Eclats de vers : Matemat : Vecteurs de dimension finie
Table des matières
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
1. Produit cartésien d’un corps \(\corps\)
Soit un corps \(\corps\). Nous considérons dans ce chapitre les n-tuples appartenant à \(\corps^n\). On nomme vecteur un élément de \(\corps^n\).
En pratique, le corps \(\corps\) sera le plus souvent \(\setR\) ou \(\setC\).
1.1. Scalaire
Par opposition aux vecteurs de \(\corps^n\), un élément du corps \(\corps\) est appelé un scalaire.
2. Vecteur colonne
On peut représenter un n-tuple \((u_1,u_2,...,u_n) \in \corps^n\) sous la forme d’une colonne de \(u_i\) :
\[ u = \begin{Matrix}{c} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{Matrix} \]
On appelle vecteur colonne une telle représentation.
Dans la suite de cet ouvrage, les vecteurs de \(\corps^n\) seront des vecteurs colonnes par défaut.
2.1. Composantes
On peut aussi définir un vecteur colonne \(u\in\corps^n\) en termes de composantes :
\[ u = (u_i)_{i \in \{1,2,...,n\}} \]
Lorsque le nombre de lignes est évident d’après le contexte, on note plus simplement :
\[u = (u_i)_i\]
ou encore :
\[u = [u_i]_i\]
On dit aussi que \(u_i\) est la \(i^{ème}\) composante de \(u\), et on le note :
\[u_i = \composante_i u\]
3. Vecteur ligne
On peut représenter un n-tuple \((u_1,u_2,...,u_n) \in \corps^n\) sous la forme d’une ligne de \(u_i\) :
\[u = [u_1 \ \ u_2 \ \ldots \ \ u_n]\]
On appelle vecteur ligne une telle représentation.
4. Transposition
4.1. Colonne vers ligne
Soit le vecteur colonne :
\[ u = \begin{Matrix}{c} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{Matrix} \]
On appelle transposé de \(u\), et on le note :
\[ u^T \]
le vecteur ligne défini par les mêmes composantes :
\[u^T = \begin{Matrix}{c} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{Matrix}^T = [u_1 \ \ u_2 \ \ldots \ \ u_n]\]
4.2. Ligne vers colonne
Soit le vecteur ligne :
\[u = [u_1 \ \ u_2 \ \ldots \ \ u_n]\]
On appelle transposé de \(u\), et on le note :
\[ u^T \]
le vecteur colonne défini par les mêmes composantes :
\[ u^T = [u_1 \ \ u_2 \ \ldots \ \ u_n]^T = \begin{Matrix}{c} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{Matrix} \]
4.3. Équivalence
On voit qu’il existe un équivalence entre le vecteur colonne :
\[ u = \begin{Matrix}{c} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{Matrix} \]
et le vecteur ligne correspondant :
\[u^T = [u_1 \ \ u_2 \ \ldots \ \ u_n]\]
5. Vecteur nul
Le vecteur nul \(0_n \in \corps^n\) est défini par :
\[ 0_n = (0)_i = \begin{Matrix}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{Matrix} \]
Lorsqu’on ne risque pas de confondre le vecteur nul de \(\corps^n\) avec l’élément nul de \(\corps\), on peut le noter plus simplement :
\[ 0 = (0)_i = \begin{Matrix}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{Matrix} \]
6. Opérations
6.1. Addition induite
Soit deux vecteurs colonne \(u\) et \(v\) :
\[ u = (u_i)_i \]
\[ v = (v_i)_i \]
on a :
\[ u + v = \begin{Matrix}{c} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{Matrix} \]
c’est-à-dire :
\[ u + v = (u_i + v_i)_i \]
L’addition entre deux vecteurs est donc induite par l’addition du corps \(\corps\).
6.2. Multiplication par un scalaire
Soit le vecteur :
\[ u = (u_i)_i \]
Pour rester cohérent avec le produit sur les scalaires, on note :
\[ 2 \ u = u + u \]
On a donc :
\[ 2 \ u = \begin{Matrix}{c} u_1 + u_1 \\ u_2 + u_2 \\ \vdots \\ u_n + u_n \end{Matrix} = \begin{Matrix}{c} 2 \ u_1 \\ 2 \ u_2 \\ \vdots \\ 2 \ u_n \end{Matrix} \]
On généralise cette notation pour tout \(\alpha \in \corps\) :
\[ \alpha \cdot u = \begin{Matrix}{c} \alpha \cdot u_1 \\ \alpha \cdot u_2 \\ \vdots \\ \alpha \cdot u_n \end{Matrix} \]
c’est-à-dire :
\[ \alpha \cdot u = (\alpha \cdot u_i)_i \]
L’élément \(\alpha\) effectue donc une mise à échelle du vecteur, d’où le nom de scalaire.
6.3. Propriétés
Soit les vecteurs colonnes \(u,v,w \in \corps^n\), les scalaires \(\alpha, \beta \in \corps\), le vecteur nul \(0 \in \corps^n\) et le scalaire neutre pour la multiplication \(1 \in \corps\). On a :
\begin{align*} 0 + u &= u \\ u + (-u) &= 0 \\ 1 \cdot u &= 1 \\ u + v &= v + u \\ u + (v + w) &= (u + v) + w \\ (\alpha \cdot \beta) \cdot u &= \alpha \cdot (\beta \cdot u) \\ (\alpha + \beta) \cdot u &= \alpha \cdot u + \beta \cdot u \\ \alpha \cdot (u + v) &= \alpha \cdot u + \alpha \cdot v \end{align*}On voit que l'addition induite sur \(\corps^n\) par l'addition de \(\corps\) transforme \(\corps^n\) en groupe commutatif.
7. Vecteurs canoniques
Soit \(i \in \{1,2,...,n\}\). On note \(\canonique_i\) le vecteur colonne de \(\corps^n\) ayant un \(1\) en \(i^{ème}\) position et des \(0\) partout ailleurs :
\[ \canonique_i = ( \indicatrice_{ij} )_j = \begin{Matrix}{c} \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{Matrix} \]
On a donc la suite de vecteurs :
\begin{align*} \canonique_1 &= [1 \ 0 \ \ldots \ 0]^T \\ \canonique_2 &= [0 \ 1 \ \ldots \ 0]^T \\ \vdots \\ \canonique_n &= [0 \ \ldots \ 0 \ 1]^T \end{align*}On nomme base canonique de \(\corps^n\) la suite \((\canonique_1,\canonique_2,...,\canonique_n)\).
7.1. Composantes et base canonique
On a, pour tout vecteur \(u\in\corps^n\) défini par :
\[ u = (u_i)_i \]
l’identité le reliant aux vecteurs de la base canonique :
\[u = \sum_{i = 1}^n u_i \cdot \canonique_i\]