Eclats de vers : Matemat : Polygones
Table des matières
1. Définition
Un polygone régulier est un polygone dont :
- tous les côtés ont la même longueur
- tous les angles sont de même amplitude
Le schéma ci-dessous représente un heptagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_7\) :
2. Angle
2.1. Raisonnement
Notons \(\alpha_n\) un angle quelconque d’un polygone à \(n\) côtés. La somme des angles vaut :
\[ n \ \alpha_n = (n - 2) \ \pi \]
On a donc :
\[ \alpha_n = \frac{(n - 2) \ \pi}{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} \]
2.2. Polygones courants
On a en particulier le tableau suivant :
| Polygone régulier | Nombre de côtés | Somme des angles | Angle |
|---|---|---|---|
| quadrilatère | 4 | \(360^\circ\) | \(90^\circ\) |
| pentagone | 5 | \(540^\circ\) | \(108^\circ\) |
| hexagone | 6 | \(720^\circ\) | \(120^\circ\) |
| octogone | 8 | \(1080^\circ\) | \(135^\circ\) |
| décagone | 10 | \(1440^\circ\) | \(144^\circ\) |
| dodécagone | 12 | \(1800^\circ\) | \(150^\circ\) |
2.3. Limite à l’infini
On remarque que :
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(n - 2) \ \pi}{n} = \pi \]
Lorsque le nombre de côtés devient très grand, l’angle \(\alpha_n\) converge vers \(\pi = 180^\circ\).
3. Construction
On peut construire un polygone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_n\) en partant seulement :
- d’un centre \(O\)
- d’un point \(P_1\)
Il suffit alors d’effectuer \(n - 1\) rotations successives \(\mathcal{R}\) de centre \(O\) et d’angle :
\[ \theta = \frac{2 \ \pi}{n} = \frac{360^\circ}{n} \]
pour obtenir les autres sommets du polygone :
\[ P_2 = \mathcal{R}(P_1) \]
\[ P_3 = \mathcal{R}(P_2) \]
\[ P_4 = \mathcal{R}(P_3) \]
\[ \ldots \]
\[ P_n = \mathcal{R}(P_{n - 1}) \]
Comme :
\[ n \ \theta = 360^\circ \]
la \(n^{ième}\) rotation revient au point de départ :
\[ P_1 = \mathcal{R}(P_n) \]
Les propriétés de la rotation garantissent alors que les triangles :
\[ O P_1 P_2 \qquad O P_2 P_3 \qquad O P_3 P_4 \qquad \ldots \qquad O P_{n - 1} P_n \qquad O P_n P_1 \]
sont isométriques. Les côtés sont donc tous de même longueur, et les angles internes de même amplitude. Le polygone \(P_1 P_2 \ldots P_n\) est bien régulier. De plus, les distances entre \(O\) et les sommets \(P_i\) sont toutes identiques :
\[ \abs{O P_1} = \abs{O P_2} = \ldots = \abs{O P_n} \]
Le point \(O\) est le centre du cercle circonscrit au polygone \(P_1 P_2 \ldots P_n\).
Le schéma ci-dessous représente un heptagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_7\) construit avec cette méthode :
4. Invariance sous rotation
Soit un polygone régulier à \(n\) côtés \(P_1 P_2 \ldots P_n\), inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\).
Ses côtés et ses angles étant identiques, ce polygone est invariant lorsqu’on lui applique une rotation \(\mathcal{R}\) de centre \(O\) et d’angle :
\[ \theta = \frac{2 \ \pi}{n} = \frac{360^\circ}{n} \]
Il en va de même pour :
- l’ensemble des $1$-diagonales
- l’ensemble des $2$-diagonales
- etc