Eclats de vers : Matemat : Dérivées de fonctions trigonométriques
Table des matières
\label{chap:diffpoly}
1. Limites en zéro
1.1. Géométrie
On a vu dans la section sur le périmètre du cercle que :
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n} = 1 \]
Nous allons à présent étendre ce résultat à une limite pour un angle réel qui tend vers zéro.
1.2. Fonction sinc
La fonction \(\mathrm{sinc} : \setR \mapsto \setR\) est définie par :
\[ \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x} \]
pour tout \(x \in \setR\). Nous allons étudier sa limite en zéro, car ce résultat nous permettra ensuite de dériver les fonctions trigonométriques.
Examinons le schéma ci-dessous :
Le schéma nous montre clairement que :
\[ \sin \alpha \le x \le \tan \alpha \]
Le rayon de l’arc de cercle \(\arcdecercle{AB}\) valant \(1\), sa longueur \(x\) est égale à l’amplitude de l’angle \(\alpha\) correspondant :
\[ \alpha = \frac{x}{1} = x \]
On a donc :
\[ \sin \alpha = \sin x \]
\[ \tan \alpha = \tan x \]
L’encadrement ci-dessus devient alors :
\[ \sin x \le x \le \tan x \]
En divisant la première inégalité par \(x\), on obtient :
\[ \frac{\sin x}{x} \le 1 \]
En multipliant la seconde inégalité par :
\[ \frac{\cos x}{x} \]
on obtient :
\[ x \ \frac{\cos x}{x} \le \tan x \ \frac{\cos x}{x} = \frac{\sin x}{\cos x} \frac{\cos x}{x} = \frac{\sin x}{x} \]
c’est-à-dire :
\[ \cos x \le \frac{\sin x}{x} \]
On a donc un nouvel encadrement :
\[ \cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1 \]
que l’on peut réécrire en terme de fonction sinc :
\[ \cos x \le \mathrm{sinc}(x) \le 1 \]
Comme :
\[ \lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1 \]
et :
\[ \lim_{x \to 0} 1 = 1 \]
le théorème de l’étau nous dit que la limite de la fonction sinc existe également en zéro et que :
\[ \lim_{x \to 0} \mathrm{sinc}(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]
1.3. (Cosinus \(x\) moins un) sur \(x\)
Examinons la limite :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} \]
La formule du cosinus de l’angle double :
\[ \cos(2 \ \alpha) = 1 - 2 \ (\sin\alpha)^2 \]
en \(\alpha = x / 2\) nous donne :
\[ \cos x = 1 - 2 \ \big(\sin(x/2)\big)^2 \]
c’est-à-dire :
\[ \cos x - 1 = 2 \ \big(\sin(x/2)\big)^2 \]
La limite peut donc se réécrire :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \ \big(\sin(x/2)\big)^2}{x} \]
ou, en faisant passer le facteur 2 au dénominateur :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\big(\sin(x/2)\big)^2}{x/2} \]
En séparant les deux facteurs sinus du carré, on obtient :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = \left[\lim_{x \to 0} \sin(x/2)\right] \cdot \left[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{x/2}\right] \]
Il est équivalent de faire tendre \(x\) vers zéro ou \(\alpha = x/2\) vers zéro :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = \left[\lim_{x \to 0} \sin(x/2)\right] \cdot \left[\lim_{\alpha \to 0} \frac{\sin\alpha}{\alpha}\right] = 0 \cdot 1 = 0 \]
On a donc en définitive :
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0 \]
2. Cosinus
On a par définition :
\[ \OD{\cos}{x}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x + h)- \cos x}{h} \]
En utilisant la formule du cosinus d’une somme, le mebre de droite devient :
\[ \OD{\cos}{x}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \ \cos h - \sin x \ \sin h - \cos x}{h} \]
Regroupons les cosinus ensemble :
\[ \OD{\cos}{x}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \ \cos h - \cos x}{h} - \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \ \sin h}{h} \]
et mettons \(\cos x\) en évidence, afin de le sortir de la limite :
\[ \OD{\cos}{x}(x) = \cos x \ \lim_{h \to 0} \frac{(\cos h - 1)}{h} - \sin x \ \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \]
Les résultats du début de ce chapitre nous montrent que :
\[ \OD{\cos}{x}(x) = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 \]
c’est-à-dire :
\[ \OD{\cos}{x}(x) = - \sin x \]
3. Sinus
On a par définition :
\[ \OD{\sin}{x}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h)- \sin x}{h} \]
En utilisant la formule du sinus d’une somme, le membre de droite devient :
\[ \OD{\sin}{x}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \ \cos h + \sin h \ \cos x - \sin x}{h} \]
Regroupons les \(\sin x\) ensemble :
\[ \OD{\sin}{x}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \ \cos h - \sin x}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{\sin h \ \cos x}{h} \]
et mettons \(\sin x\) en évidence, afin de le sortir de la limite :
\[ \OD{\sin}{x}(x) = \sin x \ \lim_{h \to 0} \frac{(\cos h - 1)}{h} + \cos x \ \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \]
Les résultats du début de ce chapitre nous montrent que :
\[ \OD{\sin}{x}(x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 \]
c’est-à-dire :
\[ \OD{\sin}{x}(x) = \cos x \]