, que l'on écrit sous la forme :

\begin{align} x &= A^\pinverse \cdot b + \sum_{i = r + 1}^n x_i \cdot v_i \) $ &= \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i} \cdot v_i \cdot \scalaire{u_i}{b} + \sum_{i = r + 1}^n x_i \cdot v_i $ \( \end{align}

Par orthonormalité des $v_i$, on a :

\[\norme{x}^2 = x^\dual \cdot x = \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i^2} \cdot \abs{\scalaire{u_i}{b}}^2 + \sum_{i = r + 1}^n \abs{x_i}^2\]

On voit que :

\[\norme{x}^2 \ge \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i^2} \cdot \abs{\scalaire{u_i}{b}}^2 = \norme{A^\pinverse \cdot b}^2\]

On en conclut que le choix $x = A^\pinverse \cdot b$ minimise la norme de $x$ sur $S$ :

\[A^\pinverse \cdot b \in \arg\min_{z \in S} \norme{z}^2\]

8.5. Lien avec les résultats précédents

On a montré précédemment en dérivant les expressions matricielles que le choix :

\[x = (A^\dual \cdot A)^{-1} \cdot A^\dual \cdot b\]

minimise également l'erreur $\mathcal{E}$ sur $\setR^n$ lorsque l'inverse de $A^\dual \cdot A$ existe. Si tel est le cas, on a :

\[(A^\dual \cdot A)^{-1} = \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i^2} \cdot v_i \otimes v_i\]

et :

\begin{align} (A^\dual \cdot A)^{-1} \cdot A^\dual &= \sum_{i,j = 1}^r \frac{\sigma_j}{\sigma_i^2} \cdot \scalaire{v_i}{v_j} \cdot v_i \otimes u_j \) \( &= \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i} \cdot v_i \otimes u_i = A^\pinverse \end{align}

On a vu aussi en utilisant les multiplicateurs de lagrange que le choix :

\[x = A^\dual \cdot (A \cdot A^\dual)^{-1} \cdot b\]

minimise également la norme de $x$ sur $S$ lorsque l'inverse de $A \cdot A^\dual$ existe. Si tel est le cas, on a :

\[(A \cdot A^\dual)^{-1} = \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i^2} \cdot u_i \otimes u_i\]

et :

\begin{align} A^\dual \cdot (A \cdot A^\dual)^{-1} &= \sum_{i,j = 1}^r \frac{\sigma_i}{\sigma_j^2} \cdot \scalaire{u_i}{u_j} \cdot v_i \otimes u_j \) \( &= \sum_{i = 1}^r \unsur{\sigma_i} \cdot v_i \otimes u_i = A^\pinverse \end{align}

9. Image et noyau

Tout vecteur $b = A \cdot x = \sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot \scalaire{v_i}{x} \cdot u_i$ est exprimé comme une combinaison linéaire des $(u_1,...,u_r)$. On en conclut que $\image A \subseteq \combilin{u_1,...,u_r}$. Réciproquement, si $b \in \combilin{u_1,...,u_r}$, on a $\scalaire{u_{r + 1}}{b} = \scalaire{u_m}{b} = 0$ et l'espace des solutions $\{ x \in \setC^n : A \cdot x = b\}$ n'est pas vide. On en conclut que $\combilin{u_1,...,u_r} \subseteq \image A$. D'où finalement :

\[\image A = \combilin{u_1,...,u_r}\]

Tout vecteur $z \in \combilin{v_{r + 1},...,v_n}$ vérifie $\scalaire{v_1}{z} = ... = \scalaire{v_r}{z} = 0$. On en déduit que $A \cdot z = \sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot 0 \cdot u_i = 0$ et que $\combilin{v_{r + 1},...,v_n} \subseteq \noyau A$. Réciproquement, si $z \in \noyau A$, on a $\sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot \scalaire{v_i}{z} \cdot u_i = 0$ ce qui implique $\scalaire{v_1}{z} = ... = \scalaire{v_r}{z} = 0$. On en conclut que $\noyau A \subseteq \combilin{v_{r + 1},...,v_n}$. D'où finalement :

\[\noyau A = \combilin{v_{r + 1},...,v_n}\]

10. Normes

La décomposition en valeurs singulières permet d'évaluer facilement la norme usuelle des applications linéaires :

\[\norme{A}_\lineaire = \sup_{x \ne 0} \frac{\norme{A \cdot x}}{\norme{x}} = \max \{\sigma_1,...,\sigma_r\}\]

ainsi que la norme de Frobénius :

\[\norme{A}_F = \sqrt{A^\dual : A} = \sqrt{\sum_{i = 1}^r \sigma_i^2}\]

11. Fonctions de matrices

La décomposition en valeurs singulières permet d'étendre la définition d'une fonction $f : \setR \mapsto \setR$. Soit la décomposition de $A$ :

\[A = \sum_{i = 1}^r \sigma_i \cdot u_i \cdot v_i^\dual\]

On définit alors :

\[f(A) = \sum_{i = 1}^r f(\sigma_i) \cdot u_i \cdot v_i^\dual\]