Eclats de vers : Matemat : Hexagone régulier

Soit un hexagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_6\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On trace les rayons de \(\mathscr{C}\) reliant le centre aux sommets de l’hexagone, découpant ainsi la figure en six triangles intérieurs :

Nous avons tenu compte du caractère isocèle des triangles intérieurs dans la notation des angles.

Dans les triangles \(O P_1 P_2\) et \(O P_2 P_3\) on a :

\[ \abs{P_1 P_2} = \abs{P_2 P_3} \]

car l’hexagone est régulier et :

\[ \abs{O P_1} = \abs{O P_2} = r \]

\[ \abs{O P_2} = \abs{O P_3} = r \]

par définition du cercle circonscrit. Ces triangles ont leurs trois côtés de mêmes longueurs et sont donc isométriques. Un raisonnement analogue nous montre que tous les triangles intérieurs de l’hexagone sont isométriques :

\[ O P_1 P_2 \qquad O P_2 P_3 \qquad O P_3 P_4 \]

\[ O P_4 P_5 \qquad O P_5 P_6 \qquad O P_6 P_1 \]

On a en particulier :

\[ \alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_6 \]

\[ \beta_1 = \beta_2 = \ldots = \beta_6 \]

Posons :

\[ \alpha = \alpha_1 \]

\[ \beta = \beta_1 \]

Les angles \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\ldots\), \(\alpha_6\) forment ensemble un tour complet :

\[ \sum_{i=1}^6 \alpha_i = 6 \ \alpha = 2 \ \pi \]

En isolant \(\alpha\), on obtient :

\[ \alpha = \frac{2 \ \pi}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ \]

La somme des angles dans le triangle \(O P_1 P_2\) nous donne :

\[ \alpha + 2 \ \beta = 60^\circ + 2 \ \beta = 180^\circ \]

En isolant \(\beta\), on obtient :

\[ \beta = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ \]

Les triangles intérieurs ont donc leurs trois angles de même amplitude :

\[ \alpha = \beta = 60^\circ \]

Ce sont donc des triangles équilatéraux. On en déduit que le côté \(c\) de l’hexagone régulier est de même longueur que le rayon du cercle circonscrit :

\[ c = r \]

Ce résultat montre aussi que les angles internes d’un hexagone valent :

\[ 2 \ \beta = 120^\circ \]

Le schéma devient donc :

On a aussi les angles internes :

On remarque que :

\[ \abs{\angleflex{P_1 O P_4}} = 3 \ \alpha = 180^\circ \]

Les points \(O\), \(P_1\) et \(P_4\) sont alignés, ce qui signifie que \(O\) se situe sur la $2$-diagonale \([P_1, P_4]\). Cette diagonale est donc un diamètre du cercle \(\mathscr{C}\).

Un raisonnement similaire nous montre que le centre du cercle circonscrit est situé sur toutes les $2$-diagonales :

\[ [P_1, P_4] \qquad \qquad \qquad [P_2, P_5] \qquad \qquad \qquad [P_3, P_6] \]

Ces $2$-diagonales sont donc aussi des diamètres du cercle.

Dans un hexagone régulier :

• deux rayons qui aboutissent à deux sommets consécutifs forment un angle au centre de \(60^\circ\)
• l’angle formé par un côté et un rayon qui aboutit à une de ses extrémités a une amplitude de \(60^\circ\)
• le côté a la même longueur que le rayon du cercle circonscrit
• l’angle interne a une amplitude de \(120^\circ\)
• les $2$-diagonales sont des diamètres

Soit un hexagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_6\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On trace la diagonale courte \([P_2, P_6]\) :

Nous avons tenu compte des résultats précédents et du caractère isocèle des triangles dans la notation des angles.

Examinons le triangle isocèle \(P_1 P_2 P_6\). La somme des angles nous donne :

\[ 2 \ \alpha + 120^\circ = 180^\circ \]

On en déduit l’amplitude de \(\alpha\) :

\[ \alpha = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ \]

Un raisonnement analogue nous donne le même résultat pour les autres diagonales courtes.

Soit un hexagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_6\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On trace la diagonale courte \([P_2, P_6]\) et les rayons \([O,P_2]\) et \([O,P_6\)] :

Nous avons tenu compte des résultats précédents et du caractère isocèle des triangles dans la notation des angles.

On voit que :

\[ \theta = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \]

Examinons le triangle isocèle \(O P_2 P_6\). La somme des angles nous donne :

\[ 2 \ \alpha + \theta = 2 \ \alpha + 120^\circ = 180^\circ \]

On en déduit l’amplitude de \(\alpha\) :

\[ \alpha = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ \]

Un raisonnement analogue nous donne le même résultat pour les autres diagonales courtes.

Soit un hexagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_6\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On trace les diagonales courtes \([P_1,P_3]\) et \([P_1,P_5]\) :

L’angle \(\alpha\) forme, avec deux angles de \(30^\circ\), un angle interne de \(120^\circ\) :

\[ \alpha + 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ \]

On en déduit que :

\[ \alpha = 120^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \]

Soit un hexagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_6\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On trace la diagonale courte \([P_2,P_6]\) et le diamètre \([P_3,P_6]\) :

Le côté \([P_3, P_6]\) du triangle \(P_3 P_6 P_2\) est un diamètre du cercle. Ce triangle est donc rectangle en \(P_2\) :

\[ \angleflex{P_3 P_2 P_6} = 90^\circ \]

On note :

\[ L = \abs{P_2 P_6} \]

la longueur de la diagonale courte.

La longueur d’un diamètre vaut deux fois le rayon :

\[ \abs{P_3 P_6} = 2 \ r \]

Le théorème de Pythagore appliqué au triangle \(P_3 P_6 P_2\) nous donne :

\[ (2 \ r)^2 = r^2 + L^2 \]

ou encore :

\[ 4 \ r^2 = r^2 + L^2 \]

Isolons \(L^2\) :

\[ L^2 = 4 \ r^2 - r^2 = 3 \ r^2 \]

En prenant la racine, on obtient :

\[ L = r \ \sqrt{3} \]

Un raisonnement similaire nous montre que toutes les diagonales courtes sont de la même longueur :

\[ [P_1, P_3] \qquad \qquad \qquad [P_3, P_5] \qquad \qquad \qquad [P_5, P_1] \]

\[ [P_2, P_4] \qquad \qquad \qquad [P_4, P_6] \qquad \qquad \qquad [P_6, P_2] \]

Soit un hexagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_6\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On trace le triangle \(P_1 P_3 P_5\) dont les côtés sont les diagonales courtes \([P_1, P_3]\), \([P_3, P_5]\) et \([P_5, P_1]\) :

Nous avons tenu compte des résultats précédents et du caractère isocèle des triangles dans la notation des angles.

• Comme :

\[ \abs{P_1 P_3} = \abs{P_3 P_5} = \abs{P_5 P_1} = r \ \sqrt{3} \]

le triangle \(P_1 P_3 P_5\) est équilatéral. Ses angles valent \(60^\circ\).

• La somme des angles du triangle isocèle \(P_1 P_2 P_3\) nous donne :

\[ 2 \ \alpha + 120^\circ = 180^\circ \]

En isolant \(\alpha\), on obtient :

\[ \alpha = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ \]

Un raisonnement similaire nous montre le même résultat pour les autres triangles isocèles entourant le grand triangle équilatéral \(P_1 P_3 P_5\) :

\[ P_3 P_4 P_5 \qquad \qquad P_5 P_6 P_1 \]

Ces triangles ont donc un angle de \(120^\circ\) et deux angles de \(30^\circ\).

• Notre schéma devient :

En utilisant un raisonnement similaire, on obtient le même résultat pour le triangle \(P_2 P_4 P_6\) formé par les autres diagonales courtes :

Nous avons établi que :

• les diagonales courtes forment deux triangles équilatéraux
• les triangles isocèles entourant un triangle équilatéral formé par les diagonale courtes ont un angle de \(120^\circ\) et deux angles de \(30^\circ\)

Soit un hexagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_6\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). Traçons le losange \(O P_6 P_1 P_2\) :

Nous avons tenu compte dans la notation :

• des résultats précédents concernant l’hexagone régulier
• des propriétés du losange, et en particulier de ses diagonales
  • qui se croisent perpendiculairement en leur milieu
  • qui sont les bissectrices des angles situés à leurs extrémités

On définit :

\[ a = \abs{I O} = \abs{I P_1} \qquad \qquad \qquad b = \abs{I P_2} = \abs{I P_6} \]

• Le rayon \([O, P_1]\) mesure \(r\) mais aussi \(2 \ a\) :

\[ 2 \ a = r \]

On en déduit que :

\[ a = \frac{r}{2} \]

• Comme \([P_2, P_6]\) est une diagonale courte, sa longueur vaut :

\[ \abs{P_2 P_6} = r \ \sqrt{3} \]

On a aussi :

\[ \abs{P_2 P_6} = 2 \ b \]

On en déduit que :

\[ 2 \ b = r \ \sqrt{3} \]

d’où :

\[ b = \frac{r \ \sqrt{3}}{2} \]

• Puisque \([P_2, P_6]\) est la bissectrice de l’angle \(\angleflex{O P_2 P_1}\), on a :

\[ 2 \ \alpha = 60^\circ \]

c’est-à-dire :

\[ \alpha = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \]

• Puisque \([P_2, P_6]\) est la bissectrice de l’angle \(\angleflex{P_1 P_6 O}\), on a :

\[ 2 \ \beta = 60^\circ \]

c’est-à-dire :

\[ \beta = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \]

Nous avons établi que :

• les rayons du cercle circonscrit passant par les sommets sont les médiatrices des diagonales courtes
• les diagonales courtes sont les médiatrices des rayons du cercle circonscrit qui passent par le sommet intermédiaire
• l’angle formé par une diagonale courte et un rayon qui passe par une de ses extrémités a une amplitude de \(30^\circ\)
• l’angle formé par un côté et la diagonale courte la plus proche qui passe par une de ses extrémités a une amplitude de \(30^\circ\)

Notre schéma devient :

Remarque : les propriétés des rayons sont aussi valables pour les diamètres incluant ces rayons.

Soit un hexagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_6\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). Si on trace toutes les diagonales courtes, on obtient deux triangles équilatéraux entrecroisés qui forment ensemble une étoile à six branches. Cette figure est appelée un hexagramme :

Si nous ajoutons les angles de \(30^\circ\) des six triangles isocèles entourant les grands triangles équilatéraux de l’hexagramme :

\[ P_1 P_2 P_3 \qquad \qquad \qquad P_3 P_4 P_5 \qquad \qquad \qquad P_5 P_6 P_1 \]

\[ P_2 P_3 P_4 \qquad \qquad \qquad P_4 P_5 P_6 \qquad \qquad \qquad P_6 P_1 P_2 \]

le schéma devient :

Si nous ajoutons aussi les diamètres passant par les sommets, toutes les diagonales de l’hexagone sont alors représentées :

Le tracé de l’hexagramme produit un deuxième hexagone régulier, dans lequel on peut tracer un deuxième hexagramme :

Ce tracé produit un troisième hexagone, dans lequel on peut tracer un troisième hexagramme :

On peut continuer ainsi indéfiniment.

Soit un hexagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_6\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On trace le grand triangle équilatéral \(P_1 P_3 P_5\), deux diamètres et quelques intersections :

Nous avons tenu compte dans la notation :

• des résultats précédents concernant l’hexagone régulier
  • en particulier sur les losanges du type \(O P_1 P_2 P_3\)
• des propriétés du cerf-volant \(G O H P_1\), et en particulier de ses diagonales

On définit les distances :

\[ a = \abs{OI} \qquad \qquad b = \abs{GI} \qquad \qquad d = \abs{IJ} \qquad \qquad e = \abs{GH} \qquad \qquad f = \abs{GJ} \]

La diagonale \([P_1,O]\) traverse les deux triangles isocèles qui composent le cerf-volant \(G O H P_1\), c’est donc la médiatrice de l’autre diagonale \([G,H]\), comme indiqué sur le schéma. On a donc :

\[ b = \abs{GI} = \abs{IH} \]

On a :

\[ f = b + d \qquad \qquad \qquad e = 2 \ b \]

• Dans le triangle rectangle \(GOI\), on a par définition du cosinus :

\[ \cos 60^\circ = \frac{a}{r/2} \]

Isolons \(a\) :

\[ a = \frac{r}{2} \ \cos 60^\circ \]

Comme le cosinus de \(60^\circ\) vaut \(1/2\), cette équation devient :

\[ a = \frac{r}{2} \cdot \unsur{2} = \frac{r}{4} \]

• Le sinus nous donne :

\[ \sin 60^\circ = \frac{b}{r/2} \]

Isolons \(b\) :

\[ b = \frac{r}{2} \ \sin 60^\circ \]

Comme le sinus de \(60^\circ\) vaut \(\sqrt{3}/2\), cette équation devient :

\[ b = \frac{r}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r \ \sqrt{3}}{4} \]

Dans le triangle \(OJI\), le théorème de Pythagore s’écrit :

\[ r^2 = a^2 + d^2 \]

Comme \(a = r/4\), cette relation devient :

\[ r^2 = \frac{r^2}{16} + d^2 \]

Isolons \(d^2\) :

\[ d^2 = r^2 - \frac{r^2}{16} \]

Mettons les membres de droite au même dénominateur :

\[ d^2 = \frac{16 \ r^2 - r^2}{16} = \frac{15 \ r^2}{16} \]

Il ne nous reste plus qu’à prendre la racine carrée pour obtenir la valeur de \(d\) :

\[ d = \frac{r \ \sqrt{15}}{4} \]

• On a :

\[ f = b + d = \frac{r \ \sqrt{3}}{4} + \frac{r \ \sqrt{15}}{4} \]

Remarquons que :

\[ \sqrt{15} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \]

L’expression de \(f\) devient :

\[ f = \frac{r \ \sqrt{3}}{4} + \frac{r \ \sqrt{3} \ \sqrt{5}}{4} \]

Mettons en évidence au membre de droite :

\[ f = \frac{r \ \sqrt{3}}{4} \ \left( 1 + \sqrt{5} \right) \]

Soit le nombre d’or :

\[ \phi = \frac{ 1 + \sqrt{5} }{2} \]

Le terme entre parenthèses est le double de \(\phi\) :

\[ f = \frac{r \ \sqrt{3}}{4} \cdot 2 \ \phi \]

On a donc finalement :

\[ f = \frac{r \ \sqrt{3}}{2} \ \phi \]

• D’un autre côté, on a :

\[ e = 2 \ b = 2 \cdot \frac{r \ \sqrt{3}}{4} = \frac{r \ \sqrt{3}}{2} \]

L’expression de \(f\) peut se réécrire :

\[ f = e \ \phi \]

En divisant par \(e\) :

\[ \frac{f}{e} = \phi \]

on obtient un rapport de longueur égal au nombre d’or.

L’hexagone régulier inscrit dans un cercle nous donne la proportion du nombre d’or :

\[ \phi = \frac{\abs{GJ}}{\abs{GH}} \]