Eclats de vers : Matemat : Trigonometrie

Soit le triangle rectangle :

On définit la fonction trigonométrique du sinus, notée \(\sin\), comme le rapport entre le côté opposé à l’angle avec l’hypothénuse :

\[ \sin(\alpha) = \frac{b}{c} \]

On définit la fonction trigonométrique du cosinus, notée \(\cos\), comme le rapport entre le côté adjacent à l’angle avec l’hypothénuse :

\[ \cos(\alpha) = \frac{a}{c} \]

On définit la fonction trigonométrique de tangente, notée \(\tan\), comme le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent :

\[ \tan(\alpha) = \frac{b}{a} \]

On a aussi les rapports inversés :

• cosécante :

\[ \csc(\alpha) = \frac{c}{b} \]

• sécante :

\[ \sec(\alpha) = \frac{c}{a} \]

• cotangente :

\[ \cot(\alpha) = \frac{a}{b} \]

On note :

\[ \sin \alpha = \sin(\alpha) \]

\[ \cos \alpha = \cos(\alpha) \]

\[ \tan \alpha = \tan(\alpha) \]

\[ \csc \alpha = \csc(\alpha) \]

\[ \sec \alpha = \sec(\alpha) \]

\[ \cot \alpha = \cot(\alpha) \]

En multipliant la définition du sinus par \(c\), on obtient :

\[ b = c \ \sin \alpha \]

En multipliant la définition du cosinus par \(c\), on obtient :

\[ a = c \ \cos \alpha \]

On remarque que la cosécante est l’inverse du sinus :

\[ \csc\alpha = \frac{c}{b} = \frac{1}{b/c} = \unsur{\sin\alpha} \]

On remarque que la sécante est l’inverse du cosinus :

\[ \sec\alpha = \frac{c}{a} = \frac{1}{a/c} = \unsur{\cos\alpha} \]

On remarque que la cotangente est l’inverse de la tangente :

\[ \cot\alpha = \frac{a}{b} = \frac{1}{b/a} = \unsur{\tan\alpha} \]

Comme le triangle est rectangle, on a :

\[ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \]

ou :

\[ \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha \]

Le rapport entre le côté adjacent à \(\beta\) et l’hypothénuse nous donne :

\[ \cos \beta = \frac{b}{c} = \sin \alpha \]

c’est-à-dire :

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha \]

Le rapport entre le côté opposé à \(\beta\) et l’hypothénuse nous donne :

\[ \sin \beta = \frac{a}{c} = \cos \alpha \]

c’est-à-dire :

\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha \]

Le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent à \(\beta\) nous donne :

\[ \tan \beta = \frac{a}{b} = \unsur{b/a} = \unsur{\tan \alpha} \]

c’est-à-dire :

\[ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \unsur{\tan \alpha} \]

Le cercle trigonométrique permet de généraliser la définition des fonctions trigonometriques au-delà de l’intervalle \([0,\pi/2]\).

Ce cercle est un cercle unitaire, c’est-à-dire de rayon \(1\), et permet de générer un triangle rectangle dont l’hypothénuse vaut \(1\) pour chaque angle \(\alpha\). La figure ci-dessus en illustre un exemple. Les deux autres côtés sont alors de longueurs :

\[ a = 1 \cdot \cos \alpha = \cos \alpha \]

\[ b = 1 \cdot \sin \alpha = \sin \alpha \]

Ces longueurs correspondent aussi aux coordonnées du point \(P\) qui valent :

\[ (\cos \alpha, \sin \alpha) \]

dans le système d’axes \((O,x,y)\). Ces coordonnées peuvent varier entre \(-1\) et \(1\), tout comme les valeurs des fonctions \(\cos\) et \(\sin\).

On en déduit les valeurs des fonctions trigonométriques \(\cos\) et \(\sin\) pour n’importe quel angle entre \(0\) et \(2\pi\).

Le schéma ci-dessous illustre le cas du deuxième quadrant, c’est-à-dire de l’ntervalle \([\pi/2,\pi]\).

On en déduit que :

\[ \cos(\alpha+\pi/2) = - \sin(\alpha) \]

\[ \sin(\alpha+\pi/2) = \cos(\alpha) \]

Pour la tangente, on a :

\[ \tan(\alpha + \pi/2) = \frac{\sin(\alpha + \pi/2)}{\cos(\alpha + \pi/2)} = \frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha} = \frac{-1}{\sin\alpha / \cos\alpha} = \frac{-1}{\tan\alpha} \]

Le schéma ci-dessous illustre le cas du troisième quadrant, c’est-à-dire de l’ntervalle \([\pi,3\pi/2]\).

On en déduit que :

\[ \cos(\alpha+\pi) = - \cos(\alpha) \]

\[ \sin(\alpha+\pi) = - \sin(\alpha) \]

Pour la tangente, on a :

\[ \tan(\alpha + \pi) = \frac{\sin(\alpha + \pi)}{\cos(\alpha + \pi)} = \frac{-\sin\alpha}{-\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha \]

Le schéma ci-dessous illustre le cas du quatrième quadrant, c’est-à-dire de l’ntervalle \([3\pi/2,2\pi]\).

On en déduit que :

\[ \cos(\alpha+3\pi/2) = \sin(\alpha) \]

\[ \sin(\alpha+3\pi/2) = - \cos(\alpha) \]

Pour la tangente, on a :

\[ \tan(\alpha + 3\pi/2) = \frac{\sin(\alpha + 3\pi/2)}{\cos(\alpha + 3\pi/2)} = \frac{-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{-1}{\sin\alpha / \cos\alpha} = \frac{-1}{\tan\alpha} \]

Le schéma ci-dessus nous montre que :

\[ \cos(\pi - \alpha) = - \cos \alpha \]

\[ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha \]

Pour la tangente, on a :

\[ \tan(\pi - \alpha) = \frac{\sin(\pi - \alpha)}{\cos(\pi - \alpha)} = \frac{\sin\alpha}{-\cos\alpha} = - \tan\alpha \]

Le schéma ci-dessous illustre le cas d’angles négatifs.

On a clairement :

\[ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \]

\[ \sin(-\alpha) = - \sin(\alpha) \]

Pour la tangente, on a :

\[ \tan(-\alpha) = \frac{\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)} = \frac{-\sin\alpha}{\cos\alpha} = - \tan\alpha \]

On considère qu’ajouter un nombre entier de tours complets (multiple entier de \(2\pi\)) ne change rien aux fonctions trigonométriques. On a donc :

\[ \cos(\alpha+2 \ \pi \ k) = \cos \alpha \]

\[ \sin(\alpha+2 \ \pi \ k) = \sin \alpha \]

pour tout \(k \in \setZ\). Ce constat permet de couvrir l’ensemble des angles à amplitude réelle.

Soit le triangle rectangle :

Le théorème de Pythagore dans notre triangle rectangle nous donne :

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Mais comme :

\[ a = c \ \cos \alpha \]

\[ b = c \ \sin \alpha \]

la première relation devient :

\[ c^2 \ (\cos \alpha)^2 + c^2 \ (\sin \alpha)^2 = c^2 \]

On peut mettre \(c^2\) en évidence :

\[ c^2 \ \left[(\cos \alpha)^2 + (\sin \alpha)^2\right] = c^2 \]

puis diviser par \(c^2\) les deux membres, ce qui nous donne la relation fondamentale entre sinus et cosinus :

\[ (\cos \alpha)^2 + (\sin \alpha)^2 = 1 \]

On a :

\[ \tan \alpha = \frac{b}{a} = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = \frac{b/c}{a/c} \]

Par définition des sinus et cosinus, on a donc :

\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]

Soit un angle \(\alpha\) et :

\[ s = \sin\alpha \]

\[ c = \cos\alpha \]

\[ t = \tan\alpha \]

Les relations fondamentales s’écrivent :

\[ s^2 + c^2 = 1 \]

et :

\[ t = \frac{s}{c} \]

ou encore :

\[ t^2 = \frac{s^2}{c^2} \]

Divisons :

\[ s^2 + c^2 = 1 \]

par \(c^2\). Il vient :

\[ \frac{s^2}{c^2} + 1 = \unsur{c^2} \]

c’est-à-dire :

\[ t^2 + 1 = \unsur{c^2} \]

Autrement dit :

\[ (\tan\alpha)^2 + 1 = \unsur{(\cos\alpha)^2} \]

Soit un angle \(\alpha\). Posons :

\[ s = \sin \alpha \]

\[ c = \cos \alpha \]

\[ t = \tan \alpha \]

Nous allons utiliser les relations fondamentales :

\[ t = s / c \]

\[ s^2 + c^2 = 1 \]

pour obtenir une expression du sinus et du cosinus comme fonction de la tangente uniquement. En prenant le carré de la première équation ci-cessus, on a :

\[ t^2 = s^2 / c^2 \]

Remarquons aussi que la seconde équation peur se réécrire, au choix, comme :

\[ s^2 = 1 - c^2 \]

\[ c^2 = 1 - s^2 \]

On a :

\[ t^2 = \frac{s^2}{c^2} = \frac{s^2}{1 - s^2} \]

Multiplions par \(1 - s^2\) :

\[ (1 - s^2) \ t^2 = s^2 \]

Distribuons :

\[ t^2 - s^2 \ t^2 = s^2 \]

et passons tous les termes en \(s^2\) du même côté :

\[ t^2 = s^2 + s^2 \ t^2 \]

Mettons \(s^2\) en évidence :

\[ t^2 = (1 + t^2) \ s^2 \]

En isolant \(s^2\), on obtient :

\[ s^2 = \frac{t^2}{1 + t^2} \]

c’est-à-dire :

\[ (\sin \alpha)^2 = \frac{(\tan \alpha)^2}{1 + (\tan \alpha)^2} \]

On a donc soit :

\[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{(\tan \alpha)^2}{1 + (\tan \alpha)^2}} \]

ou :

\[ \sin \alpha = - \sqrt{\frac{(\tan \alpha)^2}{1 + (\tan \alpha)^2}} \]

ce que l’on note sous la forme :

\[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{(\tan \alpha)^2}{1 + (\tan \alpha)^2}} \]

On a :

\[ t^2 = \frac{s^2}{c^2} = \frac{1 - c^2}{c^2} \]

Multiplions par \(c^2\) :

\[ c^2 \ t^2 = 1 - c^2 \]

et passons tous les termes en \(c^2\) du même côté :

\[ c^2 + c^2 \ t^2 = 1 \]

Mettons \(c^2\) en évidence :

\[ (1 + t^2) \ c^2 = 1 \]

En isolant \(c^2\), on obtient :

\[ c^2 = \frac{1}{1 + t^2} \]

c’est-à-dire :

\[ (\cos \alpha)^2 = \frac{1}{1 + (\tan \alpha)^2} \]

On a donc soit :

\[ \cos \alpha = \unsur{\sqrt{1 + (\tan \alpha)^2}} \]

ou :

\[ \cos \alpha = \frac{-1}{\sqrt{1 + (\tan \alpha)^2}} \]

ce que l’on note sous la forme :

\[ \cos \alpha = \frac{\pm 1}{\sqrt{1 + (\tan \alpha)^2}} \]

Soit un triangle quelconque. On peut toujours le décomposer en deux triangles rectangles comme suit :

Dans le triangle rectangle de gauche, nous avons :

\[ h = a \ \sin \gamma \]

Dans le triangle rectangle de droite, nous avons :

\[ h = c \ \sin \alpha \]

On en déduit que :

\[ a \ \sin \gamma = c \ \sin \alpha \]

c’est-à-dire :

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \]

On peut aussi tracer la hauteur perpendiculaire au côté \(c\) et suivre un raisonnement similaire, qui nous donne :

\[ a \ \sin \beta = b \ \sin \alpha \]

c’est-à-dire :

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \]

On a donc finalement la loi des sinus qui englobe les trois côtés :

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \]

Les fonctions trigonométriques ne sont pas directement inversibles. Soit un certain \(y \in [-1,1]\) et la valeur \(x \in \setR\) solution du problème :

\[\sin(x) = y\]

Comme la fonction \(\sin\) est périodique de période \(2 \ \pi\), on a :

\[\sin(x + 2 \ k \ \pi) = \sin(x) = y\]

pour tout \(k \in \setN\). L'ensemble des solutions inclut donc l’ensemble :

\[ S = \{ x + 2 \ \pi \ k : k \in \setN \} \]

qui admet une infinité d’éléments. On ne peut donc pas déduire une seule valeur de \(x\) à partir d’une valeur de \(y\). Par contre, l’ensemble des solutions ne contient qu’une seule valeur de \(x\) dans l’invervalle \([-\pi/2,\pi/2]\), et on peut définir la fonction arc sinus, notée \(\arcsin\), par :

\[ \arcsin(y) = x \qquad \Leftrightarrow \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} y = \sin(x) \\ x \in [-\pi/2,\pi/2] \end{array} \right. \]

On note abusivement :

\[ \sin^{-1} = \arcsin \]

On utilise aussi la notation sans parenthèse, comme pour les autres fonctions trigonometriques :

\[ \arcsin y = \arcsin(y) \]

On a :

\[ \sin\arcsin y = \sin x = y \]

pour tout \(y \in [-1,1]\).

Soit un certain \(y \in [-1,1]\) et la valeur \(x \in \setR\) solution du problème :

\[\cos(x) = y\]

Comme la fonction \(\cos\) est périodique, on ne peut pas déduire une seule valeur de \(x\) à partir d’une valeur de \(y\). Par contre, l’ensemble des solutions ne contient qu’une seule valeur de \(x\) dans l’invervalle \([0,\pi]\), et on peut définir la fonction arc cosinus, notée \(\arccos\), par :

\[ \arccos(y) = x \qquad \Leftrightarrow \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} y = \cos(x) \\ x \in [0,\pi] \end{array} \right. \]

On note abusivement :

\[ \cos^{-1} = \arccos \]

On utilise aussi la notation sans parenthèse, comme pour les autres fonctions trigonometriques :

\[ \arccos y = \arccos(y) \]

On a :

\[ \cos\arccos y = \cos x = y \]

pour tout \(y \in [-1,1]\).

Soit un certain \(y \in \setR\) et la valeur \(x \in \setR\) solution du problème :

\[\tan(x) = y\]

Comme la fonction \(\tan\) est périodique, on ne peut pas déduire une seule valeur de \(x\) à partir d’une valeur de \(y\). Par contre, l’ensemble \(S\) ne contient qu’une seule valeur de \(x\) dans l’invervalle \(\intervalleouvert{-\pi/2}{\pi/2}\), et on peut définir la fonction arc tangente, notée \(\arctan\), par :

\[ \arctan(y) = x \qquad \Leftrightarrow \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} y = \tan(x) \\ x \in \intervalleouvert{-\pi/2}{\pi/2} \end{array} \right. \]

On note abusivement :

\[ \tan^{-1} = \arctan \]

On utilise aussi la notation sans parenthèse, comme pour les autres fonctions trigonometriques :

\[ \arctan y = \arctan(y) \]

On a :

\[ \tan\arctan y = \tan x = y \]

pour tout \(y \in \setR\).