Eclats de vers : Matemat : Produit scalaire
Table des matières
- 1. Introduction
- 2. Produit scalaire réel
- 3. Produit scalaire complexe
- 4. Espace orthogonal
- 5. Egalité
- 6. Base orthogonale
- 7. Base orthonormée
- 8. Produit scalaire et coordonnées
- 9. Application définie positive
- 10. Produit scalaire sur \(\setR^n\)
- 11. Produit scalaire sur \(\setC^n\)
- 12. Base orthonormée sur \(\corps^n\)
- 13. Représentation matricielle
- 14. Application linéaire
- 15. Matrice de produit scalaire
- 16. Bases de vecteurs colonnes
- 17. Noyau
\label{chap:ps}
1. Introduction
Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\corps\) et une famille de fonctions linéaires \(\phi_u \in E^\dual\) où \(u \in E\) est un paramètre vectoriel. Nous pouvons écrire :
\[\phi_u(v) = \forme{\phi_u}{v}\]
pour tout \(u,v \in E\). Cette expression introduit implicitement le produit dérivé \(\scalaire{}{} : E \times E \mapsto \corps\) défini par :
\[\scalaire{u}{v} = \forme{\phi_u}{v}\]
pour tout \(u,v \in E\). Ce produit hérite bien entendu la bilinéarité de la forme associée :
\[\scalaire{w}{\alpha \cdot u + \beta \cdot v} = \alpha \cdot \scalaire{w}{u} + \beta \cdot \scalaire{w}{v}\] \[\scalaire{\alpha \cdot u + \beta \cdot v}{w} = \alpha \cdot \scalaire{u}{w} + \beta \cdot \scalaire{v}{w}\]
pour tout \(\alpha,\beta \in \corps\) et pour tout \(u,v \in E\).
2. Produit scalaire réel
Considérons le cas particulier où \(\corps = \setR\). Un produit scalaire réel est un produit bilinéaire \(\scalaire{}{} : E \times E \mapsto \setR\) :
\[\scalaire{w}{\alpha \cdot u + \beta \cdot v} = \alpha \cdot \scalaire{w}{u} + \beta \cdot \scalaire{w}{v}\]
\[\scalaire{\alpha \cdot u + \beta \cdot v}{w} = \alpha \cdot \scalaire{u}{w} + \beta \cdot \scalaire{v}{w}\]
pour tout \(\alpha,\beta \in \setR\) et \(u,v,w \in E\). Nous imposons en plus que la valeur de \(\scalaire{u}{u}\) en chaque \(u \in E\) puisse représenter le carré de la norme de \(u\). Nous imposons donc la positivité :
\[\scalaire{u}{u} \ge 0\]
La norme étant un cas particulier de distance, on impose également que le seul élément \(u \in E\) vérifiant :
\[\scalaire{u}{u} = 0\]
soit le vecteur nul \(u = 0\). Ce qui revient à dire que :
\[\scalaire{u}{u} > 0\]
pour tout \(u \in E \setminus \{ 0 \}\).
Enfin, le produit scalaire est symétrique, c’est-à-dire qu’on peut interchanger n'importe quels \(u,v \in E\) sans modifier le résultat :
\[\scalaire{u}{v} = \scalaire{v}{u}\]
2.1. Notation
Dans le cas de vecteurs géométriques, on note aussi le produit scalaire sous forme de point :
\[u \cdot v = \scalaire{u}{v}\]
3. Produit scalaire complexe
Examinons à présent le cas \(\corps = \setC\). On demande qu'un produit scalaire \(\scalaire{}{} : E \times E \mapsto \setC\) soit strictement défini positif. Pour cela, les valeurs de \(\scalaire{u}{u}\) doivent être réelles et positives :
\[ \scalaire{u}{u} \in \setR \qquad \qquad \qquad \scalaire{u}{u} \ge 0 \]
pour tout \(u \in E\). Ensuite, il faut également que le seul élément \(u \in E\) vérifiant :
\[\scalaire{u}{u} = 0\]
soit le vecteur nul \(u = 0\).
Le caractère réel de \(\scalaire{u}{u}\) implique que :
\[\scalaire{u}{u} = \conjaccent{\scalaire{u}{u}}\]
où la barre supérieure désigne comme d'habitude le complexe conjugué. Cette constatation nous mène à une variante de la symétrie. On impose :
\[\scalaire{u}{v} = \conjaccent{\scalaire{v}{u}}\]
pour tout \(u,v \in E\). On dit que le produit scalaire complexe est hermitien.
La linéarité à droite s'exprime simplement par :
\[ \scalaire{w}{\alpha \cdot u + \beta \cdot v} = \alpha \cdot \scalaire{w}{u} + \beta \cdot \scalaire{w}{v} \]
pour tout \(\alpha,\beta \in \setC\) et pour tout \(u,v,w \in E\). On déduit de cette linéarité et du caractère hermitien du produit scalaire complexe que :
\begin{align*} \scalaire{\alpha \cdot u + \beta \cdot v}{w} &= \conjaccent{\scalaire{w}{\alpha \cdot u + \beta \cdot v}} \\ &= \conjaccent{\alpha} \cdot \conjaccent{\scalaire{w}{u}} + \conjaccent{\beta} \cdot \conjaccent{\scalaire{w}{v}} \end{align*}et finalement :
\[ \scalaire{\alpha \cdot u + \beta \cdot v}{w} = \conjaccent{\alpha} \cdot \scalaire{u}{w} + \conjaccent{\beta} \cdot \scalaire{v}{w}\]
On dit que le produit scalaire complexe est :
- antilinéaire ou semi-linéaire à gauche
- une forme sesquilinéaire (linéaire et demie)
3.1. Corollaire
En particulier, si \(u,v,w,x\) sont des vecteurs de \(E\) et si \(\alpha = \scalaire{u}{v} \in \setC\), on a :
\( \scalaire{w}{\alpha \cdot x} = \scalaire{w}{ \scalaire{u}{v} \cdot x} = \scalaire{u}{v} \cdot \scalaire{w}{x} \)
\( \scalaire{\alpha \cdot w}{x} = \scalaire{ \scalaire{u}{v} \cdot w}{x} = \scalaire{v}{u} \cdot \scalaire{w}{x} \)
3.2. Cas particulier
Comme \(\conjaccent{x} = x\) pour tout \(x \in \setR \subseteq \setC\), on peut considérer le produit scalaire réel comme un cas particulier de produit scalaire complexe.
4. Espace orthogonal
4.1. A un vecteur
Soit \(x \in H\). On définit l'ensemble \(x^\orthogonal\) par :
\[x^\orthogonal = \{ z \in E : \scalaire{x}{z} = 0 \}\]
On dit des vecteurs de \(x^\orthogonal\) qu'ils sont orthogonaux à \(x\).
4.2. A un ensemble
Pour tout sous-ensemble \(V \subseteq E\), l'ensemble orthogonal à \(V\) est l'ensemble des vecteurs qui sont orthogonaux à tous les éléments de \(V\) :
\[V^\orthogonal = \bigcap_{x \in V} x^\orthogonal\]
Pour tout \(z \in V^\orthogonal\), on a donc \(\scalaire{x}{z} = 0\) quel que soit \(x \in V\).
Nous allons vérifier que \(V^\orthogonal\) est un sous-espace vectoriel. Soit \(z \in V\). Comme \(\scalaire{z}{0} = 0\), on a \(0 \in V^\orthogonal\). Soit \(x,y \in V^\orthogonal\), \(\alpha,\beta \in \corps\). On a :
\[\scalaire{z}{\alpha \cdot x + \beta \cdot y} = \alpha \cdot \scalaire{z}{x} + \beta \cdot \scalaire{z}{y} = 0 + 0 = 0\]
ce qui montre que \(\alpha \cdot x + \beta \cdot y \in V^\orthogonal\).
5. Egalité
Si \(u,v \in E\) sont tels que :
\[\scalaire{u}{w} = \scalaire{v}{w}\]
pour tout \(w \in E\), on a :
\[\scalaire{u - v}{w} = 0\]
Le choix \(w = u - v \in E\) nous donne alors :
\[\scalaire{u - v}{u - v} = 0\]
ce qui implique \(u - v = 0\) et donc \(u = v\).
6. Base orthogonale
Une base \((e_1,...,e_n)\) de \(E\) est dite orthogonale si le produit scalaire de deux vecteurs \(e_i \ne e_j\) s'annule :
\[\scalaire{e_i}{e_j} = \indicatrice_{ij} \scalaire{e_i}{e_i}\]
6.1. Coordonnées
Soit \(u \in E\) de coordonnée \(u_i \in \corps\) :
\[u = \sum_{i = 1}^n u_i \cdot e_i\]
En effectuant le produit scalaire de \(u\) avec \(e_k\), on arrive à :
Tous les termes de cette dernière somme s'annulent sauf lorsque \(i = k\), et on a :
\[\scalaire{e_k}{u} = u_k \cdot \scalaire{e_k}{e_k}\]
ou encore :
\[u_k = \frac{\scalaire{e_k}{u}}{\scalaire{e_k}{e_k}}\]
On peut donc écrire :
\[u = \sum_{i = 1}^n \frac{\scalaire{e_i}{u}}{\scalaire{e_i}{e_i}} \cdot e_i\]
6.2. Indépendance linéaire
On peut voir que si une suite de vecteurs \(e_i\) est orthogonale (ils ne forment pas forcément une base), ils sont toujours linéairement indépendant. En effet si les scalaires \(a_i\), sont tels que :
\[\sum_{i=1}^n a_i \cdot e_i = 0\]
on a alors :
\[a_i = \frac{\scalaire{e_i}{0}}{\scalaire{e_i}{e_i}} = 0\]
7. Base orthonormée
Une base \((e_1,...,e_n)\) de \(E\) est dite orthonormée si le produit scalaire de deux vecteurs \(e_i \ne e_j\) s'annule, tandis que le produit scalaire d'un \(e_i\) avec lui-même donne l'unité :
\[\scalaire{e_i}{e_j} = \indicatrice_{ij}\]
7.1. Coordonnées
Soit \(u \in E\) de coordonnée \(u_i \in \corps\) :
\[u = \sum_{i = 1}^n u_i \cdot e_i\]
En effectuant le produit scalaire de \(u\) avec \(e_k\), on arrive à :
\( \scalaire{e_k}{u} = \sum_{i = 1}^n u_i \cdot \scalaire{e_k}{e_i} \)
\( \scalaire{e_k}{u} = \sum_{i = 1}^n u_i \cdot \indicatrice_{ik} \)
Tous les termes de cette dernière somme s'annulent sauf lorsque \(i = k\), et on a :
\[\scalaire{e_k}{u} = u_k\]
On peut donc écrire :
\[u = \sum_{i = 1}^n \scalaire{e_i}{u} \cdot e_i\]
7.2. Indépendance linéaire
On peut voir que si une suite de vecteurs \(e_i\) est orthonormée (ils ne forment pas forcément une base), ils sont toujours linéairement indépendant. En effet si les scalaires \(a_i\), sont tels que :
\[\sum_{i=1}^n a_i \cdot e_i = 0\]
on a alors :
\[a_i = \scalaire{e_i}{0} = 0\]
8. Produit scalaire et coordonnées
Soit \((e_1,...,e_n)\) une base de \(E\) et \(u,v \in E\). On a :
\( u = \sum_i u_i \cdot e_i \)
\( v = \sum_i v_i \cdot e_i \)
pour certains \(u_i,v_i \in \corps\). Posons :
\[g_{ij} = \scalaire{e_i}{e_j}\]
où \(\scalaire{}{} : E \times E \mapsto \setC\) est un produit scalaire complexe. Nous pouvons faire sortir les sommes en utilisant les propriétés du produit scalaire, ce qui nous donne :
\[\scalaire{u}{v} = \sum_{i,j} \conjaccent{u}_i \cdot g_{ij} \cdot v_j\]
8.1. Réel
Dans les cas d'un produit scalaire réel, on a \(\conjaccent{u}_i = u_i\) et l'expression devient :
\[\scalaire{u}{v} = \sum_{i,j} u_i \cdot g_{ij} \cdot v_j\]
8.2. Base orthonormée
Si la base \((e_1,...,e_n)\) est orthonormée, l'expression du produit scalaire se simplifie en :
\[\scalaire{u}{v} = \sum_i \conjaccent{u}_i \cdot v_i\]
9. Application définie positive
Soit une application linéaire \(A : E \mapsto E\). Si le produit scalaire de \(u\) avec \(A(u)\) est un réel positif :
\[\scalaire{u}{A(u)} = \scalaire{A(u)}{u} \ge 0\]
pour tout \(u \in E\), on dit que \(A\) est définie positive.
10. Produit scalaire sur \(\setR^n\)
Soit \(x,y \in \setR^n\) tels que :
\( x = (x_1,x_2,...,x_n) \)
\( y = (y_1,y_2,...,y_n) \)
pour certains \(x_i,y_i \in \setR\).
Le produit scalaire usuel sur \(\setR^n\) est défini par :
\[\scalaire{x}{y} = \sum_{i = 1}^n x_i y_i\]
11. Produit scalaire sur \(\setC^n\)
Soit \(x,y \in \setC^n\) tels que :
\( x = (x_1,x_2,...,x_n) \)
\( y = (y_1,y_2,...,y_n) \)
pour certains \(x_i,y_i \in \setC\).
Le produit scalaire usuel est défini par :
\[\scalaire{x}{y} = \sum_{i=1}^n \conjaccent{x}_i y_i\]
12. Base orthonormée sur \(\corps^n\)
Soit \(\corps \in \{ \setR , \setC \}\). Il est clair que la base canonique de \(\corps^n\) :
\[e_i = ( \indicatrice_{ij} )_{i,j}\]
vérifie :
\[\scalaire{e_i}{e_j} = \indicatrice_{ij}\]
pour le produit scalaire usuel sur \(\corps^n\). La suite \((e_1,...,e_n)\) forme une base orthonormée.
13. Représentation matricielle
Soit \(x = (x_1,..,x_n) , y = (y_1,...,y_n) \in \setC^n\). On définit les vecteurs colonne associé :
\[ x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \qquad \qquad y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} \]
L'équivalence entre \(\setC^n\) et \(\matrice(\setC,n,1)\) nous amène à :
\[\scalaire{x}{y} = \sum_i \conjaccent{x}_i \cdot y_i\]
Le membre de droite n'est rien d'autre que le produit « matriciel » \(\conjaccent{x^T} \cdot y\) et on a donc :
\[\scalaire{x}{y} = \conjaccent{x^T} \cdot y\]
On vérifie que la base canonique \((\canonique_1,...,\canonique_n)\) est orthonormée pour ce produit scalaire :
\[\canonique_i^T \cdot \canonique_j = \indicatrice_{ij}\]
14. Application linéaire
Soit les espaces vectoriels \(E,F\) sur \(\corps\) et une application linéaire \(\mathcal{A} : E \mapsto F\). On prend une base \((e_1,..,e_n)\) de \(E\) et une base orthonormée \((f_1,...,f_m)\) de \(F\). Comme les composantes de la matrice associée \(A\) sont les coordonnées de \(\mathcal{A}(e_j)\) dans la base des \(f_i\), on a :
\[\composante_{ij} A = \scalaire{f_i}{\mathcal{A}(e_j)}\]
15. Matrice de produit scalaire
Soit un espace vectoriel \(E\) sur \(\corps\) et un produit scalaire \(\scalaire{}{}\) quelconque défini sur \(E\). Soit \((e_1,...,e_n)\) une base quelconque de \(E\) (nous ne supposons pas qu'elle soit orthonormée). Si \(\hat{x},\hat{y} \in E\), on a :
\( \hat{x} = \sum_i x_i \cdot e_i \)
\( \hat{y} = \sum_i y_i \cdot e_i \)
pour certains \(x_i,y_i \in \corps\). Or, nous avons vu que :
\[\scalaire{\hat{x}}{\hat{y}} = \sum_{i,j} \conjaccent{x}_i \scalaire{e_i}{e_j} y_j\]
Si nous définissons la matrice des produits scalaires \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) par :
\[\composante_{ij} A = \scalaire{e_i}{e_j}\]
nous pouvons réécrire le produit scalaire sous la forme :
\[\scalaire{\hat{x}}{\hat{y}} = \conjaccent{x^T} \cdot A \cdot y\]
où \(x,y\) sont les vecteurs colonne associés à \(\hat{x},\hat{y}\) :
\( x = [x_1 \ x_2 \ ... \ x_n]^T \)
\( y = [y_1 \ y_2 \ ... \ y_n]^T \)
Cette matrice possède d'importantes propriétés issues du produit scalaire. On a \(\conjaccent{x^T} \cdot A \cdot x > 0\) pour tout \(x \ne 0\). On dit que \(A\) est une matrice définie positive. Le caractère hermitien du produit scalaire nous donne aussi \(\conjaccent{A^T} = A\). On dit que \(A\) est une matrice hermitienne, ou auto-adjointe.
15.1. Réciproque
Si \(A\) est une matrice carrée définie positive et hermitienne, l'application définie par :
\[\scalaire{x}{y} = \conjaccent{x^T} \cdot A \cdot y\]
est bien un produit scalaire. En effet, la définie positivité de la matrice est équivalente à celle du produit ainsi défini. Pour le caractére hermitien, on a :
\begin{align} \scalaire{x}{y} &= \sum_{i,j} \conjaccent{x}_i \cdot A_{ij} \cdot y_j = \sum_{i,j} \conjaccent{x}_i \cdot \conjaccent{A}_{ji} \cdot y_j \) \( &= \sum_{i,j} y_j \cdot \conjaccent{A}_{ji} \cdot \conjaccent{x}_i = \conjugue \sum_{i,j} \conjaccent{y}_j \cdot A_{ji} \cdot x_i \) \( &= \conjugue \scalaire{y}{x} \end{align}16. Bases de vecteurs colonnes
Un cas particulier important survient lorsque les vecteurs sont des vecteurs colonnes. Soit une suite de vecteurs linéairement indépendants \(u_1,u_2,...,u_m \in \matrice(\corps,n,1)\). Soit des \(x_i,y_i \in \corps\) et les vecteurs :
\( X = \sum_{i = 1}^m x_i \cdot u_i \)
\( Y = \sum_{i = 1}^m y_i \cdot u_i \)
Si nous considérons les vecteurs \(x,y \in \matrice(\corps,m,1)\) associés :
\( x = [x_1 \ x_2 \ ... \ x_m]^T \)
\( y = [y_1 \ y_2 \ ... \ y_m]^T \)
ainsi que la matrice \(U \in \matrice(\corps,n,m)\) rassemblant les \(u_i\) :
\[U = [u_1 \ u_2 \ ... \ u_m]\]
on peut réécrire la définition de \(x,y\) sous la forme :
\( X = U \cdot x \)
\( Y = U \cdot y \)
On a alors :
\[\scalaire{X}{Y} = \conjaccent{X^T} \cdot Y = \conjaccent{x^T} \cdot \conjaccent{U^T} \cdot U \cdot y\]
On en conclut que la matrice \(A = \conjaccent{U^T} \cdot U \in \matrice(\corps,m,m)\) est une matrice de produit scalaire
16.1. Réciproque
Soit \(U \in \matrice(\corps,n,m)\) telle que \(\noyau U = \{0\}\). La matrice \(A = \conjaccent{U^T} \cdot U \in \matrice(\corps,m,m)\) est une matrice de produit scalaire. En effet :
\[\conjaccent{x^T} \cdot A \cdot x = \conjaccent{x^T} \cdot \conjaccent{U^T} \cdot U \cdot x = \conjugue(U \cdot x)^T \cdot (U \cdot x) \ge 0\]
Si \(x \ne 0\), on a de plus \(U \cdot x \ne 0\) et \(\conjaccent{x}^T \cdot A \cdot x \strictsuperieur 0\). Par ailleurs, on a évidemment :
\[\conjaccent{A^T} = \conjaccent{(\conjaccent{U^T} \cdot U)^T} = \conjaccent{U^T} \cdot U = A\]
17. Noyau
Soit \(l_i = \ligne_i A\) et \(x \in \noyau A\). On a alors :
\[0 = \composante_i (A \cdot x) = l_i \cdot x\]
On en conclut que les lignes de \(A\) sont orthogonales aux \(\conjaccent{l}_i\). Il en va de même pour toute combinaison linéaire de ces lignes, et :
\[\noyau A = \combilin{\conjaccent{l}_1,...,\conjaccent{l}_m}^\orthogonal\]