Eclats de vers : Matemat : Pentagone régulier
Table des matières
1. Classification des diagonales
Quels sont les types de $k$-diagonales dans un pentagone ? On a :
\[ 1 \le k \le 5 \diventiere 2 - 1 = 1 \]
Les seules diagonales possibles sont donc des $1$-diagonales.
Dans la suite, on parlera donc simplement de diagonales pour désigner les $1$-diagonales.
2. Triangles formés par les rayons
2.1. Raisonnement
Soit un pentagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_5\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On trace les rayons de \(\mathscr{C}\) reliant le centre aux sommets du pentagone, découpant ainsi la figure en cinq triangles intérieurs :
Nous avons tenu compte du caractère isocèle des triangles intérieurs dans la notation des angles.
Dans les triangles \(O P_1 P_2\) et \(O P_2 P_3\) on a :
\[ \abs{P_1 P_2} = \abs{P_2 P_3} \]
car le pentagone est régulier et :
\[ \abs{O P_1} = \abs{O P_2} = r \]
\[ \abs{O P_2} = \abs{O P_3} = r \]
par définition du cercle circonscrit. Ces triangles ont leurs trois côtés de mêmes longueurs et sont donc isométriques. Un raisonnement analogue nous montre que tous les triangles intérieurs du pentagone sont isométriques :
\[ O P_1 P_2 \qquad O P_2 P_3 \qquad O P_3 P_4 \]
\[ O P_4 P_5 \qquad O P_5 P_1 \qquad \qquad \quad \]
On a en particulier :
\[ \alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_5 \]
\[ \beta_1 = \beta_2 = \ldots = \beta_5 \]
Posons :
\[ \alpha = \alpha_1 \]
\[ \beta = \beta_1 \]
Les angles \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\ldots\), \(\alpha_5\) forment ensemble un tour complet :
\[ \sum_{i=1}^6 \alpha_i = 5 \ \alpha = 2 \ \pi \]
En isolant \(\alpha\), on obtient :
\[ \alpha = \frac{2 \ \pi}{5} = 72^\circ \]
La somme des angles dans le triangle \(O P_1 P_2\) nous donne :
\[ \alpha + 2 \ \beta = 72^\circ + 2 \ \beta = 180^\circ \]
En isolant \(\beta\), on obtient :
\[ \beta = \frac{180^\circ - 72^\circ}{2} = 54^\circ \]
Les triangles intérieurs ont donc les angles suivants :
\[ \alpha = 72^\circ \qquad \qquad \qquad \beta = 54^\circ \]
Les angles internes d’un pentagone valent :
\[ 2 \ \beta = 108^\circ \]
Le schéma devient donc :
On a aussi les angles internes :
2.2. Conclusion
Dans un pentagone régulier :
- deux rayons qui aboutissent à deux sommets consécutifs forment un angle au centre de \(72^\circ\)
- l’angle formé par un côté et un rayon qui aboutit à une de ses extrémités a une amplitude de \(54^\circ\)
- l’angle interne a une amplitude de \(108^\circ\)
3. Diagonales
3.1. Angle entre côté et diagonale
Soit un pentagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_5\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On trace la diagonale \([P_2,P_5]\) :
Nous avons tenu compte des résultats précédents et du caractère isocèle des triangles dans la notation des angles.
Examinons le triangle \(P_1 P_2 P_5\). La somme des angles nous donne :
\[ 2 \ \alpha + 108^\circ = 180^\circ \]
On en déduit l’amplitude de \(\alpha\) :
\[ \alpha = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ \]
Un raisonnement analogue nous donne le même résultat pour les autres diagonales courtes.
3.1.1. Conclusion
L’angle compris entre :
- une diagonale du pentagone
- un côté qui relie une des extrémités de la diagonale au sommet intermédiaire
a une amplitudes de \(36^\circ\).
Notre schéma devient :
3.2. Angle entre rayon et diagonale
Soit un pentagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_5\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On trace la diagonale \([P_2, P_5]\) et les rayons \([O,P_2]\) et \([O,P_5\)] :
Nous avons tenu compte des résultats précédents et du caractère isocèle des triangles dans la notation des angles.
On voit que :
\[ \theta = 2 \cdot 72^\circ = 144^\circ \]
Examinons le triangle isocèle \(O P_2 P_5\). La somme des angles nous donne :
\[ 2 \ \alpha + \theta = 2 \ \alpha + 144^\circ = 180^\circ \]
On en déduit l’amplitude de \(\alpha\) :
\[ \alpha = \frac{180^\circ - 144^\circ}{2} = 18^\circ \]
Un raisonnement analogue nous donne le même résultat pour les autres diagonales courtes.
3.2.1. Conclusion
L’angle compris entre :
- une diagonale du pentagone
- un rayon qui aboutit à une des extrémités de la diagonale
a une amplitudes de \(18^\circ\).
Notre schéma devient :
3.3. Angle entre deux diagonales
Soit un pentagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_5\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). On trace deux diagonales partant d’un même sommet, disons \([P_1,P_3]\) et \([P_1,P_4]\) :
L’angle \(\alpha\) forme, avec deux angles de \(36^\circ\), un angle interne de \(108^\circ\) :
\[ \alpha + 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ \]
On en déduit que :
\[ \alpha = 108^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 36^\circ \]
3.3.1. Conclusion
L’angle entre deux diagonales partant d’un même sommet a une amplitude de \(36^\circ\) :
4. Cerf-volant
Soit un pentagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_5\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). Traçons le cerf-volant \(O P_5 P_1 P_2\) :
Comme la diagonale \([O,P_1]\) traverse les deux triangles isocèles du cerf-volant, elle est la médiatrice de l’autre diagonale \([P_2,P_5]\).
Dans le triangle rectangle \(O I P_2\), l’angle \(\alpha\) est le complémentaire de \(72^\circ\) :
\[ \alpha = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ \]
Dans le triangle rectangle \(I O P_5\), l’angle \(\beta\) est le complémentaire de \(72^\circ\) :
\[ \beta = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ \]
On a donc :
\[ \alpha = \beta = 18^\circ \]
En conclusion :
- les rayons du cercle circonscrit passant par les sommets du pentagone sont les médiatrices des diagonales
- l’angle compris entre une diagonale du pentagone et le rayon du cercle circonscrit qui passe par une de des extrémités vaut \(18^\circ\)
Notre schéma devient :
5. Pentagramme
5.1. Introduction
Soit un pentagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_5\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). Si on trace toutes les diagonales, on obtient une étoile à cinq branches. Cette figure est appelée un pentagramme :
Nous avons tenu compte dans la notation :
- des angles opposés par le sommet
- de l’angle de \(36^\circ\) entre une diagonale du pentagone et un côté qui relie une des extrémités de la diagonale au sommet intermédiaire
- de l’angle de \(36^\circ\) entre deux diagonales qui partent du même sommet
Dans le triangle \(P_1 S_1 P_2\), la somme des angles nous donne :
\[ \lambda + 36^\circ + 36^\circ = 180^\circ \]
d’où :
\[ \lambda = 180^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ \]
Dans le triangle \(P_1 S_5 P_5\), la somme des angles nous donne :
\[ \mu = 180^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ \]
Comme \(\lambda\) et \(\alpha\) forment ensemble un angle plat, on a :
\[ \alpha = 180^\circ - \lambda = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \]
Comme \(\mu\) et \(\beta\) forment ensemble un angle plat, on a :
\[ \beta = 180^\circ - \mu = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \]
Le triangle \(P_1 S_1 S_5\) est isocèle car il a deux angles de même amplitude.
Remarquons que le triangle \(P_1 S_1 P_2\) est aussi un triangle isocèle car il a également deux angles de même amplitude.
Un raisonnement similaire nous montre le même résultat pour les autres pointes du pentagramme. On en conclut que :
- les triangles isocèles du type \(P_1 S_1 S_5\) qui forment les pointes du pentagramme ont un angle au sommet de \(36^\circ\) et deux autres angles de \(72^\circ\).
- les triangles isocèles du type \(P_1 S_1 P_2\) qui complètent le pentagramme pour former le pentagone ont un angle obtus de \(108^\circ\) et deux angles aigus de \(36^\circ\)
Les triangles qui constituent les pointes du pentagramme ont tous un angle de même amplitude compris entre deux côtés de même longueur. Ces triangles sont donc tous isométriques.
Notre schéma devient :
5.2. Corollaire
Les triangles du type \(P_1 S_1 P_2\) ont les mêmes angles que l’on retrouve dans les triangles du type \(P_1 P_2 P_5\), que nous avons analysé dans la section concernant l’angle entre côté et diagonale. Ces deux catégories de triangles sont donc semblables.
5.3. Cerf-volants
5.3.1. Introduction
Soit un pentagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_5\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\). Traçons le pentagramme et examinons-en la partie supérieure :
Nous avons tenu compte des résultats précédents dans la notation, avec en particulier :
- les triangles isocèles formés par le pentagone et le pentagramme
- l’angle de \(18^\circ\) entre une diagonale du pentagone et le rayon
qui passe par une de ses extrémités
- voir la section sur le cerf-volant formé par le pentagone et les rayons
On définit :
\[ a = \abs{P_1 S_1} = \abs{P_1 S_5} = \abs{P_2 S_1} = \abs{P_5 S_5} = \ldots \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \]
\[ b_1 = \abs{S_1 I_1} \qquad \qquad \qquad c_1 = \abs{I_1 S_5} \qquad \qquad \qquad b_2 = \abs{S_2 I_2} \qquad \qquad \qquad c_2 = \abs{I_2 S_1} \]
\[ h_1 = \abs{P_1 I_1} \qquad \qquad \qquad h_2 = \abs{P_2 I_2} \qquad \qquad \qquad s_1 = \abs{O I_1} \qquad \qquad \qquad s_2 = \abs{O I_2} \]
\[ f_1 = \abs{O S_1} \qquad \qquad \qquad f_2 = \abs{O S_2} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \]
5.3.2. Longueurs
- Le triangle \(P_1 S_1 S_5\) étant isocèle en \(P_1\), la hauteur \(h_1\) qui part de \(P_1\) est aussi la médiane du côté opposé :
\[ b_1 = c_1 \]
Idem dans le triangle \(P_2 S_2 S_1\) :
\[ b_2 = c_2 \]
- Les triangles rectangles \(P_1 S_1 I_1\) et \(P_2 I_2 S_1\) ont un côté \(a\) de même longueur et un angle de \(18^\circ\). Ces triangles sont donc isometriques et :
\[ b_1 = c_2 \qquad \qquad \qquad h_1 = h_2 \]
En compilant les derniers résultats, on obtient :
\[ b_2 = c_2 = b_1 = c_1 \]
- Examinons les relations :
\[ r = h_1 + s_1 \]
\[ r = h_2 + s_2 \]
Isolons les \(s_i\) :
\[ s_1 = r - h_1 \]
\[ s_2 = r - h_2 \]
Mais \(h_1 = h_2\) et :
\[ s_1 = r - h_1 = r - h_2 = s_2 \]
Comme on a aussi \(b_1 = c_2\), les quadrilatères du type \(O I_1 S_1 I_2\) sont des cerf-volants.
- Les triangles rectangles \(O I_2 S_1\) et \(O I_2 S_2\) ont leurs deux cathères de mêmes longueurs car \(b_2 = c_2\). Ils sont donc isométriques et :
\[ f_1 = f_2 \]
Les quadrilatères du type \(P_2 S_2 O S_1\) sont des cerfs-volants.
5.3.3. Angles
Dans le cerf-volant \(O I_1 S_1 I_2\), la diagonale \([O,S_1]\) traverse les deux triangles isocèles \(O I_1 I_2\) et \(S_1 I_1 I_2\) qui le composent. Cette diagonale est donc la bissectrice de l’angle \(\angleflex{I_1 O I_2}\) :
\[ \alpha = \beta \]
Or, \(\alpha\) et \(\beta\) forment ensemble un angle de \(72^\circ\), car situé entre deux rayons qui passent par des sommets consécutifs du pentagone. On en conclut que :
\[ 2 \ \alpha = 72^\circ \]
c’est-à-dire :
\[ \alpha = 36^\circ \]
5.3.4. Conclusion
Un raisonnement similaire peut être appliqué aux autres pointes et cerf-volants du pentagramme. Notre schéma devient :
5.3.5. Corollaire
On a :
\[ \angleflex{P_1 O S_3} = 5 \cdot 36^\circ = 180^\circ \]
Les points \(P_1\), \(O\) et \(S_3\) sont alignés. Le centre \(O\) se trouve donc sur le segment \([P_1,S_3]\).
Ce résultat est aussi valable pour les autres segments du même type :
\[ \angleflex{P_2 O S_4} = \angleflex{P_3 O S_5} = \angleflex{P_4 O S_1} = \angleflex{P_5 O S_2} = 180^\circ \]
Le point \(O\) est donc l’intersection de tous ces segments :
\[ \{ O \} = [P_1,S_3] \cap [P_2,S_4] \cap [P_3,S_5] \cap [P_4,S_1] \cap [P_5,S_2] \]
Ce constat nous permet de retrouver le centre du cercle circonscrit d’un pentagone.
6. Nombre d’or
6.1. Introduction
Soit un pentagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_5\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :
Nous avons tenu compte des résultats précédents dans la notation,
On définit :
\[ c = \abs{P_1 P_2} = \abs{P_1 P_5} = \ldots \]
\[ a = \abs{P_2 S_1} = \abs{P_5 S_5} = \ldots \]
\[ b = \abs{S_1 S_5} = \abs{S_4 S_5} = \ldots \]
ainsi que :
\[ d = \abs{P_2 P_5} \]
pour la longueur de la diagonale.
6.2. Triangle isocèle
Dans le triangle \(P_1 P_2 S_5\), on a :
\[ \abs{\angleflex{S_5}} = \abs{\angleflex{P_1 S_5 P_2}} = 72^\circ \]
et :
\[ \abs{\angleflex{P_1}} = \abs{\angleflex{P_2 P_1 S_5}} = 36^\circ + 36^\circ = 72^\circ \]
Le triangle \(P_1 P_2 S_5\) est donc isocèle en \(P_2\) et :
\[ \abs{P_1 P_2} = \abs{P_2 S_5} \]
c’est-à-dire :
\[ a + b = c \]
On a aussi :
\[ d = a + b + a = c + a \]
6.3. Triangles semblables
Les triangles \(P_1 P_2 P_5\) et \(S_5 P_1 P_5\) ont deux angles de même amplitude : ce sont donc des triangles semblables. On a en particulier :
\[ \frac{c}{a} = \frac{d}{c} \]
Remplaçons \(d\) par son expression en fonction de \(c\) et \(a\) :
\[ \frac{c}{a} = \frac{c + a}{c} = 1 + \frac{a}{c} \]
Posons :
\[ \phi = \frac{c}{a} \]
La relation entre les longueurs devient :
\[ \phi = 1 + \unsur{\phi} \]
Multiplions par \(\phi\) :
\[ \phi^2 = \phi + 1 \]
et faisons passer tous les termes dans le membre de gauche :
\[ \phi^2 - \phi - 1 = 0 \]
La quantité \(\phi\) étant un rapport de longueurs, elle doit être strictement positive. Or, nous avons vu dans le chapitre sur les proportions géométriques, que la solution positive de cette équation définit le nombre d’or :
\[ \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \]
On a donc la proportion :
\[ \frac{d}{c} = \frac{c}{a} = \phi =\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \]
Le rapport entre la longueur de la diagonale d’un pentagone et la longueur de son côté est égal au nombre d’or.
6.4. Cosinus de \(36^\circ\)
Appliquons la loi des cosinus à la longueur \(a\) dans le triangle \(S_5 P_1 P_5\) :
\[ a^2 = a^2 + c^2 - 2 \ a \ c \ \cos 36^\circ \]
Divisons par \(a^2\) :
\[ 1 = 1 + \frac{c^2}{a^2} - 2 \ \frac{c}{a} \ \cos 36^\circ \]
Comme le rapport \(c / a\) est égal au nombre d’or \(\phi\), cette équation devient :
\[ 1 = 1 + \phi^2 - 2 \ \phi \ \cos 36^\circ \]
Simplifions :
\[ 0 = \phi^2 - 2 \ \phi \ \cos 36^\circ \]
Isolons le cosinus :
\[ \cos 36^\circ = \frac{\phi^2}{2 \ \phi} \]
c’est-à-dire :
\[ \cos 36^\circ = \frac{\phi}{2} \]
Le cosinus de \(36^\circ\) vaut la moitié du nombre d’or.
6.4.1. Sinus de \(54^\circ\)
Il en va de même pour le sinus de l’angle complémentaire, à savoir \(54^\circ\) :
\[ \sin 54^\circ = \frac{\phi}{2} \]
6.5. Cosinus de \(72^\circ\)
Appliquons la loi des cosinus à la longueur \(c\) dans le triangle \(S_5 P_1 P_5\) :
\[ c^2 = a^2 + a^2 - 2 \ a \ a \ \cos 108^\circ \]
Or :
\[ \cos 72^\circ = \cos(180^\circ - 108^\circ) = - \cos 108^\circ \]
La loi des cosinus peut se réécrire :
\[ c^2 = a^2 + a^2 + 2 \ a^2 \ \cos 72^\circ \]
Divisons par \(a^2\) :
\[ \frac{c^2}{a^2} = 1 + 1 + 2 \ \cos 72^\circ \]
Comme le rapport \(c / a\) est égal au nombre d’or \(\phi\), cette équation devient :
\[ \phi^2 = 2 + 2 \ \cos 72^\circ \]
Utilisons la relation \(\phi^2 = \phi + 1\) :
\[ \phi + 1 = 2 + 2 \ \cos 72^\circ \]
Simplifions :
\[ \phi = 1 + 2 \ \cos 72^\circ \]
En isolant le cosinus de \(72^\circ\), on obtient finalement :
\[ \cos 72^\circ = \frac{\phi - 1}{2} \]
6.5.1. Sinus de \(18^\circ\)
Il en va de même pour le sinus de l’angle complémentaire, à savoir \(18^\circ\) :
\[ \sin 18^\circ = \frac{\phi - 1}{2} \]
7. Rapport entre le côté et le rayon
Soit un pentagone régulier \(P_1 P_2 \ldots P_5\) inscrit dans un cercle \(\mathscr{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(r\) :
La longueur du côté du pentagone se note :
\[ c = \abs{P_1 P_2} = \abs{P_2 P_3} = \ldots \]
Appliquons la loi des cosinus à la longueur \(c\) dans le triangle \(O P_1 P_2\) :
\[ c^2 = r^2 + r^2 - 2 \ r \ r \ \cos 72^\circ \]
Remplaçons le cosinus par son expression en fonction du nombre d’or :
\[ c^2 = r^2 + r^2 - 2 \ r^2 \ \frac{\phi - 1}{2} \]
Simplifions :
\[ c^2 = r^2 + r^2 - r^2 (\phi - 1) \]
Divisons par \(r^2\) :
\[ \frac{c^2}{r^2} = 1 + 1 - (\phi - 1) = 3 - \phi \]
Il nous reste à prendre la racine carrée :
\[ \frac{c}{r} = \sqrt{3 - \phi} \]
pour obtenir le rapport entre le côté du pentagone régulier et le rayon du cercle circonscrit.