Eclats de vers : Matemat : Triangles isométriques
Table des matières
1. Conditions d’isométrie de deux triangles
1.1. Principe d’équivalence des constructions
Chacune des techniques de construction de triangles que nous avons présenté jusqu’ici produit, soit un unique triangle, soit deux triangles isométriques.
Étant donné une technique de construction \(\mathscr{T}\) et ses données de départ \(\mathscr{D}\), les longueurs et les angles des triangles obtenus sont donc identiques, et ce quel que soit l’endroit et l’orientation des éléments de départ de la construction.
Si deux triangles \(T_1\) et \(T_2\) partagent les mêmes caractéristiques \(\mathscr{D}\), on peut les reconstruire à l’identique au moyen de \(\mathscr{T}\). On en déduit que ces deux triangles sont isométriques :
\[ T_1 \cong T_2 \]
Les longueurs et leurs angles de ces triangles sont donc complètement déterminés par les caractéristiques de \(\mathscr{D}\).
1.2. Trois côtés de même longueur
Soit les deux triangles \(ABC\) et \(DEF\) présentés dans le schéma ci-dessous :
Si les trois côtés sont de mêmes longueurs :
\[ a_1 = a_2 \]
\[ b_1 = b_2 \]
\[ c_1 = c_2 \]
on peut utiliser la même technique pour reconstruire les deux triangles à l’identique. On en déduit que les deux triangles sont isométriques.
1.3. Côté - angle - côté
Soit les deux triangles \(ABC\) et \(DEF\) présentés dans le schéma ci-dessous :
Si les deux triangles ont un angle correspondant de même amplitude compris entre deux côtés correspondants de mêmes longueurs :
\[ \alpha_1 = \alpha_2 \]
\[ b_1 = b_2 \]
\[ c_1 = c_2 \]
on peut utiliser la même technique pour reconstruire les deux triangles à l’identique. On en déduit que les deux triangles sont isométriques.
1.4. Angle - côté - angle
Soit les deux triangles \(ABC\) et \(DEF\) présentés dans le schéma ci-dessous :
Si les deux triangles ont un côté correspondant de même longueur compris entre deux angles correspondants de mêmes amplitudes :
\[ a_1 = a_2 \]
\[ \beta_1 = \beta_2 \]
\[ \gamma_1 = \gamma_2 \]
on peut utiliser la même technique pour reconstruire les deux triangles à l’identique. On en déduit que les deux triangles sont isométriques.
2. Triangle isocèle
Le schéma ci-dessous représente un triangle isocèle avec la médiane qui part du même sommet que les côtés de longueurs égales :
Par définition du triangle isocèlé, on a :
\[ a = \abs{AC} = \abs{BC} \]
Par définition de la médiane, on a :
\[ b = \abs{AD} = \abs{DB} \]
On voit que les triangles \(ADC\) et \(DBC\) ont leurs trois côtés de mêmes longueurs. Ils sont donc isométriques, ce qui signifie que leurs angles sont de mêmes amplitudes. On a en particulier :
\[ \alpha = \beta \]
\[ \gamma = \delta \]
Comme les points \(A\), \(D\) et \(C\) sont alignés, \(\gamma\) et \(\delta\) forment ensemble un angle plat :
\[ \gamma + \delta = 180^\circ \]
On en conclut que :
\[ 2 \ \gamma = 180^\circ \]
c’est-à-dire :
\[ \gamma = 90^\circ \]
On a donc finalement le schéma suivant :
3. Triangle équilatéral
Le schéma ci-dessous représente un triangle équilatéral \(ABC\) avec ses angles :
Comme \(ABC\) est forcément isocèle en \([A,C]\) et \([B,C]\), les angles asociés doivent être égaux :
\[ \alpha = \beta \]
Comme \(ABC\) est forcément isocèle en \([A,C]\) et \([A,B]\), les angles asociés doivent être égaux :
\[ \alpha = \gamma \]
Les trois angles sont donc identiques :
\[ \alpha = \beta = \gamma \]
La somme des angles de ce triangle nous donne :
\[ \alpha + \beta + \gamma = 3 \ \alpha = 180^\circ \]
On a donc :
\[ \alpha = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]
Les angles d’un triangle équilatéral ont tous une amplitude de 60°.